Κατάλογος ολοκληρωμάτων αντίστροφων υπερβολικών συναρτήσεων

Ακολουθεί o κατάλογος ολοκληρωμάτων (αντιπαράγωγων ολοκληρωμάτων) των αντίστροφων υπερβολικών συναρτήσεων.. Για έναν πλήρη κατάλογο των ολοκληρωτικών τύπων, ανατρέξτε στην ενότητα Κατάλογοι ολοκληρωμάτων.

• Σε όλους τους τύπους η σταθερά a θεωρείται μη μηδενική και C δηλώνει τη σταθερά ολοκλήρωσης.
• Για κάθε τύπο αντίστροφης υπερβολικής ολοκλήρωσης που ακολουθεί υπάρχει ένας αντίστοιχος τύπος στον κατάλογο ολοκληρωμάτων αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
• Το πρότυπο ISO 80000-2 χρησιμοποιεί το πρόθεμα «ar-» αντί για «arc-» για τις αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις- το ίδιο κάνουμε και εδώ.

Τύποι ολοκλήρωσης του αντίστροφου υπερβολικού ημιτόνου

$\int \operatorname {arsinh} (ax)\,dx=x\operatorname {arsinh} (ax)-{\frac {\sqrt {a^{2}x^{2}+1}}{a}}+C$

$\int x\operatorname {arsinh} (ax)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arsinh} (ax)}{2}}+{\frac {\operatorname {arsinh} (ax)}{4a^{2}}}-{\frac {x{\sqrt {a^{2}x^{2}+1}}}{4a}}+C$

$\int x^{2}\operatorname {arsinh} (ax)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arsinh} (ax)}{3}}-{\frac {\left(a^{2}x^{2}-2\right){\sqrt {a^{2}x^{2}+1}}}{9a^{3}}}+C$

$\int x^{m}\operatorname {arsinh} (ax)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arsinh} (ax)}{m+1}}-{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{\sqrt {a^{2}x^{2}+1}}}\,dx\quad (m\neq -1)$

$\int \operatorname {arsinh} (ax)^{2}\,dx=2x+x\operatorname {arsinh} (ax)^{2}-{\frac {2{\sqrt {a^{2}x^{2}+1}}\operatorname {arsinh} (ax)}{a}}+C$

$\int \operatorname {arsinh} (ax)^{n}\,dx=x\operatorname {arsinh} (ax)^{n}-{\frac {n{\sqrt {a^{2}x^{2}+1}}\operatorname {arsinh} (ax)^{n-1}}{a}}+n(n-1)\int \operatorname {arsinh} (ax)^{n-2}\,dx$

$\int \operatorname {arsinh} (ax)^{n}\,dx=-{\frac {x\operatorname {arsinh} (ax)^{n+2}}{(n+1)(n+2)}}+{\frac {{\sqrt {a^{2}x^{2}+1}}\operatorname {arsinh} (ax)^{n+1}}{a(n+1)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}\int \operatorname {arsinh} (ax)^{n+2}\,dx\quad (n\neq -1,-2)$

Τύποι ολοκλήρωσης του αντίστροφου υπερβολικού συνημιτόνου

$\int \operatorname {arcosh} (ax)\,dx=x\operatorname {arcosh} (ax)-{\frac {{\sqrt {ax+1}}{\sqrt {ax-1}}}{a}}+C$

$\int x\operatorname {arcosh} (ax)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arcosh} (ax)}{2}}-{\frac {\operatorname {arcosh} (ax)}{4a^{2}}}-{\frac {x{\sqrt {ax+1}}{\sqrt {ax-1}}}{4a}}+C$

$\int x^{2}\operatorname {arcosh} (ax)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arcosh} (ax)}{3}}-{\frac {\left(a^{2}x^{2}+2\right){\sqrt {ax+1}}{\sqrt {ax-1}}}{9a^{3}}}+C$

$\int x^{m}\operatorname {arcosh} (ax)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arcosh} (ax)}{m+1}}-{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{{\sqrt {ax+1}}{\sqrt {ax-1}}}}\,dx\quad (m\neq -1)$

$\int \operatorname {arcosh} (ax)^{2}\,dx=2x+x\operatorname {arcosh} (ax)^{2}-{\frac {2{\sqrt {ax+1}}{\sqrt {ax-1}}\operatorname {arcosh} (ax)}{a}}+C$

$\int \operatorname {arcosh} (ax)^{n}\,dx=x\operatorname {arcosh} (ax)^{n}-{\frac {n{\sqrt {ax+1}}{\sqrt {ax-1}}\operatorname {arcosh} (ax)^{n-1}}{a}}+n(n-1)\int \operatorname {arcosh} (ax)^{n-2}\,dx$

$\int \operatorname {arcosh} (ax)^{n}\,dx=-{\frac {x\operatorname {arcosh} (ax)^{n+2}}{(n+1)(n+2)}}+{\frac {{\sqrt {ax+1}}{\sqrt {ax-1}}\operatorname {arcosh} (ax)^{n+1}}{a(n+1)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}\int \operatorname {arcosh} (ax)^{n+2}\,dx\quad (n\neq -1,-2)$

Τύποι ολοκλήρωσης της αντίστροφης υπερβολικής εφαπτομένης

$\int \operatorname {artanh} (ax)\,dx=x\operatorname {artanh} (ax)+{\frac {\ln \left(1-a^{2}x^{2}\right)}{2a}}+C$

$\int x\operatorname {artanh} (ax)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {artanh} (ax)}{2}}-{\frac {\operatorname {artanh} (ax)}{2a^{2}}}+{\frac {x}{2a}}+C$

$\int x^{2}\operatorname {artanh} (ax)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {artanh} (ax)}{3}}+{\frac {\ln \left(1-a^{2}x^{2}\right)}{6a^{3}}}+{\frac {x^{2}}{6a}}+C$

$\int x^{m}\operatorname {artanh} (ax)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {artanh} (ax)}{m+1}}-{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{1-a^{2}x^{2}}}\,dx\quad (m\neq -1)$

Τύποι ολοκλήρωσης της αντίστροφης υπερβολικής συνεφαπτομένης

$\int \operatorname {arcoth} (ax)\,dx=x\operatorname {arcoth} (ax)+{\frac {\ln \left(a^{2}x^{2}-1\right)}{2a}}+C$

$\int x\operatorname {arcoth} (ax)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arcoth} (ax)}{2}}-{\frac {\operatorname {arcoth} (ax)}{2a^{2}}}+{\frac {x}{2a}}+C$

$\int x^{2}\operatorname {arcoth} (ax)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arcoth} (ax)}{3}}+{\frac {\ln \left(a^{2}x^{2}-1\right)}{6a^{3}}}+{\frac {x^{2}}{6a}}+C$

$\int x^{m}\operatorname {arcoth} (ax)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arcoth} (ax)}{m+1}}+{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{a^{2}x^{2}-1}}\,dx\quad (m\neq -1)$

Τύποι ολοκλήρωσης της αντίστροφης υπερβολικής τέμνουσας

$\int \operatorname {arsech} (ax)\,dx=x\operatorname {arsech} (ax)-{\frac {2}{a}}\operatorname {arctan} {\sqrt {\frac {1-ax}{1+ax}}}+C$

$\int x\operatorname {arsech} (ax)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arsech} (ax)}{2}}-{\frac {(1+ax)}{2a^{2}}}{\sqrt {\frac {1-ax}{1+ax}}}+C$

$\int x^{2}\operatorname {arsech} (ax)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arsech} (ax)}{3}}-{\frac {1}{3a^{3}}}\operatorname {arctan} {\sqrt {\frac {1-ax}{1+ax}}}-{\frac {x(1+ax)}{6a^{2}}}{\sqrt {\frac {1-ax}{1+ax}}}+C$

$\int x^{m}\operatorname {arsech} (ax)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arsech} (ax)}{m+1}}+{\frac {1}{m+1}}\int {\frac {x^{m}}{(1+ax){\sqrt {\frac {1-ax}{1+ax}}}}}\,dx\quad (m\neq -1)$

Τύποι ολοκλήρωσης της αντίστροφης υπερβολικής συντέμνουσας

$\int \operatorname {arcsch} (ax)\,dx=x\operatorname {arcsch} (ax)+{\frac {1}{a}}\operatorname {arcoth} {\sqrt {{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}+1}}+C$

$\int x\operatorname {arcsch} (ax)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arcsch} (ax)}{2}}+{\frac {x}{2a}}{\sqrt {{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}+1}}+C$

$\int x^{2}\operatorname {arcsch} (ax)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arcsch} (ax)}{3}}-{\frac {1}{6a^{3}}}\operatorname {arcoth} {\sqrt {{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}+1}}+{\frac {x^{2}}{6a}}{\sqrt {{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}+1}}+C$

$\int x^{m}\operatorname {arcsch} (ax)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arcsch} (ax)}{m+1}}+{\frac {1}{a(m+1)}}\int {\frac {x^{m-1}}{\sqrt {{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}+1}}}\,dx\quad (m\neq -1)$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπερβολικές συναρτήσεις
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Πολυώνυμο
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Stewart, Seán M. (2018). How to Integrate It. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-41881-2. 
• Attenborough, Mary P. (30 Ιουνίου 2003). Mathematics for Electrical Engineering and Computing. Elsevier. ISBN 978-0-08-047340-6. 
• Board, Oswaal Editorial (9 Σεπτεμβρίου 2024). Oswaal ISC 10 Sample Question Papers Class 12 (Set of 5 Books) Physics, Chemistry, Maths, English Paper 1 & 2 For 2025 Board Exam (Based On The Latest CISCE/ICSE Specimen Paper). Oswaal Books. ISBN 978-93-6239-374-6. 
• Álvarez-Cónsul, Luis· Burgos-Gil, José Ignacio (24 Σεπτεμβρίου 2015). Feynman Amplitudes, Periods and Motives. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-2247-9. 
• Greenhill, sir Alfred George (1896). Differential and integral calculus, with applications. London. 
• Dawson, C. Bryan (2022). Calculus Set Free: Infinitesimals to the Rescue. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-289559-2. 
• Experts, Disha (27 Οκτωβρίου 2021). Guide to Indian Navy Senior Secondary Recruit (SSR) & Artificer Apprentice (AA) Exam 2021-22. Disha Publications. ISBN 978-93-91551-67-4. 
• Gerdt, Vladimir P.· Koepf, Wolfram (10 Σεπτεμβρίου 2015). Computer Algebra in Scientific Computing: 17th International Workshop, CASC 2015, Aachen, Germany, September 14-18, 2015, Proceedings. Springer. ISBN 978-3-319-24021-3. 
• Wilson, R. L. (9 Μαρτίου 2013). Much Ado About Calculus: A Modern Treatment with Applications Prepared for Use with the Computer. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4615-9644-8. 
• Stewart, Seán M. (21 Δεκεμβρίου 2017). How to Integrate It: A Practical Guide to Finding Elementary Integrals. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-31414-5. 

Παραπομπές

• Abramowitz, Milton· Stegun, Irene A., επιμ. (1972). «Chapter 3». Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. 
• Zwillinger, Daniel· Jeffrey, Alan (23 Φεβρουαρίου 2007). Table of Integrals, Series, and Products. Elsevier. ISBN 978-0-08-047111-2. 
• Peirce, Benjamin Osgood (1929) [1899]. «Chapter 3». A Short Table of Integrals (3rd revised έκδοση). Boston: Ginn and Co. σελίδες 16–30. 
• Segal, I. E.· Kunze, R. A. (6 Δεκεμβρίου 2012). Integrals and Operators. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-66693-3. 
• «Integrals of Particular Functions: Proofs with Solved Examples». allen.in. Ανακτήθηκε στις 8 Μαρτίου 2025. 

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0