Κατάλογος ολοκληρωμάτων των εκθετικών συναρτήσεων

Ακολουθεί o κατάλογος ολοκληρωμάτων των εκθετικών συναρτήσεων^[1]^[2]. Για έναν πλήρη κατάλογο των ολοκληρωτικών συναρτήσεων, ανατρέξτε στον κατάλογο των ολοκληρωμάτων.^[3]^[4]

Αόριστο ολοκλήρωμα

Τα αόριστα ολοκληρώματα^[5] είναι αντιπαραγωγικές συναρτήσεις. Μια σταθερά (η σταθερά της ολοκλήρωσης) μπορεί να προστεθεί στο δεξί μέρος οποιουδήποτε από αυτούς τους τύπους, αλλά έχει αποσιωπηθεί εδώ για λόγους συντομίας.

Ολοκληρώματα πολυωνύμων

$\int xe^{cx}\,dx=e^{cx}\left({\frac {cx-1}{c^{2}}}\right)\qquad {\text{ for }}c\neq 0;$
$\int x^{2}e^{cx}\,dx=e^{cx}\left({\frac {x^{2}}{c}}-{\frac {2x}{c^{2}}}+{\frac {2}{c^{3}}}\right)$
${\begin{aligned}\int x^{n}e^{cx}\,dx&={\frac {1}{c}}x^{n}e^{cx}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}e^{cx}\,dx\\&=\left({\frac {\partial }{\partial c}}\right)^{n}{\frac {e^{cx}}{c}}\\&=e^{cx}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {n!}{(n-i)!c^{i+1}}}x^{n-i}\\&=e^{cx}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\frac {n!}{i!c^{n-i+1}}}x^{i}\end{aligned}}$
$\int {\frac {e^{cx}}{x}}\,dx=\ln |x|+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(cx)^{n}}{n\cdot n!}}$
$\int {\frac {e^{cx}}{x^{n}}}\,dx={\frac {1}{n-1}}\left(-{\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}+c\int {\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}\,dx\right)\qquad {\text{(for }}n\neq 1{\text{)}}$

Ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν μόνο εκθετικές συναρτήσεις

$\int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}$
$\int e^{cx}\,dx={\frac {1}{c}}e^{cx}$
$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}\qquad {\text{ για }}a>0,\ a\neq 1$

Ολοκλήρωση που περιλαμβάνει τη συνάρτηση σφάλματος

Στους ακόλουθους τύπους, $erf$ είναι η συνάρτηση σφάλματος και $Ei$ είναι το εκθετικό ολοκλήρωμα.

$\int e^{cx}\ln x\,dx={\frac {1}{c}}\left(e^{cx}\ln |x|-\operatorname {Ei} (cx)\right)$
$\int xe^{cx^{2}}\,dx={\frac {1}{2c}}e^{cx^{2}}$
$\int e^{-cx^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{4c}}}\operatorname {erf} ({\sqrt {c}}x)$
$\int xe^{-cx^{2}}\,dx=-{\frac {1}{2c}}e^{-cx^{2}}$
$\int {\frac {e^{-x^{2}}}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {e^{-x^{2}}}{x}}-{\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} (x)$
$\int {{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)$

Άλλα ολοκληρώματα

$\int e^{x^{2}}\,dx=e^{x^{2}}\left(\sum _{j=0}^{n-1}c_{2j}{\frac {1}{x^{2j+1}}}\right)+(2n-1)c_{2n-2}\int {\frac {e^{x^{2}}}{x^{2n}}}\,dx\quad {\text{valid for any }}n>0,$
where $c_{2j}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2j-1)}{2^{j+1}}}={\frac {(2j)!}{j!2^{2j+1}}}\ .$

( Επισημαίνουμε ότι η τιμή της έκφρασης είναι ανεξάρτητη από την τιμή του $n$ , γι' αυτό και δεν εμφανίζεται στο ολοκλήρωμα.)

${\int \underbrace {x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{x}}}}} _{m}dx=\sum _{n=0}^{m}{\frac {(-1)^{n}(n+1)^{n-1}}{n!}}\Gamma (n+1,-\ln x)+\sum _{n=m+1}^{\infty }(-1)^{n}a_{mn}\Gamma (n+1,-\ln x)\qquad {\text{(for }}x>0{\text{)}}}$

οπου $a_{mn}={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\\\{\dfrac {1}{n!}}&{\text{if }}m=1,\\\\{\dfrac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}ja_{m,n-j}a_{m-1,j-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

και $Γ(x, y)$ είναι η ανώτερη ατελής συνάρτηση γάμμα.

$\int {\frac {1}{ae^{\lambda x}+b}}\,dx={\frac {x}{b}}-{\frac {1}{b\lambda }}\ln \left(ae^{\lambda x}+b\right)$ όταν $b\neq 0$ , $\lambda \neq 0$ , και $ae^{\lambda x}+b>0.$
$\int {\frac {e^{2\lambda x}}{ae^{\lambda x}+b}}\,dx={\frac {1}{a^{2}\lambda }}\left[ae^{\lambda x}+b-b\ln \left(ae^{\lambda x}+b\right)\right]$ όταν $a\neq 0$ , $\lambda \neq 0$ , και $ae^{\lambda x}+b>0.$
$\int {\frac {ae^{cx}-1}{be^{cx}-1}}\,dx={\frac {(a-b)\log(1-be^{cx})}{bc}}+x.$
$\int {e^{x}\left(f\left(x\right)+f'\left(x\right)\right){\text{dx}}}=e^{x}f\left(x\right)+C$

$\int {e^{x}\left(f\left(x\right)-\left(-1\right)^{n}{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=e^{x}\sum _{k=1}^{n}{\left(-1\right)^{k-1}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}}+C$
$\int {e^{-x}\left(f\left(x\right)-{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=-e^{-x}\sum _{k=1}^{n}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}+C$

$\int {e^{ax}\left(\left(a\right)^{n}f\left(x\right)-\left(-1\right)^{n}{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=e^{ax}\sum _{k=1}^{n}{\left(a\right)^{n-k}\left(-1\right)^{k-1}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}}+C$

Ορισμένα ολοκληρώματα

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}e^{x\cdot \ln a+(1-x)\cdot \ln b}\,dx&=\int _{0}^{1}\left({\frac {a}{b}}\right)^{x}\cdot b\,dx\\&=\int _{0}^{1}a^{x}\cdot b^{1-x}\,dx\\&={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}\qquad {\text{for }}a>0,\ b>0,\ a\neq b\end{aligned}}$

Η τελευταία έκφραση είναι ο λογαριθμικός μέσος όρος.

$\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\,dx={\frac {1}{a}}\quad (\operatorname {Re} (a)>0)$
$\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)$ (το ολοκλήρωµα του Γκάους)
$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)$
$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}e^{-{\frac {b}{x^{2}}}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{-2{\sqrt {ab}}}\quad (a,b>0)$
$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx)}\,dx={\sqrt {\pi \over a}}e^{\tfrac {b^{2}}{4a}}\quad (a>0)$
$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\pi \over a}}e^{{\tfrac {b^{2}}{4a}}-c}\quad (a>0)$
$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}e^{-2bx}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\frac {b^{2}}{a}}\quad (a>0)$ (βλ. Ολοκλήρωμα γκαουσιανής συνάρτησης)
$\int _{-\infty }^{\infty }xe^{-a(x-b)^{2}}\,dx=b{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\quad (\operatorname {Re} (a)>0)$
$\int _{-\infty }^{\infty }xe^{-ax^{2}+bx}\,dx={\frac {{\sqrt {\pi }}b}{2a^{3/2}}}e^{\frac {b^{2}}{4a}}\quad (\operatorname {Re} (a)>0)$
$\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi \over a^{3}}}\quad (a>0)$
$\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-(ax^{2}+bx)}\,dx={\frac {{\sqrt {\pi }}(2a+b^{2})}{4a^{5/2}}}e^{\frac {b^{2}}{4a}}\quad (\operatorname {Re} (a)>0)$
$\int _{-\infty }^{\infty }x^{3}e^{-(ax^{2}+bx)}\,dx={\frac {{\sqrt {\pi }}(6a+b^{2})b}{8a^{7/2}}}e^{\frac {b^{2}}{4a}}\quad (\operatorname {Re} (a)>0)$
$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{2}}\,dx={\begin{cases}{\dfrac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{2\left(a^{\frac {n+1}{2}}\right)}}&(n>-1,\ a>0)\\{\dfrac {(2k-1)!!}{2^{k+1}a^{k}}}{\sqrt {\dfrac {\pi }{a}}}&(n=2k,\ k{\text{ integer}},\ a>0)\\{\dfrac {k!}{2(a^{k+1})}}&(n=2k+1,\ k{\text{ integer}},\ a>0)\end{cases}}$

(ο τελεστής $!!$ είναι το Διπλό παραγοντικό)

$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}\,dx={\begin{cases}{\dfrac {\Gamma (n+1)}{a^{n+1}}}&(n>-1,\ \operatorname {Re} (a)>0)\\\\{\dfrac {n!}{a^{n+1}}}&(n=0,1,2,\ldots ,\ \operatorname {Re} (a)>0)\end{cases}}$
$\int _{0}^{1}x^{n}e^{-ax}\,dx={\frac {n!}{a^{n+1}}}\left[1-e^{-a}\sum _{i=0}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}\right]$
$\int _{0}^{b}x^{n}e^{-ax}\,dx={\frac {n!}{a^{n+1}}}\left[1-e^{-ab}\sum _{i=0}^{n}{\frac {(ab)^{i}}{i!}}\right]$
$\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{b}}dx={\frac {1}{b}}\ a^{-{\frac {1}{b}}}\Gamma \left({\frac {1}{b}}\right)$
$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{b}}dx={\frac {1}{b}}\ a^{-{\frac {n+1}{b}}}\Gamma \left({\frac {n+1}{b}}\right)$
$\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin bx\,dx={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)$
$\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\cos bx\,dx={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)$
$\int _{0}^{\infty }xe^{-ax}\sin bx\,dx={\frac {2ab}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)$
$\int _{0}^{\infty }xe^{-ax}\cos bx\,dx={\frac {a^{2}-b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}\sin bx}{x}}\,dx=\arctan {\frac {b}{a}}$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x}}\,dx=\ln {\frac {b}{a}}$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x}}\sin px\,dx=\arctan {\frac {b}{p}}-\arctan {\frac {a}{p}}$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x}}\cos px\,dx={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}+p^{2}}{a^{2}+p^{2}}}$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}(1-\cos x)}{x^{2}}}\,dx=\operatorname {arccot} a-{\frac {a}{2}}\ln {\Big (}{\frac {1}{a^{2}}}+1{\Big )}$
$\int _{-\infty }^{\infty }e^{ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+f}\,dx=e^{f}\sum _{n,m,p=0}^{\infty }{\frac {b^{4n}}{(4n)!}}{\frac {c^{2m}}{(2m)!}}{\frac {d^{4p}}{(4p)!}}{\frac {\Gamma (3n+m+p+{\frac {1}{4}})}{a^{3n+m+p+{\frac {1}{4}}}}}$ (εμφανίζεται σε διάφορα μοντέλα της εκτεταμένης θεωρίας υπερχορδών σε υψηλότερες διαστάσεις)
$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ ( $I 0$ είναι η τροποποιημένη συνάρτηση Μπέσελ πρώτου είδους)
$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}/z-1}}\,dx=\operatorname {Li} _{s}(z)\Gamma (s),$

όπου $\operatorname {Li} _{s}(z)$ είναι ο Πολυλογάριθμος.

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin mx}{e^{2\pi x}-1}}\,dx={\frac {1}{4}}\coth {\frac {m}{2}}-{\frac {1}{2m}}$
$\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln x\,dx=-\gamma ,$