Μετάβαση στο περιεχόμενο

Κατάλογος ολοκληρωμάτων αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Η συνάρτηση ημιτόνου και συνημιτόνου στον μοναδιαίο κύκλο.

Ακολουθεί ένας αόριστων κατάλογος ολοκληρωμάτων (αντιπαράγωγων ολοκληρωμάτων) αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.^[1] Για έναν πλήρη κατάλογο των ολοκληρωτικών τύπων, ανατρέξτε στην ενότητα Λίστες ολοκληρωμάτων.^[2]^[3]

Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι επίσης γνωστές ως «συναρτήσεις τόξου».
Το C χρησιμοποιείται για την αυθαίρετη σταθερά ολοκλήρωσης που μπορεί να προσδιοριστεί μόνο αν είναι γνωστό κάτι για την τιμή του ολοκληρώματος σε κάποιο σημείο. Έτσι, κάθε συνάρτηση έχει άπειρο αριθμό αντιπαραγώγων.^[4]
Υπάρχουν τρεις συνήθεις συμβολισμοί για τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Η συνάρτηση του τοξοειδούς, για παράδειγμα, θα μπορούσε να γραφτεί ως sin⁻¹, asin^[5] ή, όπως χρησιμοποιείται σε αυτή τη σελίδα, arcsin.
Για κάθε τύπο ολοκλήρωσης αντίστροφης τριγωνομετρίας παρακάτω υπάρχει ένας αντίστοιχος τύπος στον κατάλογο των ολοκληρωμάτων αντίστροφης υπερβολικής συνάρτησης.

Τύποι ολοκλήρωσης της συνάρτησης Arcsine

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

$\int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$
$\int \arcsin(ax)\,dx=x\arcsin(ax)+{\frac {\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}{a}}+C$
$\int x\arcsin(ax)\,dx={\frac {x^{2}\arcsin(ax)}{2}}-{\frac {\arcsin(ax)}{4\,a^{2}}}+{\frac {x{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}}{4\,a}}+C$
$\int x^{2}\arcsin(ax)\,dx={\frac {x^{3}\arcsin(ax)}{3}}+{\frac {\left(a^{2}x^{2}+2\right){\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}}{9\,a^{3}}}+C$
$\int x^{m}\arcsin(ax)\,dx={\frac {x^{m+1}\arcsin(ax)}{m+1}}\,-\,{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}}\,dx\,,\quad (m\neq -1)$
$\int \arcsin(ax)^{2}\,dx=-2x+x\arcsin(ax)^{2}+{\frac {2{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}\arcsin(ax)}{a}}+C$
$\int \arcsin(ax)^{n}\,dx=x\arcsin(ax)^{n}\,+\,{\frac {n{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}\arcsin(ax)^{n-1}}{a}}\,-\,n\,(n-1)\int \arcsin(ax)^{n-2}\,dx$
$\int \arcsin(ax)^{n}\,dx={\frac {x\arcsin(ax)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}}\,+\,{\frac {{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}\arcsin(ax)^{n+1}}{a\,(n+1)}}\,-\,{\frac {1}{(n+1)\,(n+2)}}\int \arcsin(ax)^{n+2}\,dx\,,\quad (n\neq -1,-2)$

Τύποι ολοκλήρωσης της συνάρτησης Arccosine

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

$\int \arccos(x)\,dx=x\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C$
$\int \arccos(ax)\,dx=x\arccos(ax)-{\frac {\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}{a}}+C$
$\int x\arccos(ax)\,dx={\frac {x^{2}\arccos(ax)}{2}}-{\frac {\arccos(ax)}{4\,a^{2}}}-{\frac {x{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}}{4\,a}}+C$
$\int x^{2}\arccos(ax)\,dx={\frac {x^{3}\arccos(ax)}{3}}-{\frac {\left(a^{2}x^{2}+2\right){\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}}{9\,a^{3}}}+C$
$\int x^{m}\arccos(ax)\,dx={\frac {x^{m+1}\arccos(ax)}{m+1}}\,+\,{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}}\,dx\,,\quad (m\neq -1)$
$\int \arccos(ax)^{2}\,dx=-2x+x\arccos(ax)^{2}-{\frac {2{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}\arccos(ax)}{a}}+C$
$\int \arccos(ax)^{n}\,dx=x\arccos(ax)^{n}\,-\,{\frac {n{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}\arccos(ax)^{n-1}}{a}}\,-\,n\,(n-1)\int \arccos(ax)^{n-2}\,dx$
$\int \arccos(ax)^{n}\,dx={\frac {x\arccos(ax)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}}\,-\,{\frac {{\sqrt {1-a^{2}x^{2}}}\arccos(ax)^{n+1}}{a\,(n+1)}}\,-\,{\frac {1}{(n+1)\,(n+2)}}\int \arccos(ax)^{n+2}\,dx\,,\quad (n\neq -1,-2)$

Τύποι ολοκλήρωσης της συνάρτησης Arctangent

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

$\int \arctan(x)\,dx=x\arctan(x)-{\frac {\ln \left(x^{2}+1\right)}{2}}+C$
$\int \arctan(ax)\,dx=x\arctan(ax)-{\frac {\ln \left(a^{2}x^{2}+1\right)}{2\,a}}+C$
$\int x\arctan(ax)\,dx={\frac {x^{2}\arctan(ax)}{2}}+{\frac {\arctan(ax)}{2\,a^{2}}}-{\frac {x}{2\,a}}+C$
$\int x^{2}\arctan(ax)\,dx={\frac {x^{3}\arctan(ax)}{3}}+{\frac {\ln \left(a^{2}x^{2}+1\right)}{6\,a^{3}}}-{\frac {x^{2}}{6\,a}}+C$
$\int x^{m}\arctan(ax)\,dx={\frac {x^{m+1}\arctan(ax)}{m+1}}-{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{a^{2}x^{2}+1}}\,dx\,,\quad (m\neq -1)$

Τύποι ολοκλήρωσης της συνάρτησης Arccotangent

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

$\int \operatorname {arccot}(x)\,dx=x\operatorname {arccot}(x)+{\frac {\ln \left(x^{2}+1\right)}{2}}+C$
$\int \operatorname {arccot}(ax)\,dx=x\operatorname {arccot}(ax)+{\frac {\ln \left(a^{2}x^{2}+1\right)}{2\,a}}+C$
$\int x\operatorname {arccot}(ax)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arccot}(ax)}{2}}+{\frac {\operatorname {arccot}(ax)}{2\,a^{2}}}+{\frac {x}{2\,a}}+C$
$\int x^{2}\operatorname {arccot}(ax)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arccot}(ax)}{3}}-{\frac {\ln \left(a^{2}x^{2}+1\right)}{6\,a^{3}}}+{\frac {x^{2}}{6\,a}}+C$
$\int x^{m}\operatorname {arccot}(ax)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arccot}(ax)}{m+1}}+{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{a^{2}x^{2}+1}}\,dx\,,\quad (m\neq -1)$

Τύποι ολοκλήρωσης της συνάρτησης Arcsecant

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

$\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx=x\operatorname {arcsec}(x)\,-\,\ln \left(\left|x\right|+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,+\,C=x\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} |x|+C$
$\int \operatorname {arcsec}(ax)\,dx=x\operatorname {arcsec}(ax)-{\frac {1}{a}}\,\operatorname {arcosh} |ax|+C$
$\int x\operatorname {arcsec}(ax)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arcsec}(ax)}{2}}-{\frac {x}{2\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}}}+C$
$\int x^{2}\operatorname {arcsec}(ax)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arcsec}(ax)}{3}}\,-\,{\frac {\operatorname {arcosh} |ax|}{6\,a^{3}}}\,-\,{\frac {x^{2}}{6\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}}}\,+\,C$
$\int x^{m}\operatorname {arcsec}(ax)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arcsec}(ax)}{m+1}}\,-\,{\frac {1}{a\,(m+1)}}\int {\frac {x^{m-1}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}}}}\,dx\,,\quad (m\neq -1)$

Τύποι ολοκλήρωσης της συνάρτησης Arccosecant

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

$\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx=x\operatorname {arccsc}(x)\,+\,\ln \left(\left|x\right|+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,+\,C=x\operatorname {arccsc}(x)\,+\,\operatorname {arcosh} |x|\,+\,C$
$\int \operatorname {arccsc}(ax)\,dx=x\operatorname {arccsc}(ax)+{\frac {1}{a}}\,\operatorname {artanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}}}+C$
$\int x\operatorname {arccsc}(ax)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arccsc}(ax)}{2}}+{\frac {x}{2\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}}}+C$
$\int x^{2}\operatorname {arccsc}(ax)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arccsc}(ax)}{3}}\,+\,{\frac {1}{6\,a^{3}}}\,\operatorname {artanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}}}\,+\,{\frac {x^{2}}{6\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}}}\,+\,C$
$\int x^{m}\operatorname {arccsc}(ax)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arccsc}(ax)}{m+1}}\,+\,{\frac {1}{a\,(m+1)}}\int {\frac {x^{m-1}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}x^{2}}}}}}\,dx\,,\quad (m\neq -1)$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή

Δείτε επίσης

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Βιβλιογραφία

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Gradshteyn, I. S.· Ryzhik, I. M. (10 Μαΐου 2014). Table of Integrals, Series, and Products. Academic Press. ISBN 978-1-4832-6564-3.
Zwillinger, Daniel· Jeffrey, Alan (23 Φεβρουαρίου 2007). Table of Integrals, Series, and Products. Elsevier. ISBN 978-0-08-047111-2.
Board, Oswaal Editorial (9 Σεπτεμβρίου 2024). Oswaal ISC 10 Sample Question Papers Class 12 (Set of 5 Books) Physics, Chemistry, Maths, English Paper 1 & 2 For 2025 Board Exam (Based On The Latest CISCE/ICSE Specimen Paper). Oswaal Books. ISBN 978-93-6239-374-6.
Álvarez-Cónsul, Luis· Burgos-Gil, José Ignacio (24 Σεπτεμβρίου 2015). Feynman Amplitudes, Periods and Motives. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-2247-9.
Gradshteyn, I. S.· Ryzhik, I. M. (10 Μαΐου 2014). Table of Integrals, Series, and Products. Academic Press. ISBN 978-1-4832-6564-3.
Blümlein, Johannes· Schneider, Carsten (26 Νοεμβρίου 2021). Anti-Differentiation and the Calculation of Feynman Amplitudes. Springer Nature. ISBN 978-3-030-80219-6.
Experts, Disha (27 Οκτωβρίου 2021). Guide to Indian Navy Senior Secondary Recruit (SSR) & Artificer Apprentice (AA) Exam 2021-22. Disha Publications. ISBN 978-93-91551-67-4.
Gerdt, Vladimir P.· Koepf, Wolfram (10 Σεπτεμβρίου 2015). Computer Algebra in Scientific Computing: 17th International Workshop, CASC 2015, Aachen, Germany, September 14-18, 2015, Proceedings. Springer. ISBN 978-3-319-24021-3.
Wilson, R. L. (9 Μαρτίου 2013). Much Ado About Calculus: A Modern Treatment with Applications Prepared for Use with the Computer. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4615-9644-8.
Stewart, Seán M. (21 Δεκεμβρίου 2017). How to Integrate It: A Practical Guide to Finding Elementary Integrals. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-31414-5.

Παραπομπές

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Dawson, C. Bryan (2022). Calculus Set Free: Infinitesimals to the Rescue. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-289559-2.
↑ Experts, Disha. Guide to English & Logical Reasoning for BITSAT with past 5 Year Solved Papers (2017-2013) + 10 Mock Tests - 6th Edition. Disha Publications. ISBN 978-93-86629-96-8.
↑ «Inverse Trig Integrals | Integrals of Inverse Trig Functions». Cuemath (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 10 Μαρτίου 2025.
↑ «5.7: Integrals Resulting in Inverse Trigonometric Functions and Related Integration Techniques». Mathematics LibreTexts (στα Αγγλικά). 18 Οκτωβρίου 2018. Ανακτήθηκε στις 10 Μαρτίου 2025.
↑ «Μαθηματική συνάρτηση: asin( ) ή arcsin( )». users.sch.gr. Ανακτήθηκε στις 9 Μαρτίου 2025.

Abramowitz, Milton· Stegun, Irene A., επιμ. (1972). «Chapter 3». Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover.
Zwillinger, Daniel· Jeffrey, Alan (23 Φεβρουαρίου 2007). Table of Integrals, Series, and Products. Elsevier. ISBN 978-0-08-047111-2.
Peirce, Benjamin Osgood (1929) [1899]. «Chapter 3». A Short Table of Integrals (3rd revised έκδοση). Boston: Ginn and Co. σελίδες 16–30.
Segal, I. E.· Kunze, R. A. (6 Δεκεμβρίου 2012). Integrals and Operators. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-66693-3.
«Integrals of Particular Functions: Proofs with Solved Examples». allen.in. Ανακτήθηκε στις 8 Μαρτίου 2025.

Πηγές

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
StatLib–JASA Data Archive
UCI – a machine learning repository
UK Government Public Data
World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4.
Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ
Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0

Κατάλογοι ολοκληρωμάτων

Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/w/index.php?title=Κατάλογος_ολοκληρωμάτων_αντίστροφων_τριγωνομετρικών_συναρτήσεων&oldid=11011275"

Κατηγορίες:

Κρυμμένες κατηγορίες: