Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων

Ακολουθεί ο Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων.

$\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}$

είναι η Κανονική κατανομή πυκνότητας,

$\Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\varphi (t)\,dt={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]$

και η αντίστοιχη αθροιστική συνάρτηση κατανομής (όπου erf είναι η συνάρτηση σφάλματος) και

$T(h,a)=\varphi (h)\int _{0}^{a}{\frac {\varphi (hx)}{1+x^{2}}}\,dx$

είναι η συνάρτηση T του Όουεν.

Ο Όουεν διαθέτει έναν εκτενή κατάλογο ολοκληρωμάτων Γκαουσιανών συναρτήσεων - παρακάτω παρατίθεται μόνο ένα μέρος του.

Αόριστα ολοκληρώματα

• $\int \varphi (x)\,dx=\Phi (x)+C$
• $\int x\varphi (x)\,dx=-\varphi (x)+C$
• $\int x^{2}\varphi (x)\,dx=\Phi (x)-x\varphi (x)+C$
• $\int x^{2k+1}\varphi (x)\,dx=-\varphi (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {(2k)!!}{(2j)!!}}x^{2j}+C$
• $\int x^{2k+2}\varphi (x)\,dx=-\varphi (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {(2k+1)!!}{(2j+1)!!}}x^{2j+1}+(2k+1)!!\,\Phi (x)+C$

τα δύο προηγούμενα ολοκληρώματα, n'!! είναι το διπλό παραγοντικό: για ζυγό n είναι ίσο με το γινόμενο όλων των ζυγών αριθμών από το 2 έως το n, και για μονό n είναι το γινόμενο όλων των περιττών αριθμών από το 1 έως το n- επιπλέον θεωρείται ότι 0!! = (-1)!!! = 1.

• $\int \varphi (x)^{2}\,dx={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\Phi {\left(x{\sqrt {2}}\right)}+C$
• $\int \varphi (x)\varphi (a+bx)\,dx={\frac {1}{t}}\varphi {\left({\frac {a}{t}}\right)}\Phi {\left(tx+{\frac {ab}{t}}\right)}+C,\qquad t={\sqrt {1+b^{2}}}$
• $\int x\varphi (a+bx)\,dx=-{\frac {1}{b^{2}}}\left[\varphi (a+bx)+a\Phi (a+bx)\right]+C$
• $\int x^{2}\varphi (a+bx)\,dx={\frac {1}{b^{3}}}\left[\left(a^{2}+1\right)\Phi (a+bx)+\left(a-bx\right)\varphi (a+bx)\right]+C$
• $\int \varphi (a+bx)^{n}\,dx={\frac {1}{b{\sqrt {n{\left(2\pi \right)}^{n-1}}}}}\Phi {\left({\sqrt {n}}(a+bx)\right)}+C$
• $\int \Phi (a+bx)\,dx={\frac {1}{b}}\left[\left(a+bx\right)\Phi (a+bx)+\varphi (a+bx)\right]+C$
• $\int x\Phi (a+bx)\,dx={\frac {1}{2b^{2}}}\left[\left(b^{2}x^{2}-a^{2}-1\right)\Phi (a+bx)+\left(bx-a\right)\varphi (a+bx)\right]+C$
• $\int x^{2}\Phi (a+bx)\,dx={\frac {1}{3b^{3}}}\left[\left(b^{3}x^{3}+a^{3}+3a\right)\Phi (a+bx)+\left(b^{2}x^{2}-abx+a^{2}+2\right)\varphi (a+bx)\right]+C$
• $\int x^{n}\Phi (x)\,dx={\frac {1}{n+1}}\left[\left(x^{n+1}-nx^{n-1}\right)\Phi (x)+x^{n}\varphi (x)+n(n-1)\int x^{n-2}\Phi (x)\,dx\right]+C$
• $\int x\varphi (x)\Phi (a+bx)\,dx={\frac {b}{t}}\varphi {\left({\frac {a}{t}}\right)}\Phi {\left(xt+{\frac {ab}{t}}\right)}-\varphi (x)\Phi (a+bx)+C,\qquad t={\sqrt {1+b^{2}}}$
• $\int \Phi (x)^{2}\,dx=x\Phi (x)^{2}+2\Phi (x)\varphi (x)-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\Phi {\left(x{\sqrt {2}}\right)}+C$
• $\int e^{cx}\varphi (bx)^{n}\,dx={\frac {e^{\frac {c^{2}}{2nb^{2}}}}{b{\sqrt {n{\left(2\pi \right)}^{n-1}}}}}\Phi {\left({\frac {b^{2}xn-c}{b{\sqrt {n}}}}\right)}+C,\qquad b\neq 0,n>0$

Οριστικά ολοκληρώματα

• $\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\varphi (x)^{n}\,dx={\frac {1}{\sqrt {n^{3}{\left(2\pi \right)}^{n-1}}}}$
• $\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\varphi (a+bx)\,dx={\frac {1}{\sqrt {1+b^{2}}}}\varphi {\left({\frac {a}{\sqrt {1+b^{2}}}}\right)}$
• $\int _{-\infty }^{0}\varphi (ax)\Phi (bx)\,dx={\frac {1}{2\pi |a|}}\left({\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {b}{|a|}}\right)\right)$
• $\int _{0}^{\infty }\varphi (ax)\Phi (bx)\,dx={\frac {1}{2\pi |a|}}\left({\frac {\pi }{2}}+\arctan \left({\frac {b}{|a|}}\right)\right)$
• $\int _{0}^{\infty }x\varphi (x)\Phi (bx)\,dx={\frac {1}{2{\sqrt {2\pi }}}}\left(1+{\frac {b}{\sqrt {1+b^{2}}}}\right)$
• $\int _{0}^{\infty }x^{2}\varphi (x)\Phi (bx)\,dx={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {b}{1+b^{2}}}+\arctan(b)\right)$
• $\int _{-\infty }^{\infty }x\varphi (x)^{2}\Phi (x)\,dx={\frac {1}{4\pi {\sqrt {3}}}}$
• $\int _{0}^{\infty }\Phi (bx)^{2}\varphi (x)\,dx={\frac {1}{2\pi }}\left(\arctan(b)+\arctan {\sqrt {1+2b^{2}}}\right)$
• $\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (a+bx)^{2}\varphi (x)\,dx=\Phi {\left({\frac {a}{\sqrt {1+b^{2}}}}\right)}-2T{\left({\frac {a}{\sqrt {1+b^{2}}}},{\frac {1}{\sqrt {1+2b^{2}}}}\right)}$
• $\int _{-\infty }^{\infty }x\Phi (a+bx)^{2}\varphi (x)\,dx={\frac {2b}{\sqrt {1+b^{2}}}}\varphi {\left({\frac {a}{t}}\right)}\Phi {\left({\frac {a}{{\sqrt {1+b^{2}}}{\sqrt {1+2b^{2}}}}}\right)}$
• $\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (bx)^{2}\varphi (x)\,dx={\frac {1}{\pi }}\arctan {\sqrt {1+2b^{2}}}$
• $\int _{-\infty }^{\infty }x\varphi (x)\Phi (bx)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }x\varphi (x)\Phi (bx)^{2}\,dx={\frac {b}{\sqrt {2\pi (1+b^{2})}}}$
• $\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (a+bx)\varphi (x)\,dx=\Phi {\left({\frac {a}{\sqrt {1+b^{2}}}}\right)}$
• $\int _{-\infty }^{\infty }x\Phi (a+bx)\varphi (x)\,dx={\frac {b}{\sqrt {1+b^{2}}}}\varphi {\left({\frac {a}{\sqrt {1+b^{2}}}}\right)},$
• $\int _{0}^{\infty }x\Phi (a+bx)\varphi (x)\,dx={\frac {b}{t}}\varphi {\left({\frac {a}{t}}\right)}\Phi {\left(-{\frac {ab}{t}}\right)}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\Phi (a),\qquad t={\sqrt {1+b^{2}}}$
• $\int _{-\infty }^{\infty }\ln(x^{2}){\frac {1}{\sigma }}\varphi {\left({\frac {x}{\sigma }}\right)}\,dx=\ln(\sigma ^{2})-\gamma -\ln 2\approx \ln(\sigma ^{2})-1.27036$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπερβολικές συναρτήσεις
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Πολυώνυμο
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Advances in Quantum Chemistry. Academic Press. 11 Μαΐου 1994. ISBN 978-0-08-058250-4. 
• Quinn, Charles M. (28 Φεβρουαρίου 2002). Computational Quantum Chemistry: An Interactive Introduction to Basis Set Theory. Elsevier. ISBN 978-0-08-048853-0. 
• Board, Oswaal Editorial (9 Σεπτεμβρίου 2024). Oswaal ISC 10 Sample Question Papers Class 12 (Set of 5 Books) Physics, Chemistry, Maths, English Paper 1 & 2 For 2025 Board Exam (Based On The Latest CISCE/ICSE Specimen Paper). Oswaal Books. ISBN 978-93-6239-374-6. 
• Álvarez-Cónsul, Luis· Burgos-Gil, José Ignacio (24 Σεπτεμβρίου 2015). Feynman Amplitudes, Periods and Motives. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-2247-9. 
• Schaefer, Henry F. (29 Ιουνίου 2013). Methods of Electronic Structure Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-0887-5. 
• Board, Oswaal Editorial (9 Σεπτεμβρίου 2024). Oswaal ISC 10 Sample Question Papers Class 12 (Set of 5 Books) Physics, Chemistry, Maths, English Paper 1 & 2 For 2025 Board Exam (Based On The Latest CISCE/ICSE Specimen Paper). Oswaal Books. ISBN 978-93-6239-374-6. 
• Experts, Disha (27 Οκτωβρίου 2021). Guide to Indian Navy Senior Secondary Recruit (SSR) & Artificer Apprentice (AA) Exam 2021-22. Disha Publications. ISBN 978-93-91551-67-4. 
• Gerdt, Vladimir P.· Koepf, Wolfram (10 Σεπτεμβρίου 2015). Computer Algebra in Scientific Computing: 17th International Workshop, CASC 2015, Aachen, Germany, September 14-18, 2015, Proceedings. Springer. ISBN 978-3-319-24021-3. 
• Wilson, R. L. (9 Μαρτίου 2013). Much Ado About Calculus: A Modern Treatment with Applications Prepared for Use with the Computer. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4615-9644-8. 
• Dua, Amita· Singh, Chayannika (2 Αυγούστου 2024). Quantum Chemistry: Classical to Computational. Taylor & Francis. ISBN 978-1-040-10058-5. 

Παραπομπές

• Owen, D. (1980). «A table of normal integrals». Communications in Statistics: Simulation and Computation B9 (4): 389–419. doi:10.1080/03610918008812164. 
• Patel, Jagdish K.· Read, Campbell B. (1996). Handbook of the normal distribution (2nd έκδοση). CRC Press. ISBN 0-8247-9342-0. 

• Moll, Victor Hugo (12 Νοεμβρίου 2014). Special Integrals of Gradshteyn and Ryzhik: the Proofs – Volume I. Series: Monographs and Research Notes in Mathematics. I (1 έκδοση). Chapman and Hall/CRC Press. ISBN 978-1-48225-651-2. Ανακτήθηκε στις 12 Φεβρουαρίου 2016. 
• Moll, Victor Hugo (27 Οκτωβρίου 2015). Special Integrals of Gradshteyn and Ryzhik: the Proofs – Volume II. Series: Monographs and Research Notes in Mathematics. II (1 έκδοση). Chapman and Hall/CRC Press. ISBN 978-1-48225-653-6. Ανακτήθηκε στις 12 Φεβρουαρίου 2016. 
• Toyesh Prakash Sharma, https://www.isroset.org/pdf_paper_view.php?paper_id=2214&7-ISROSET-IJSRMSS-05130.pdf
• Segal, I. E.· Kunze, R. A. (6 Δεκεμβρίου 2012). Integrals and Operators. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-66693-3. 
• «Integrals of Particular Functions: Proofs with Solved Examples». allen.in. Ανακτήθηκε στις 8 Μαρτίου 2025. 

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0