Κατάλογος ολοκληρωμάτων των λογαριθμικών συναρτήσεων

Ακολουθεί o Κατάλογος ολοκληρωμάτων (αντιπαράγωγων ολοκληρωμάτων) των λογαριθμικών συναρτήσεων. Για έναν πλήρη κατάλογο ολοκληρωτικών συναρτήσεων, δείτε τον κατάλογο ολοκληρωτικών.

Σημείωση: x > 0 υποτίθεται σε όλο το παρόν άρθρο, και η σταθερά ολοκλήρωσης παραλείπεται για λόγους απλότητας.

Ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν μόνο λογαριθμικές συναρτήσεις

$\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}={\frac {x}{\ln a}}(\ln x-1)$

$\int \ln(ax)\,dx=x\ln(ax)-x=x(\ln(ax)-1)$

$\int \ln(ax+b)\,dx={\frac {ax+b}{a}}(\ln(ax+b)-1)$

$\int (\ln x)^{2}\,dx=x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x$

$\int (\ln x)^{n}\,dx=(-1)^{n}n!x\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-\ln x)^{k}}{k!}}$

$\int {\frac {dx}{\ln x}}=\ln |\ln x|+\ln x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{k}}{k\cdot k!}}$

$\int {\frac {dx}{\ln x}}=\operatorname {li} (x)$, το λογαριθμικό ολοκλήρωμα.

$\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}$

$\int \ln f(x)\,dx=x\ln f(x)-\int x{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx\qquad {\mbox{(for differentiable }}f(x)>0{\mbox{)}}$

Ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν λογαριθμικές και δυναμικές συναρτήσεις

$\int x^{m}\ln x\,dx=x^{m+1}\left({\frac {\ln x}{m+1}}-{\frac {1}{(m+1)^{2}}}\right)\qquad {\mbox{(for }}m\neq -1{\mbox{)}}$

$\int x^{m}(\ln x)^{n}\,dx={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq -1{\mbox{)}}$

$\int {\frac {(\ln x)^{n}\,dx}{x}}={\frac {(\ln x)^{n+1}}{n+1}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}$

$\int {\frac {\ln x\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {\ln x}{(m-1)x^{m-1}}}-{\frac {1}{(m-1)^{2}x^{m-1}}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}$

$\int {\frac {(\ln x)^{n}\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {(\ln x)^{n}}{(m-1)x^{m-1}}}+{\frac {n}{m-1}}\int {\frac {(\ln x)^{n-1}dx}{x^{m}}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}$

$\int {\frac {x^{m}\,dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {m+1}{n-1}}\int {\frac {x^{m}dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}$

$\int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln \left|\ln x\right|$

$\int {\frac {dx}{x\ln x\ln \ln x}}=\ln \left|\ln \left|\ln x\right|\right|$, etc.

$\int {\frac {dx}{x\ln \ln x}}=\operatorname {li} (\ln x)$

$\int {\frac {dx}{x^{n}\ln x}}=\ln \left|\ln x\right|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(n-1)^{k}(\ln x)^{k}}{k\cdot k!}}$

$\int {\frac {dx}{x(\ln x)^{n}}}=-{\frac {1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}$

$\int \ln(x^{2}+a^{2})\,dx=x\ln(x^{2}+a^{2})-2x+2a\tan ^{-1}{\frac {x}{a}}$

$\int {\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}\ln(x^{2}+a^{2})\,dx={\frac {1}{4}}\ln ^{2}(x^{2}+a^{2})$

Ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν λογαριθμικές και τριγωνομετρικές συναρτήσεις

$\int \sin(\ln x)\,dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))$

$\int \cos(\ln x)\,dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)+\cos(\ln x))$

Ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν λογαριθμικές και εκθετικές συναρτήσεις

$\int e^{x}\left(x\ln x-x-{\frac {1}{x}}\right)\,dx=e^{x}(x\ln x-x-\ln x)$

$\int {\frac {1}{e^{x}}}\left({\frac {1}{x}}-\ln x\right)\,dx={\frac {\ln x}{e^{x}}}$

$\int e^{x}\left({\frac {1}{\ln x}}-{\frac {1}{x(\ln x)^{2}}}\right)\,dx={\frac {e^{x}}{\ln x}}$

n διαδοχικά ολοκληρώματα

Για $n$ διαδοχικά ολοκληρώματα, ο τύπος

$\int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C_{0}$

γενικεύεται ως εξής

$\int \dotsi \int \ln x\,dx\dotsm dx={\frac {x^{n}}{n!}}\left(\ln \,x-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)+\sum _{k=0}^{n-1}C_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπερβολικές συναρτήσεις
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Πολυώνυμο
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Zwillinger, Daniel· Jeffrey, Alan (24 Αυγούστου 2000). Table of Integrals, Series, and Products. Academic Press. ISBN 978-0-08-054222-5. 
• Caruso, Joseph (2003). Top Shelf: Calculus. Walch Publishing. ISBN 978-0-8251-4619-0. 
• Board, Oswaal Editorial (9 Σεπτεμβρίου 2024). Oswaal ISC 10 Sample Question Papers Class 12 (Set of 5 Books) Physics, Chemistry, Maths, English Paper 1 & 2 For 2025 Board Exam (Based On The Latest CISCE/ICSE Specimen Paper). Oswaal Books. ISBN 978-93-6239-374-6. 
• Álvarez-Cónsul, Luis· Burgos-Gil, José Ignacio (24 Σεπτεμβρίου 2015). Feynman Amplitudes, Periods and Motives. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-2247-9. 
• Sharma, Dr Ram Dev· Goyal, Er Meera (26 Ιουνίου 2021). Complete set of Mathematics Part II Class XII by Dr. Ram Dev Sharma Er. Meera Goyal ( SBPD Publications ). SBPD Publications. 
• Board, Oswaal Editorial (9 Σεπτεμβρίου 2024). Oswaal ISC 10 Sample Question Papers Class 12 (Set of 5 Books) Physics, Chemistry, Maths, English Paper 1 & 2 For 2025 Board Exam (Based On The Latest CISCE/ICSE Specimen Paper). Oswaal Books. ISBN 978-93-6239-374-6. 
• Experts, Disha (27 Οκτωβρίου 2021). Guide to Indian Navy Senior Secondary Recruit (SSR) & Artificer Apprentice (AA) Exam 2021-22. Disha Publications. ISBN 978-93-91551-67-4. 
• Gerdt, Vladimir P.· Koepf, Wolfram (10 Σεπτεμβρίου 2015). Computer Algebra in Scientific Computing: 17th International Workshop, CASC 2015, Aachen, Germany, September 14-18, 2015, Proceedings. Springer. ISBN 978-3-319-24021-3. 
• Wilson, R. L. (9 Μαρτίου 2013). Much Ado About Calculus: A Modern Treatment with Applications Prepared for Use with the Computer. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4615-9644-8. 
• Stewart, Seán M. (21 Δεκεμβρίου 2017). How to Integrate It: A Practical Guide to Finding Elementary Integrals. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-31414-5. 

Παραπομπές

• Moll, Victor Hugo (12 Νοεμβρίου 2014). Special Integrals of Gradshteyn and Ryzhik: the Proofs – Volume I. Series: Monographs and Research Notes in Mathematics. I (1 έκδοση). Chapman and Hall/CRC Press. ISBN 978-1-48225-651-2. Ανακτήθηκε στις 12 Φεβρουαρίου 2016. 
• Moll, Victor Hugo (27 Οκτωβρίου 2015). Special Integrals of Gradshteyn and Ryzhik: the Proofs – Volume II. Series: Monographs and Research Notes in Mathematics. II (1 έκδοση). Chapman and Hall/CRC Press. ISBN 978-1-48225-653-6. Ανακτήθηκε στις 12 Φεβρουαρίου 2016. 
• Toyesh Prakash Sharma, https://www.isroset.org/pdf_paper_view.php?paper_id=2214&7-ISROSET-IJSRMSS-05130.pdf
• Segal, I. E.· Kunze, R. A. (6 Δεκεμβρίου 2012). Integrals and Operators. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-66693-3. 
• «Integrals of Particular Functions: Proofs with Solved Examples». allen.in. Ανακτήθηκε στις 8 Μαρτίου 2025. 

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0