Κατανομή Παρέτο

Συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας Παρέτο τύπου Ι για διάφορες α Συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας Παρέτο τύπου Ι για διάφορες $\alpha$ με $x_{\mathrm {m} }=1.$ Καθώς $\alpha \rightarrow \infty ,$ η κατανομή πλησιάζει την $\delta (x-x_{\mathrm {m} }),$ όπου $\delta$ είναι η συνάρτηση δέλτα Ντιράκ.

Η κατανομή Παρέτο, που πήρε το όνομά της από τον Ιταλό πολιτικό μηχανικό, οικονομολόγο και κοινωνιολόγο Βιλφρέντο Παρέτο, είναι μια κατανομή πιθανοτήτων με νόμο δύναμης που χρησιμοποιείται στην περιγραφή κοινωνικών, ποιοτικού ελέγχου, επιστημονικών, γεωφυσικών, αναλογιστικών και πολλών άλλων τύπων παρατηρήσιμων φαινομένων.Η αρχή εφαρμόστηκε αρχικά για την περιγραφή της κατανομής του πλούτου σε μια κοινωνία, ταιριάζοντας στην τάση ότι ένα μεγάλο μέρος του πλούτου κατέχεται από ένα μικρό μέρος του πληθυσμού.

Η αρχή του Παρέτο ή ο «κανόνας 80:20» που δηλώνει ότι το 80% των αποτελεσμάτων οφείλεται στο 20% των αιτιών πήρε το όνομά της προς τιμήν του Παρέτο, αλλά οι έννοιες είναι διαφορετικές και μόνο οι κατανομές Παρέτο με τιμή σχήματος (α) of   log ₄ 5 ≈ 1.16   την αντικατοπτρίζουν με ακρίβεια. Η εμπειρική παρατήρηση έχει δείξει ότι αυτή η κατανομή 80:20 ταιριάζει σε ένα ευρύ φάσμα περιπτώσεων, συμπεριλαμβανομένων των φυσικών φαινομένων και των ανθρώπινων δραστηριοτήτων.

Ορισμοί

Συναρτήσεις αθροιστικής κατανομής τύπου Παρέτο για διάφορα $\alpha$ με $x_{\mathrm {m} }=1.$

Εάν η Χ είναι μια τυχαία μεταβλητή με κατανομή Παρέτο (τύπου Ι), τότε η πιθανότητα η Χ να είναι μεγαλύτερη από κάποιον αριθμό x, δηλαδή η συνάρτηση επιβίωσης (που ονομάζεται επίσης συνάρτηση ουράς), δίνεται από τη σχέση

${\overline {F}}(x)=\Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&x<x_{\mathrm {m} },\end{cases}}$

όπου xm είναι η (αναγκαστικά θετική) ελάχιστη δυνατή τιμή του Χ και α είναι μια θετική παράμετρος. Η κατανομή Παρέτο τύπου Ι χαρακτηρίζεται από μια παράμετρο κλίμακας xm και μια παράμετρο σχήματος α, η οποία είναι γνωστή ως δείκτης ουράς. Εάν αυτή η κατανομή χρησιμοποιείται για τη μοντελοποίηση της κατανομής του πλούτου, τότε η παράμετρος α ονομάζεται δείκτης Παρέτο.

Αθροιστική συνάρτηση κατανομής

Από τον ορισμό, η αθροιστική συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Παρέτο με παραμέτρους α και x_m είναι

$F_{X}(x)={\begin{cases}1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$

Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

Προκύπτει (με διαφοροποίηση) ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$

Όταν απεικονίζεται σε γραμμικούς άξονες, η κατανομή παίρνει τη γνωστή καμπύλη σχήματος J, η οποία προσεγγίζει ασυμπτωτικά κάθε έναν από τους ορθογώνιους άξονες. Όλα τα τµήµατα της καµπύλης είναι αυτοοµοιόµορφα (µε την επιφύλαξη κατάλληλων συντελεστών κλιµάκωσης). Όταν απεικονίζεται σε λογαριθμογράφημα, η κατανομή παριστάνεται με μια ευθεία γραμμή.

Ιδιότητες

Ροπές και χαρακτηριστική συνάρτηση

• Η αναμενόμενη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί την κατανομή Παρέτο είναι

$\operatorname {E} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \leq 1,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&\alpha >1.\end{cases}}$

• Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί την κατανομή Παρέτο είναι

$\operatorname {Var} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \in (1,2],\\\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}&\alpha >2.\end{cases}}$

(αν α ≤ 2, η διακύμανση δεν υπάρχει.)

• Οι μη κεντρικές ροπές είναι

$\mu _{n}'={\begin{cases}\infty &\alpha \leq n,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}}&\alpha >n.\end{cases}}$

• Η συνάρτηση δημιουργίας ροπής ορίζεται μόνο για μη θετικές τιμές t ≤ 0 ως εξής

$M\left(t;\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t)$

$M\left(0,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=1.$

Έτσι, εφόσον η προσδοκία δεν συγκλίνει σε ένα ανοικτό διάστημα που περιέχει $t=0$ λέμε ότι η συνάρτηση που δημιουργεί τη ροπή δεν υπάρχει.

• Η χαρακτηριστική συνάρτηση δίνεται από τη σχέση

$\varphi (t;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t),$

όπου Γ(a, x) είναι η ατελής συνάρτηση γάμμα.

Οι παράμετροι μπορούν να επιλυθούν με τη μέθοδο των ροπών.

Κατανομή υπό όρους

Η υπό συνθήκη κατανομή πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής με κατανομή Παρέτο, δεδομένης της περίπτωσης ότι είναι μεγαλύτερη ή ίση από έναν συγκεκριμένο αριθμό&nbsp, $x_{1}$ που υπερβαίνει το $x_{\text{m}}$, είναι μια κατανομή Παρέτο με τον ίδιο δείκτη Παρέτο $\alpha$ αλλά με ελάχιστο $x_{1}$ αντί του $x_{\text{m}}$ :

${\text{Pr}}(X\geq x|X\geq x_{1})={\begin{cases}\left({\frac {x_{1}}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{1},\\1&x<x_{1}.\end{cases}}$

Αυτό σημαίνει ότι η υπό συνθήκη αναμενόμενη αξία (εάν είναι πεπερασμένη, δηλαδή $\alpha >1$) είναι ανάλογη του $x_{1}$:

${\text{E}}(X|X\geq x_{1})\propto x_{1}.$

Στην περίπτωση τυχαίων μεταβλητών που περιγράφουν τη διάρκεια ζωής ενός αντικειμένου, αυτό σημαίνει ότι το προσδόκιμο ζωής είναι ανάλογο της ηλικίας και ονομάζεται φαινόμενο Λίντι ή νόμος του Λίντι.

Γεωμετρικός μέσος όρος

Ο γεωμετρικός μέσος (G) είναι

$G=x_{\text{m}}\exp \left({\frac {1}{\alpha }}\right).$

Γεωμετρικός μέσος όρος

Ο γεωμετρικός μέσος (G) είναι

$G=x_{\text{m}}\exp \left({\frac {1}{\alpha }}\right).$

Αρμονικός μέσος

Ο αρμονικός μέσος (H) είναι

$H=x_{\text{m}}\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right).$

Γραφική αναπαράσταση

Η χαρακτηριστική καμπυλωτή κατανομή «μακριά ουρά», όταν απεικονίζεται σε γραμμική κλίμακα, καλύπτει την υποκείμενη απλότητα της συνάρτησης όταν απεικονίζεται σε λογαριθμογράφημα, το οποίο τότε παίρνει τη μορφή ευθείας γραμμής με αρνητική κλίση: Από τον τύπο της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας προκύπτει ότι για x ≥ x_m,

$\log f_{X}(x)=\log \left(\alpha {\frac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}\right)=\log(\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha })-(\alpha +1)\log x.$

Εφόσον το α είναι θετικό, η κλίση -(α + 1) είναι αρνητική.

Σχετικές διανομές

Γενικευμένες κατανομές Παρέτο

Υπάρχει μια ιεραρχία των κατανομών Παρέτο που είναι γνωστές ως κατανομές Παρέτο τύπου Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, IV και Φέλερ-Παρέτο. Ο τύπος Παρέτο IV περιέχει τους τύπους Παρέτο Ι-ΙΙΙΙ ως ειδικές περιπτώσεις. Η κατανομή Φέλερ - Παρέτο γενικεύει την κατανομή τύπου Παρέτο IV.

Τύποι I-IV

Η ιεραρχία της κατανομής Pareto συνοψίζεται στον επόμενο πίνακα που συγκρίνει τις συναρτήσεις επιβίωσης (συμπληρωματική CDF).

Όταν μ = 0, η κατανομή Pareto τύπου II είναι επίσης γνωστή ως κατανομή Λόμαξ.

Σε αυτό το τμήμα, το σύμβολο x_m, που χρησιμοποιήθηκε προηγουμένως για να υποδηλώσει την ελάχιστη τιμή του x, αντικαθίσταται από το εξής με σ.

Κατανομές Παρέτο

	${\overline {F}}(x)=1-F(x)$	Υποστήριξη	Παράμετροι
Τύπος I	$\left[{\frac {x}{\sigma }}\right]^{-\alpha }$	$x\geq \sigma$	$\sigma >0,\alpha$
Τύπος II	$\left[1+{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right]^{-\alpha }$	$x\geq \mu$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0,\alpha$
Λόμαξ	$\left[1+{\frac {x}{\sigma }}\right]^{-\alpha }$	$x\geq 0$	$\sigma >0,\alpha$
Τύπος III	$\left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{1/\gamma }\right]^{-1}$	$x\geq \mu$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma ,\gamma >0$
Τύπος IV	$\left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{1/\gamma }\right]^{-\alpha }$	$x\geq \mu$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma ,\gamma >0,\alpha$

Η παράμετρος σχήματος α είναι ο δείκτης ουράς, μ είναι η θέση, σ είναι η κλίμακα, γ είναι μια παράμετρος ανισότητας. Ορισμένες ειδικές περιπτώσεις του τύπου Pareto (IV) είναι

$P(IV)(\sigma ,\sigma ,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha ),$

$P(IV)(\mu ,\sigma ,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha ),$

$P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma ).$

Το πεπερασμένο του μέσου και η ύπαρξη και το πεπερασμένο της διακύμανσης εξαρτώνται από τον δείκτη ουράς α (δείκτης ανισότητας γ). Ειδικότερα, τα κλασματικά δ'-μεγέθη είναι πεπερασμένα για κάποιο δ > 0, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα, όπου το δ δεν είναι απαραίτητα ακέραιος αριθμός.

Ροπές των κατανομών Παρέτο I-IV (περίπτωση μ = 0)

	$\operatorname {E} [X]$	Κατάσταση	$\operatorname {E} [X^{\delta }]$	Κατάσταση
Τύπος I	${\frac {\sigma \alpha }{\alpha -1}}$	$\alpha >1$	${\frac {\sigma ^{\delta }\alpha }{\alpha -\delta }}$	$\delta <\alpha$
Τύπος II	${\frac {\sigma }{\alpha -1}}+\mu$	$\alpha >1$	${\frac {\sigma ^{\delta }\Gamma (\alpha -\delta )\Gamma (1+\delta )}{\Gamma (\alpha )}}$	$0<\delta <\alpha$
Τύπος III	$\sigma \Gamma (1-\gamma )\Gamma (1+\gamma )$	$-1<\gamma <1$	$\sigma ^{\delta }\Gamma (1-\gamma \delta )\Gamma (1+\gamma \delta )$	$-\gamma ^{-1}<\delta <\gamma ^{-1}$
Τύπος IV	${\frac {\sigma \Gamma (\alpha -\gamma )\Gamma (1+\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}$	$-1<\gamma <\alpha$	${\frac {\sigma ^{\delta }\Gamma (\alpha -\gamma \delta )\Gamma (1+\gamma \delta )}{\Gamma (\alpha )}}$	$-\gamma ^{-1}<\delta <\alpha /\gamma$

Κατανομή Φέλερ-Παρέτο

Ο Φέλερ ορίζει μια μεταβλητή Παρέτο με το μετασχηματισμό U = Y⁻¹ − 1 μιας τυχαίας μεταβλητής βήτα ,Y, της οποίας η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι

$f(y)={\frac {y^{\gamma _{1}-1}(1-y)^{\gamma _{2}-1}}{B(\gamma _{1},\gamma _{2})}},\qquad 0<y<1;\gamma _{1},\gamma _{2}>0,$

όπου B( ) είναι η συνάρτηση βήτα. Εάν

$W=\mu +\sigma (Y^{-1}-1)^{\gamma },\qquad \sigma >0,\gamma >0,$

τότε το W έχει κατανομή Φέλερ-Παρέτο FP(μ, σ, γ, γ₁, γ₂).

Αν $U_{1}\sim \Gamma (\delta _{1},1)$ και $U_{2}\sim \Gamma (\delta _{2},1)$ είναι ανεξάρτητες μεταβλητές Γάμμα, μια άλλη κατασκευή μιας μεταβλητής Φέλερ-Παρέτο (FP) είναι η εξής

$W=\mu +\sigma \left({\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right)^{\gamma }$

και γράφουμε W ~ FP(μ, σ, γ, δ₁, δ₂). Ειδικές περιπτώσεις της κατανομής Φέλερ - Παρέτο είναι οι εξής

$FP(\sigma ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha )$

$FP(\mu ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha )$

$FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma )$

$FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,\alpha )=P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,\alpha ).$

Αντίστροφη κατανομή Παρέτο / Κατανομή ισχύος

Όταν μια τυχαία μεταβλητή $Y$ ακολουθεί μια κατανομή Παρέτο, τότε η αντίστροφη $X=1/Y$ ακολουθεί μια αντίστροφη κατανομή Παρέτο. Η αντίστροφη κατανομή Παρέτο είναι ισοδύναμη με την κατανομή ισχύος

$Y\sim \mathrm {Pa} (\alpha ,x_{m})={\frac {\alpha x_{m}^{\alpha }}{y^{\alpha +1}}}\quad (y\geq x_{m})\quad \Leftrightarrow \quad X\sim \mathrm {iPa} (\alpha ,x_{m})=\mathrm {Power} (x_{m}^{-1},\alpha )={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{(x_{m}^{-1})^{\alpha }}}\quad (0<x\leq x_{m}^{-1})$

Σχέση με την εκθετική κατανομή

Η κατανομή Παρέτο σχετίζεται με την εκθετική κατανομή ως εξής. Εάν η X είναι κατανεμημένη κατά Παρέτο με ελάχιστο x_m και δείκτη α, τότε

$Y=\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)$

κατανέμεται εκθετικά με παράμετρο ρυθμού α. Ισοδύναμα, εάν η Y κατανέμεται εκθετικά με ρυθμό α, τότε

$x_{\mathrm {m} }e^{Y}$

έχει κατανομή Παρέτο με ελάχιστο x_m και δείκτη α.

Αυτό μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας τις συνήθεις τεχνικές αλλαγής των μεταβλητών:

${\begin{aligned}\Pr(Y<y)&=\Pr \left(\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)<y\right)\\&=\Pr(X<x_{\mathrm {m} }e^{y})=1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x_{\mathrm {m} }e^{y}}}\right)^{\alpha }=1-e^{-\alpha y}.\end{aligned}}$

Η τελευταία έκφραση είναι η αθροιστική συνάρτηση κατανομής μιας εκθετικής κατανομής με ρυθμό α.

Η κατανομή Παρέτο μπορεί να κατασκευαστεί από ιεραρχικές εκθετικές κατανομές. Έστω $\phi |a\sim {\text{Exp}}(a)$ και $\eta |\phi \sim {\text{Exp}}(\phi )$. Τότε έχουμε $p(\eta |a)={\frac {a}{(a+\eta )^{2}}}$ και, ως εκ τούτου,$a+\eta \sim {\text{Pareto}}(a,1)$.

Γενικότερα, εάν $\lambda \sim {\text{Gamma}}(\alpha ,\beta )$ (παραμετροποίηση σχήματος-ρυθμού) και $\eta |\lambda \sim {\text{Exp}}(\lambda )$, τότε $\beta +\eta \sim {\text{Pareto}}(\beta ,\alpha )$.

Ισοδύναμα, εάν $Y\sim {\text{Gamma}}(\alpha ,1)$ και $X\sim {\text{Exp}}(1)$, τότε $x_{\text{m}}\!\left(1+{\frac {X}{Y}}\right)\sim {\text{Pareto}}(x_{\text{m}},\alpha )$.

Σχέση με τη λογαριθμοκανονική κατανομή

Η κατανομή Παρέτο και η λογαριθμοκανονική κατανομή είναι εναλλακτικές κατανομές για την περιγραφή των ίδιων τύπων ποσοτήτων. Μία από τις συνδέσεις μεταξύ των δύο είναι ότι και οι δύο είναι οι κατανομές της εκθετικής των τυχαίων μεταβλητών που κατανέμονται σύμφωνα με άλλες κοινές κατανομές, αντίστοιχα την εκθετική κατανομή και την κανονική κατανομή. (Βλέπε την προηγούμενη ενότητα).

Σχέση με τη γενικευμένη κατανομή Παρέτο

Η κατανομή Παρέτο αποτελεί ειδική περίπτωση της γενικευμένης κατανομής Παρέτο, η οποία είναι μια οικογένεια κατανομών παρόμοιας μορφής, αλλά που περιέχουν μια επιπλέον παράμετρο με τέτοιο τρόπο ώστε η υποστήριξη της κατανομής να είναι είτε περιορισμένη από κάτω (σε ένα μεταβλητό σημείο), είτε περιορισμένη τόσο από πάνω όσο και από κάτω (όπου και τα δύο είναι μεταβλητά), με ειδική περίπτωση την κατανομή Λόμαξ. Η οικογένεια αυτή περιλαμβάνει επίσης τόσο την μη μετατοπισμένη όσο και τη μετατοπισμένη εκθετική κατανομή.

Η κατανομή Παρέτο με κλίμακα $x_{m}$ και σχήμα $\alpha$ είναι ισοδύναμη με τη γενικευμένη κατανομή Παρέτο με θέση $\mu =x_{m}$, κλίμακα $\sigma =x_{m}/\alpha$ και σχήμα $\xi =1/\alpha$ και, αντίστροφα, μπορεί κανείς να πάρει την κατανομή Παρέτο από την GPD λαμβάνοντας $x_{m}=\sigma /\xi$ και $\alpha =1/\xi$ αν $\xi >0$.

Φραγμένη κατανομή Παρέτο

Η φραγμένη (ή περικομμένη) κατανομή Παρέτο έχει τρεις παραμέτρους: α, L και H. Όπως και στην τυπική κατανομή Παρέτο, το α καθορίζει το σχήμα. Το L υποδηλώνει την ελάχιστη τιμή και το H υποδηλώνει τη μέγιστη τιμή.

Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι

${\frac {\alpha L^{\alpha }x^{-\alpha -1}}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}$,

όπου L ≤ x ≤ H, και α > 0.

Παραγωγή φραγμένων τυχαίων μεταβλητών Παρέτο

Εάν το U είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο στο (0, 1), τότε η εφαρμογή της μεθόδου αντίστροφου μετασχηματισμού.

$U={\frac {1-L^{\alpha }x^{-\alpha }}{1-({\frac {L}{H}})^{\alpha }}}$

$x=\left(-{\frac {UH^{\alpha }-UL^{\alpha }-H^{\alpha }}{H^{\alpha }L^{\alpha }}}\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}$

είναι μια φραγμένη κατανομή Παρέτο.

Συμμετρική κατανομή Παρέτο

Ο σκοπός των συμμετρικών και μηδενικών συμμετρικών κατανομών Παρέτο είναι να αποτυπώσουν κάποια ειδική στατιστική κατανομή με αιχμηρή κορυφή πιθανότητας και συμμετρικές μακριές ουρές πιθανότητας. Οι δύο αυτές κατανομές προέρχονται από την κατανομή Παρέτο. Οι μακριές ουρές πιθανότητας συνήθως σημαίνουν ότι η πιθανότητα φθίνει αργά και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την προσαρμογή διαφόρων συνόλων δεδομένων. Αλλά αν η κατανομή έχει συμμετρική δομή με δύο αργά φθίνουσες ουρές, η Παρέτο δεν θα μπορούσε να το κάνει. Τότε εφαρμόζεται αντ' αυτού η συμμετρική κατανομή Παρέτο ή η μηδενική συμμετρική κατανομή Παρέτο.

Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής (CDF) της συμμετρικής κατανομής Παρέτο ορίζεται ως εξής:

$F(X)=P(x<X)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}({b \over 2b-X})^{a}&X<b\\1-{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {b}{X}})^{a}&X\geq b\end{cases}}$

Η αντίστοιχη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF) είναι:

$p(x)={ab^{a} \over 2(b+\left\vert x-b\right\vert )^{a+1}},X\in R$

Η κατανομή αυτή έχει δύο παραμέτρους: a και b. Είναι συμμετρική ως προς το b. Τότε η μαθηματική προσδοκία είναι b. Όταν, έχει διακύμανση ως εξής:

$E((x-b)^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-b)^{2}p(x)dx={2b^{2} \over (a-2)(a-1)}$

Η CDF της μηδενικής συμμετρικής κατανομής Παρέτο (ZSP) ορίζεται ως εξής:

$F(X)=P(x<X)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}({b \over b-X})^{a}&X<0\\1-{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {b}{b+X}})^{a}&X\geq 0\end{cases}}$

Η αντίστοιχη PDF είναι:

$p(x)={ab^{a} \over 2(b+\left\vert x\right\vert )^{a+1}},X\in R$

Η κατανομή αυτή είναι συμμετρική ως προς το μηδέν. Η παράμετρος a σχετίζεται με τον ρυθμό αποσύνθεσης της πιθανότητας και η (a/2b) αντιπροσωπεύει το μέγιστο μέγεθος της πιθανότητας.

Πολυμεταβλητή κατανομή Παρέτο

Η μονομεταβλητή κατανομή Παρέτο έχει επεκταθεί σε μια πολυμεταβλητή κατανομή Παρέτο.

Στατιστική συμπερασματολογία

Εκτίμηση των παραμέτρων

Η συνάρτηση πιθανότητας για τις παραμέτρους α και x_m της κατανομής Παρέτο, δεδομένου ενός ανεξάρτητου δείγματος x = (x₁, x₂, ..., x_n), είναι

$L(\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\prod _{i=1}^{n}\alpha {\frac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x_{i}^{\alpha +1}}}=\alpha ^{n}x_{\mathrm {m} }^{n\alpha }\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}^{\alpha +1}}}.$

Επομένως, η λογαριθμική συνάρτηση πιθανότητας είναι

$\ell (\alpha ,x_{\mathrm {m} })=n\ln \alpha +n\alpha \ln x_{\mathrm {m} }-(\alpha +1)\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}.$

Γίνεται αντιληπτό ότι η $\ell (\alpha ,x_{\mathrm {m} })$ είναι μονότονα αυξανόμενη με το x_m, δηλαδή όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του x_m, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της συνάρτησης πιθανότητας. Συνεπώς, εφόσον x ≥ x_m, συμπεραίνουμε ότι

${\widehat {x}}_{\mathrm {m} }=\min _{i}{x_{i}}.$

Για να βρούμε τον εκτιμητή για το α, υπολογίζουμε την αντίστοιχη μερική παράγωγο και προσδιορίζουμε πού είναι μηδέν:

${\frac {\partial \ell }{\partial \alpha }}={\frac {n}{\alpha }}+n\ln x_{\mathrm {m} }-\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}=0.$

Έτσι, ο εκτιμητής μέγιστης πιθανοφάνειας για το α είναι:

${\widehat {\alpha }}={\frac {n}{\sum _{i}\ln(x_{i}/{\widehat {x}}_{\mathrm {m} })}}.$

Το προσδοκώμενο στατιστικό σφάλμα είναι:

$\sigma ={\frac {\widehat {\alpha }}{\sqrt {n}}}.$

Ο Μαλίκ (1970) δίνει την ακριβή κοινή κατανομή των $({\hat {x}}_{\mathrm {m} },{\hat {\alpha }})$. Ειδικότερα, ${\hat {x}}_{\mathrm {m} }$ και ${\hat {\alpha }}$ είναι ανεξάρτητα και ${\hat {x}}_{\mathrm {m} }$ είναι Παρέτο με παράμετρο κλίμακας x_m και παράμετρο σχήματος nα, ενώ ${\hat {\alpha }}$ έχει κατανομή αντίστροφης γάμμα με παραμέτρους σχήματος και κλίμακας n − 1 και nα, αντίστοιχα.

Εμφάνιση και εφαρμογές

Γενικά

Ο Βιλφρέντο Παρέτο χρησιμοποίησε αρχικά αυτή την κατανομή για να περιγράψει την κατανομή του πλούτου μεταξύ των ατόμων, καθώς φαινόταν να δείχνει αρκετά καλά τον τρόπο με τον οποίο ένα μεγαλύτερο μέρος του πλούτου κάθε κοινωνίας ανήκει σε ένα μικρότερο ποσοστό των ατόμων της κοινωνίας αυτής. Το χρησιμοποίησε επίσης για να περιγράψει την κατανομή του εισοδήματος[4]. Η ιδέα αυτή εκφράζεται μερικές φορές πιο απλά ως η αρχή Παρέτο ή ο «κανόνας 80-20», ο οποίος δηλώνει ότι το 20% του πληθυσμού ελέγχει το 80% του πλούτου[24]. Όπως επισημαίνει ο Μάικλ Χάντσον («Η κατάρρευση της αρχαιότητας» [2023] σ. 85 & σημ. 7) «ένα μαθηματικό επακόλουθο [είναι] ότι το 10% θα είχε το 65% του πλούτου και το 5% θα είχε το μισό εθνικό πλούτο». Ωστόσο, ο κανόνας 80-20 αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη τιμή του α, και στην πραγματικότητα, τα στοιχεία του Παρέτο για τους βρετανικούς φόρους εισοδήματος στο μάθημα πολιτικής οικονομίας δείχνουν ότι περίπου το 30% του πληθυσμού είχε περίπου το 70% του εισοδήματος. το γράφημα της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας (PDF) στην αρχή αυτού του άρθρου δείχνει ότι η "πιθανότητα" ή το κλάσμα του πληθυσμού που κατέχει ένα μικρό ποσό πλούτου ανά άτομο είναι μάλλον υψηλό, και στη συνέχεια μειώνεται σταθερά καθώς αυξάνεται ο πλούτος. (Ωστόσο, η κατανομή Παρέτο δεν είναι ρεαλιστική για τον πλούτο για το κατώτερο άκρο. Στην πραγματικότητα, η καθαρή περιουσία μπορεί να είναι ακόμη και αρνητική). Αυτή η κατανομή δεν περιορίζεται στην περιγραφή του πλούτου ή του εισοδήματος, αλλά σε πολλές καταστάσεις στις οποίες εντοπίζεται ισορροπία στην κατανομή του "μικρού" προς το "μεγάλο". Τα ακόλουθα παραδείγματα θεωρούνται μερικές φορές ως προσεγγιστικά κατανεμημένα κατά Παρέτο:

• Και οι τέσσερις μεταβλητές του δημοσιονομικού περιορισμού του νοικοκυριού: κατανάλωση, εισόδημα εργασίας, εισόδημα κεφαλαίου και πλούτος.
• Τα μεγέθη των ανθρώπινων οικισμών (λίγες πόλεις, πολλά χωριουδάκια/χωριά).
• Η κατανομή του μεγέθους των αρχείων της κίνησης στο Διαδίκτυο που χρησιμοποιεί το πρωτόκολλο TCP (πολλά μικρότερα αρχεία, λίγα μεγαλύτερα).
• Ποσοστά σφαλμάτων μονάδων σκληρού δίσκου
• Συστάδες συμπυκνωμάτων Μπόζε-Αϊνστάιν κοντά στο απόλυτο μηδέν

Προσαρμογή της αθροιστικής κατανομής Παρέτο (Lomax) στις μέγιστες βροχοπτώσεις μιας ημέρας με χρήση του CumFreq, βλέπε επίσης προσαρμογή κατανομής

• Οι αξίες των αποθεμάτων πετρελαίου σε κοιτάσματα πετρελαίου (λίγα μεγάλα κοιτάσματα, πολλά μικρά κοιτάσματα).
• Η κατανομή του μήκους των εργασιών που ανατίθενται σε υπερυπολογιστές (λίγες μεγάλες, πολλές μικρές).
• Οι τυποποιημένες αποδόσεις των τιμών των μεμονωμένων μετοχών
• Τα μεγέθη των σωματιδίων της άμμου
• Το μέγεθος των μετεωριτών
• Σοβαρότητα των μεγάλων ζημιών από ατυχήματα για ορισμένους επιχειρηματικούς κλάδους, όπως η γενική αστική ευθύνη, το επαγγελματικό αυτοκίνητο και η αποζημίωση των εργαζομένων.
• Ο χρόνος που ένας χρήστης στο Steam θα περάσει παίζοντας διάφορα παιχνίδια. (Μερικά παιχνίδια παίζονται πολύ, αλλά τα περισσότερα δεν παίζονται σχεδόν ποτέ).
• Στην υδρολογία η κατανομή Παρέτο εφαρμόζεται σε ακραία γεγονότα, όπως οι ετήσιες μέγιστες βροχοπτώσεις μιας ημέρας και οι εκφορτίσεις ποταμών. Η μπλε εικόνα απεικονίζει ένα παράδειγμα προσαρμογής της κατανομής Παρέτο στην κατάταξη των ετήσιων μέγιστων βροχοπτώσεων μίας ημέρας, όπου φαίνεται επίσης η ζώνη εμπιστοσύνης 90% με βάση τη διωνυμική κατανομή. Τα δεδομένα βροχόπτωσης αναπαρίστανται με τη χάραξη θέσεων ως μέρος της ανάλυσης αθροιστικής συχνότητας.
• Στην αξιοπιστία της διανομής ηλεκτρικής ενέργειας (το 80% των διακοπτόμενων λεπτών του Πελάτη συμβαίνει περίπου στο 20% των ημερών ενός έτους).

Σχέση με το νόμο του Ζιπφ

Η κατανομή Παρέτο είναι μια συνεχής κατανομή πιθανοτήτων. Ο νόμος του Ζιπφ, που μερικές φορές ονομάζεται επίσης κατανομή Ζήτα, είναι μια διακριτή κατανομή, που διαχωρίζει τις τιμές σε μια απλή κατάταξη. Και οι δύο είναι ένας απλός νόμος δύναμης με αρνητικό εκθέτη, που κλιμακώνεται έτσι ώστε οι αθροιστικές κατανομές τους να ισούνται με 1. Η κατανομή Ζιπφ μπορεί να προκύψει από την κατανομή Παρέτο αν οι τιμές $x$ (εισοδήματα) κατανεμηθούν σε $N$ τάξεις, έτσι ώστε ο αριθμός των ατόμων σε κάθε θέση να ακολουθεί ένα μοτίβο 1/τάξη. Η κατανομή κανονικοποιείται ορίζοντας $x_{m}$ έτσι ώστε $\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }={\frac {1}{H(N,\alpha -1)}}$ όπου $H(N,\alpha -1)$ είναι ο γενικός αρμονικός αριθμός. Αυτό καθιστά τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του Zipf παραγωγίσιμη από τη συνάρτηση του Παρέτο.

$f(x)={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}={\frac {1}{x^{s}H(N,s)}}$

όπου $s=\alpha -1$ και $x$ είναι ένας ακέραιος αριθμός που αντιπροσωπεύει την τάξη από το 1 έως το Ν, όπου Ν είναι η υψηλότερη εισοδηματική τάξη. Έτσι, ένα τυχαία επιλεγμένο άτομο (ή λέξη, σύνδεσμος ιστοσελίδας ή πόλη) από έναν πληθυσμό (ή γλώσσα, διαδίκτυο ή χώρα) έχει $f(x)$ πιθανότητα κατάταξης $x$.

Σχέση με την «αρχή Παρέτο»

Ο «νόμος 80-20», σύμφωνα με τον οποίο το 20% του συνόλου των ανθρώπων λαμβάνει το 80% του συνολικού εισοδήματος και το 20% του πιο εύπορου 20% λαμβάνει το 80% αυτού του 80% κ.ο.κ., ισχύει ακριβώς όταν ο δείκτης Παρέτο είναι $\alpha =\log _{4}5={\cfrac {\log _{10}5}{\log _{10}4}}\approx 1.161$. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να προκύψει από τον τύπο της καμπύλης Λόρεντζ που δίνεται παρακάτω. Επιπλέον, έχει αποδειχθεί ότι τα ακόλουθα είναι μαθηματικά ισοδύναμα:

• Το εισόδημα κατανέμεται σύμφωνα με την κατανομή Παρέτο με δείκτη α > 1.
• Υπάρχει κάποιος αριθμός 0 ≤ p ≤ 1/2 τέτοιος ώστε το 100p % όλων των ανθρώπων να λαμβάνει το 100(1 − p)% του συνολικού εισοδήματος, και ομοίως για κάθε πραγματικό (όχι απαραίτητα ακέραιο) n > 0, 100pⁿ % όλων των ανθρώπων λαμβάνει το 100(1 − p)ⁿ ποσοστό του συνολικού εισοδήματος. Το α α και το p συνδέονται ως εξής

$1-{\frac {1}{\alpha }}={\frac {\ln(1-p)}{\ln(p)}}={\frac {\ln((1-p)^{n})}{\ln(p^{n})}}$

Αυτό δεν ισχύει μόνο για το εισόδημα, αλλά και για τον πλούτο, ή για οτιδήποτε άλλο μπορεί να μοντελοποιηθεί με αυτή την κατανομή.

Αυτό αποκλείει τις κατανομές Παρέτο στις οποίες 0 < α ≤ 1, οι οποίες, όπως σημειώθηκε παραπάνω, έχουν άπειρη αναμενόμενη αξία και επομένως δεν μπορούν να μοντελοποιήσουν λογικά την κατανομή του εισοδήματος.

Σχέση με το νόμο του Πράις

Ο νόμος της τετραγωνικής ρίζας του Πράις προσφέρεται μερικές φορές ως ιδιότητα της κατανομής Παρέτο ή ως παρόμοια με αυτήν. Ωστόσο, ο νόμος ισχύει μόνο στην περίπτωση που $\alpha =1$. Σημειώστε ότι σε αυτή την περίπτωση, το συνολικό και το αναμενόμενο ποσό πλούτου δεν ορίζονται και ο κανόνας ισχύει ασυμπτωτικά μόνο για τυχαία δείγματα. Η εκτεταμένη αρχή Παρέτο που αναφέρθηκε παραπάνω είναι ένας πολύ πιο γενικός κανόνας.

Καμπύλη Λόρενζ και συντελεστής Γκίνι

Καμπύλες Λόρεντζ για ορισμένες κατανομές Παρέτο. Η περίπτωση α = ∞ αντιστοιχεί σε απόλυτα ίση κατανομή (G = 0) και η γραμμή α = 1 αντιστοιχεί σε πλήρη ανισότητα (G = 1)

Η καμπύλη Λόρενζ χρησιμοποιείται συχνά για να χαρακτηρίσει τις κατανομές εισοδήματος και πλούτου. Για οποιαδήποτε κατανομή, η καμπύλη Lorenz L(F) γράφεται ως προς το PDF f ή το CDF F ως εξής

$L(F)={\frac {\int _{x_{\mathrm {m} }}^{x(F)}xf(x)\,dx}{\int _{x_{\mathrm {m} }}^{\infty }xf(x)\,dx}}={\frac {\int _{0}^{F}x(F')\,dF'}{\int _{0}^{1}x(F')\,dF'}}$

όπου x(F) είναι το αντίστροφο της CDF. Για την κατανομή Παρέτο,

$x(F)={\frac {x_{\mathrm {m} }}{(1-F)^{\frac {1}{\alpha }}}}$

και η καμπύλη Λόρεντζ υπολογίζεται ως εξής

$L(F)=1-(1-F)^{1-{\frac {1}{\alpha }}},$

Για $0<\alpha \leq 1$ ο παρονομαστής είναι άπειρος, οπότε L=0. Παραδείγματα της καμπύλης Lorenz για διάφορες κατανομές Pareto παρουσιάζονται στο γράφημα στα δεξιά.

Σύμφωνα με την Oxfam (2016) οι 62 πλουσιότεροι άνθρωποι έχουν τόσο πλούτο όσο και το φτωχότερο μισό του παγκόσμιου πληθυσμού. Μπορούμε να υπολογίσουμε τον δείκτη Παρέτο που θα ίσχυε σε αυτή την κατάσταση. Αφήνοντας το ε ίσο με $62/(7\times 10^{9})$ έχουμε:

$L(1/2)=1-L(1-\varepsilon )$

ή

$1-(1/2)^{1-{\frac {1}{\alpha }}}=\varepsilon ^{1-{\frac {1}{\alpha }}}$

Η λύση είναι ότι το α ισούται με περίπου 1,15 και ότι περίπου 9% του πλούτου ανήκει σε κάθε μία από τις δύο ομάδες. Αλλά στην πραγματικότητα το φτωχότερο 69% του παγκόσμιου ενήλικου πληθυσμού κατέχει μόνο περίπου το 3% του πλούτου.

Ο συντελεστής Γκίνι είναι ένα μέτρο της απόκλισης της καμπύλης Λόρεντζ από τη γραμμή ισοκατανομής, η οποία είναι μια γραμμή που συνδέει τις τιμές [0, 0] και [1, 1], η οποία εμφανίζεται με μαύρο χρώμα (α = ∞) στο διάγραμμα Λόρεντζ στα δεξιά. Συγκεκριμένα, ο συντελεστής Γκίνι είναι το διπλάσιο του εμβαδού μεταξύ της καμπύλης Λόρεντζ και της γραμμής ισοκατανομής. Ο συντελεστής Γκίνι για την κατανομή Παρέτο υπολογίζεται (για $\alpha \geq 1$) ως εξής

$G=1-2\left(\int _{0}^{1}L(F)\,dF\right)={\frac {1}{2\alpha -1}}$

Δημιουργία τυχαίων μεταβλητών

Τυχαία δείγματα μπορούν να παραχθούν με τη χρήση δειγματοληψίας αντίστροφου μετασχηματισμού. Δεδομένης μιας τυχαίας μεταβλητής U που αντλείται από την ομοιόμορφη κατανομή στο μοναδιαίο διάστημα [0, 1], η μεταβλητή T που δίνεται από τη σχέση

$T={\frac {x_{\mathrm {m} }}{U^{1/\alpha }}}$

είναι κατανεμημένη κατά Παρέτο.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Αντίστροφη συνάρτηση
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Διαφορική γεωμετρία
• Γεωμετρική τοπολογία
• Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Ευκλείδειος χώρος
• Ντάνιελ Γκόρενσταϊν
• Θεωρία ομάδων
• Συνάρτηση μάζας πιθανότητας
• Τοπολογικός χώρος
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Δισδιάστατος χώρος

Βιβλιογραφία

• Arnold, Barry C. (10 Μαρτίου 2015). Pareto Distributions. CRC Press. ISBN 978-1-4665-8485-3. 
• Beirlant, Jan· Goegebeur, Yuri (15 Οκτωβρίου 2004). Statistics of Extremes: Theory and Applications. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-97647-9. 
• Tang, Xueyan· Xu, Jianliang (17 Ιανουαρίου 2006). Web Content Delivery. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-27727-1. 
• Vinod, Hrishikesh (Rick) D.· Reagle, Derrick (28 Οκτωβρίου 2004). Preparing for the Worst: Incorporating Downside Risk in Stock Market Investments. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-68651-4. 
• Ruppert, David (30 Μαρτίου 2004). Statistics and Finance: An Introduction. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-20270-9. 
• Vonta, Filia· Nikulin, M. S. (5 Μαρτίου 2008). Statistical Models and Methods for Biomedical and Technical Systems. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4619-6. 
• Beinhocker, Eric D. (2006). The Origin of Wealth: Evolution, Complexity, and the Radical Remaking of Economics. Harvard Business Press. ISBN 978-1-57851-777-0. 
• Mukhopadhyay, Nitis (22 Μαρτίου 2000). Probability and Statistical Inference. CRC Press. ISBN 978-0-8247-0379-0. 
• Barton, C. C.· Pointe, P. R. La (6 Δεκεμβρίου 2012). Fractals in Petroleum Geology and Earth Processes. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4615-1815-0. 

Παραπομπές

• Weisstein, Eric W., "Pareto distribution" από το MathWorld.
• Aabergé, Rolf (May 2005), «Gini's Nuclear Family», International Conference to Honor Two Eminent Social Scientists, http://www3.unisi.it/eventi/GiniLorenz05/25%20may%20paper/PAPER_Aaberge.pdf, ανακτήθηκε στις 2025-02-14 

• Crovella, Mark E.; Bestavros, Azer (December 1997). «Self-Similarity in World Wide Web Traffic: Evidence and Possible Causes». 5. IEEE/ACM Transactions on Networking, pp. 835–846. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2016-03-04. https://web.archive.org/web/20160304190612/http://www.cs.bu.edu/~crovella/paper-archive/self-sim/journal-version.pdf. Ανακτήθηκε στις 2019-02-25. 
• Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
• Adams, Robert A. (2003). Calculus: A Complete Course (5th έκδοση). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-79131-0. 
• Jain, R. K.· Iyengar, S. R. K. (2009). Advanced Engineering Mathematics (3rd έκδοση). Narosa Publishing House. ISBN 978-81-7319-730-7. 
• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2nd έκδοση), Menlo Park: Addison-Wesley 
• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2 έκδοση), Addison–Wesley, ISBN 0-201-00288-4 
• Hardy, G.H. (1921), A course in pure mathematics, Cambridge University Press 
• Page, Warren; Hersh, Reuben; Selden, Annie και άλλοι., επιμ.. (2002), «Media Highlights», The College Mathematics 33 (2): 147–154 .
• Sherbert, Robert (2000), Introduction to real analysis, Wiley 
• Whittaker; Watson (1904), A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press 
• Burton, David M. (1997), The History of Mathematics: An introduction (Third έκδοση), New York: McGraw–Hill, σελ. 558–559, ISBN 978-0-07-009465-9 
• Weisstein, Eric W. «Epsilon-Delta Definition». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 18 Αυγούστου 2020. 
• Weisstein, Eric W. «Limit». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 18 Αυγούστου 2020. 

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0