Κατάλογοι ολοκληρωμάτων

Μια συλλογή ενός καταλόγου ολοκληρωμάτων (Integraltafeln) και τεχνικών του ολοκληρωτικού λογισμού δημοσιεύθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό Μάιερ Χιρς (γερμανικά: Meier Hirsch) το 1810 Οι κατάλογοι αυτοί επανεκδόθηκαν στο Ηνωμένο Βασίλειο το 1823. Εκτενέστεροι κατάλογοι καταρτίστηκαν το 1858 από τον Ολλανδό μαθηματικό Ντέιβιντ Μπίρενς ντε Χάαν για το έργο του Πίνακες ολοκληρωμένων υπολογισμών (Tables d'intégrales définies), το οποίο συμπληρώθηκε από το βιβλίο Supplément aux tables d'intégrales définies (Συμπλήρωμα στους πίνακες των ορισμένων ολοκληρωμάτων) περίπου το 1864. Μια νέα έκδοση του κυκλοφόρησε το 1867 με τον τίτλο Nouvelles tables d'intégrales définies (Νέοι πίνακες ορισμένων ολοκληρωμάτων).

Οι πίνακες αυτοί, οι οποίοι περιέχουν κυρίως ολοκληρώματα στοιχειωδών συναρτήσεων, παρέμειναν σε χρήση μέχρι τα μέσα του 20ού αιώνα. Στη συνέχεια αντικαταστάθηκαν από τους πίνακες Γκραντστάιν και Ρίζικ, οι οποίοι είναι πολύ πιο πλήρεις. Στους πίνακες Γκραντστάιν και Ρίζικ, τα ολοκληρώματα από το βιβλίο του Μπιέρενς ντε Χάαν αναφέρονται ως BI.

Δεν έχουν όλες οι εκφράσεις κλειστής μορφής αντιπαράγωγα κλειστής μορφής- η μελέτη αυτή αποτελεί αντικείμενο της διαφορικής θεωρίας Γκαλουά, η οποία αναπτύχθηκε αρχικά από τον Ζοζέφ Λιουβίλ στις δεκαετίες του 1830 και 1840, οδηγώντας στο θεώρημα του Λιουβίλ που ταξινομεί ποιες εκφράσεις έχουν κλειστού τύπου αντιπαράγωγα. Ένα απλό παράδειγμα συνάρτησης χωρίς αντιπαράγωγο κλειστής μορφής είναι η e^−x2, της οποίας το αντιπαράγωγο είναι (μέχρι σταθερές) η συνάρτηση σφάλματος.

Από το 1968 υπάρχει ο αλγόριθμος Ρισχ για τον προσδιορισμό αόριστων ολοκληρωμάτων που μπορούν να εκφραστούν με όρους στοιχειωδών συναρτήσεων, συνήθως με τη χρήση ενός συστήματος υπολογιστικής άλγεβρας. Τα ολοκληρώματα που δεν μπορούν να εκφραστούν με τη χρήση στοιχειωδών συναρτήσεων μπορούν να χειριστούν συμβολικά με τη χρήση γενικών συναρτήσεων, όπως η συνάρτηση G του Μέιγιερ.

Κατάλογοι ολοκληρωμάτων

Περισσότερες λεπτομέρειες μπορείτε να βρείτε στις ακόλουθες σελίδες για τους καταλόγους ολοκληρωμάτων:

• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των ρητών συναρτήσεων
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των άρρητων συναρτήσεων
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων αντίστροφων υπερβολικών συναρτήσεων
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των εκθετικών συναρτήσεων
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των λογαριθμικών συναρτήσεων
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων

Ο πίνακας ολοκληρωμάτων, σειρών και παραγώγων των Γκραντστάιν, Ρίζικ, Γερόνιμους, Τσέιτλιν, Τζέφρι, Ζβίλινγκερ και Μολ (GR) περιέχει μια μεγάλη συλλογή αποτελεσμάτων. Ένας ακόμη μεγαλύτερος πίνακας, σε πολλούς τόμους, είναι αυτός των Προυντνίκοφ, Μπρίτσκοφ και Μάριτσεφ (οι τόμοι 1 έως 3 απαριθμούν ολοκληρώματα και σειρές στοιχειωδών και ειδικών συναρτήσεων, οι τόμοι 4 και 5 είναι πίνακες μετασχηματισμών Λαπλάς). Πιο συμπαγείς συλλογές μπορούν να βρεθούν, επί παραδείγματι, στους Πίνακες Αόριστων Ολοκληρωμάτων των Μπριτσκόφ, Μάριτσεφ και Προυντνίκοφ, ή σε μορφή κεφαλαίου στο CRC Πρότυποι Μαθηματικοί Πίνακες και Τύποι του Ζβίλινγκερ, ή στο Οδηγός Μαθηματικών, Εγχειρίδιο Μαθηματικών ή Οδηγός Χρηστών Μαθηματικών των Μπρόνστειν και Σεμεντιάγιεφ, καθώς και σε άλλα εγχειρίδια μαθηματικών.

Άλλες χρήσιμες πηγές είναι οι μελέτες Αμπράμοβιτς και Στέγκουν και το έργο Bateman Manuscript Project. Και τα δύο αυτά περιέχουν πολλές ταυτοποιήσεις που αφορούν συγκεκριμένα ολοκληρώματα, οι οποίες είναι οργανωμένες σύμφωνα με το πιο σχετικό θέμα και όχι συγκεντρωμένες σε ξεχωριστό πίνακα. Δύο τόμοι του χειρογράφου Μπέιτμαν αφορούν ειδικά τους ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς.

Αρκετοί δικτυακοί τόποι προσφέρουν πίνακες ολοκληρωμάτων και ολοκληρωμάτων κατά παραγγελία. Το πρόγραμμα Γούλφραμ Άλφα μπορεί να εμφανίσει τα αποτελέσματα και, για ορισμένες απλούστερες εκφράσεις, τα ενδιάμεσα στάδια της ολοκλήρωσης. Η Wolfram Research διαχειρίζεται επίσης μια άλλη διαδικτυακή υπηρεσία, το Mathematica Online Integrator.

Ολοκληρώματα απλών συναρτήσεων

Το C χρησιμοποιείται για μια αυθαίρετη σταθερά ολοκλήρωσης που μπορεί να προσδιοριστεί μόνο αν είναι γνωστό κάτι σχετικά με την τιμή του ολοκληρώματος σε κάποιο σημείο. Έτσι, κάθε συνάρτηση έχει άπειρο αριθμό αντιπαραγώγων.

Αυτοί οι τύποι δηλώνουν μόνο με άλλη μορφή τους ισχυρισμούς του πίνακα των παραγώγων.

Ολοκληρώματα με ιδιομορφία

Όταν υπάρχει μια Ιδιομορφία στην ολοκληρωμένη συνάρτηση, έτσι ώστε η αντιπαράγωγος να γίνεται απροσδιόριστη ή σε κάποιο σημείο (η ιδιομορφία), τότε το C δεν χρειάζεται να είναι το ίδιο και στις δύο πλευρές της ιδιομορφίας. Οι παρακάτω μορφές συνήθως υποθέτουν την κύρια τιμή του Κωσύ γύρω από μια ιδιομορφία στην τιμή του C, αλλά αυτό είναι γενικά, όχι απαραίτητο. Παραδείγματος χάριν στο

$\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$

υπάρχει μια ιδιομορφία στο 0 και η αντιπαράγωγος γίνεται άπειρη εκεί. Αν το παραπάνω ολοκλήρωμα χρησιμοποιούνταν για τον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος μεταξύ -1 και 1, θα παίρναμε τη λανθασμένη απάντηση 0. Αυτή όμως είναι η κύρια τιμή Κωσύ του ολοκληρώματος γύρω από την ιδιομορφία. Αν η ολοκλήρωση γίνει στο μιγαδικό επίπεδο, το αποτέλεσμα εξαρτάται από τη διαδρομή γύρω από την αρχή, στην περίπτωση αυτή η ιδιομορφία συνεισφέρει -iπ όταν χρησιμοποιείται διαδρομή πάνω από την αρχή και iπ για διαδρομή κάτω από την αρχή. Μια συνάρτηση στην πραγματική ευθεία θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει μια εντελώς διαφορετική τιμή του C σε κάθε πλευρά της αρχής, όπως στο:

$\int {1 \over x}\,dx=\ln |x|+{\begin{cases}A&{\text{if }}x>0;\\B&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$

Ρητές συναρτήσεις

Βλ. επίσης: Κατάλογος ολοκληρωμάτων ρητών συναρτήσεων

• $\int a\,dx=ax+C$

Η ακόλουθη συνάρτηση έχει μια μη ολοκληρώσιμη ιδιομορφία στο 0 για n' ≤ -1:

• $\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}$ (Τύπος τετραγωνισμού του Καβαλιέρι)
• $\int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}$
• $\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$
  • Γενικότερα,

$\int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}$

• $\int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C$

Εκθετικές συναρτήσεις

Βλ. επίσης: Κατάλογος ολοκληρωμάτων των εκθετικών συναρτήσεων

• $\int e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C$
• $\int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C$
• $\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C$
• $\int {e^{x}\left(f\left(x\right)+f'\left(x\right)\right)\,dx}=e^{x}f\left(x\right)+C$
• $\int {e^{x}\left(f\left(x\right)-\left(-1\right)^{n}{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=e^{x}\sum _{k=1}^{n}{\left(-1\right)^{k-1}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}}+C$ }

(αν $n$ είναι θετικός ακέραιος αριθμός)

• $\int {e^{-x}\left(f\left(x\right)-{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=-e^{-x}\sum _{k=1}^{n}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}+C$

(αν $n$ είναι θετικός ακέραιος αριθμός)

Λογάριθμοι

Βλ. επίσης: Κατάλογος ολοκληρωμάτων λογαριθμικών συναρτήσεων

• $\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$
• $\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C={\frac {x}{\ln a}}(\ln x-1)+C$

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Βλ. επίσης: Κατάλογος ολοκληρωμάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

• $\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$
• $\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$
• $\int \tan {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C$
• $\int \cot {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}\right|}+C=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$
• $\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C=\ln \left|\tan \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C$
  • (Βλ. Ολοκλήρωμα της δευτερεύουσας συνάρτησης. Το αποτέλεσμα αυτό ήταν μια γνωστή εικασία τον 17ο αιώνα.)
• $\int \csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\tan {\frac {x}{2}}\right|}+C$
• $\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$
• $\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$
• $\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C$
• $\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C$
• $\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$
• $\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$
• $\int \tan ^{2}x\,dx=\tan x-x+C$
• $\int \cot ^{2}x\,dx=-\cot x-x+C$
• $\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|)+C$
  • (βλ.το ολοκλήρωμα της τεμνούσας σε κύβους.)
• $\int \csc ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(-\csc x\cot x+\ln |\csc x-\cot x|)+C={\frac {1}{2}}\left(\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|-\csc x\cot x\right)+C$
• $\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$
• $\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Βλ. επίσης: Κατάλογος ολοκληρωμάτων αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

• $\int \arcsin {x}\,dx=x\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq 1$
• $\int \arccos {x}\,dx=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq 1$
• $\int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x$
• $\int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x$
• $\int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\operatorname {arcsec} {x}-\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1$
• $\int \operatorname {arccsc} {x}\,dx=x\operatorname {arccsc} {x}+\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1$

Υπερβολικές συναρτήσεις

Βλ. επίσης: Κατάλογος ολοκληρωμάτων υπερβολικών συναρτήσεων

• $\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$
• $\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$
• $\int \tanh x\,dx=\ln \,(\cosh x)+C$
• $\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C,{\text{ for }}x\neq 0$
• $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C$
• $\int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln |\operatorname {coth} x-\operatorname {csch} x|+C=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0$
• $\int \operatorname {sech} ^{2}x\,dx=\tanh x+C$
• $\int \operatorname {csch} ^{2}x\,dx=-\operatorname {coth} x+C$
• $\int \operatorname {sech} {x}\,\operatorname {tanh} {x}\,dx=-\operatorname {sech} {x}+C$
• $\int \operatorname {csch} {x}\,\operatorname {coth} {x}\,dx=-\operatorname {csch} {x}+C$

Αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις

Βλ. επίσης: Κατάλογος ολοκληρωμάτων αντίστροφων υπερβολικών συναρτήσεων

• $\int \operatorname {arcsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C,{\text{ for all real }}x$
• $\int \operatorname {arccosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C,{\text{ for }}x\geq 1$
• $\int \operatorname {arctanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,1-x^{2}\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert <1$
• $\int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccoth} \,x+{\frac {\ln \left(x^{2}-1\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert >1$
• $\int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsech} \,x+\arcsin x+C,{\text{ for }}0<x\leq 1$
• $\int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccsch} \,x+\vert \operatorname {arcsinh} \,x\vert +C,{\text{ for }}x\neq 0$

Παράγωγοι συναρτήσεων ανάλογες προς τις δεύτερες παραγώγους τους

• $\int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C$
• $\int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C$
• $\int \cos ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\cosh bx+b\cos ax\,\sinh bx\right)+C$
• $\int \sin ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\sinh bx-a\cos ax\,\cosh bx\right)+C$

Συναρτήσεις αβέβαιων τιμών

Έστω f μια Συνέχεια συνάρτησης, που έχει το πολύ μία ρίζα. Αν η f έχει μηδέν, έστω g το μοναδικό αντιπαράγωγο της f που είναι μηδέν στη ρίζα της f- διαφορετικά, έστω g οποιοδήποτε αντιπαράγωγο της f. Τότε

$\int \left|f(x)\right|\,dx=\operatorname {sgn}(f(x))g(x)+C,$

όπου sgn(x) είναι η συνάρτηση προσήμου, η οποία παίρνει τις τιμές -1, 0, 1 όταν x είναι αντίστοιχα αρνητική, μηδενική ή θετική.

Αυτό μπορεί να αποδειχθεί με τον υπολογισμό της παραγώγου της δεξιάς πλευράς του τύπου, λαμβάνοντας υπόψη ότι η συνθήκη για το g είναι εδώ για την εξασφάλιση της συνέχειας του ολοκληρώματος.

Έτσι προκύπτουν οι ακόλουθοι τύποι (όπου a ≠ 0), οι οποίοι ισχύουν για κάθε διάστημα όπου η f είναι συνεχής (σε μεγαλύτερα διαστήματα, η σταθερά C πρέπει να αντικατασταθεί από μια τμηματικά σταθερή συνάρτηση):

• $\int \left|(ax+b)^{n}\right|\,dx=\operatorname {sgn}(ax+b){(ax+b)^{n+1} \over a(n+1)}+C$

όταν n είναι περιττή, και $n\neq -1$.

• $\int \left|\tan {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\tan {ax})\ln(\left|\cos {ax}\right|)+C$

όταν ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ για κάποιο ακέραιο αριθμό n.

• $\int \left|\csc {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\csc {ax})\ln(\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|)+C$

όταν $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ για κάποιο ακέραιο αριθμό n.

• $\int \left|\sec {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\sec {ax})\ln(\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|)+C$

όταν ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ για κάποιο ακέραιο αριθμό n.

• $\int \left|\cot {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\cot {ax})\ln(\left|\sin {ax}\right|)+C$

όταν $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ για κάποιο ακέραιο αριθμό n.

Αν η συνάρτηση f δεν έχει συνεχή αντιπαράγωγο που παίρνει την τιμή μηδέν στα μηδενικά της f (αυτό συμβαίνει για τις συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο), τότε sgn(f(x)) ∫ f(x) dx είναι μια αντιπαράγωγος της f σε κάθε διάστημα στο οποίο η f δεν είναι μηδέν, αλλά μπορεί να είναι ασυνεχής στα σημεία όπου f(x) = 0. Για να έχουμε μια συνεχή αντιπαράγωγο, πρέπει επομένως να προσθέσουμε μια καλά επιλεγμένη συνάρτηση βήματος. Αν χρησιμοποιήσουμε επίσης το γεγονός ότι οι απόλυτες τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου είναι περιοδικές με περίοδο π, τότε έχουμε:

• $\int \left|\sin {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor -{1 \over a}\cos {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor \pi \right)}+C$
• $\int \left|\cos {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor +{1 \over a}\sin {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \pi \right)}+C$

Ειδικές συναρτήσεις

Ci, Si: Τριγωνομετρικά ολοκληρώματα, Ei: Εκθετικό ολοκλήρωμα, li: erf: Συνάρτηση σφάλματος

• $\int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x$
• $\int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x$
• $\int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}$
• $\int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)$
• $\int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x$
• $\int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x)$

Ορισμένα ολοκληρώματα χωρίς αντιπαράγωγα κλειστής μορφής

Υπάρχουν ορισμένες συναρτήσεις των οποίων οι αντιπαραγωγές δεν μπορούν να εκφραστούν σε κλειστή μορφή. Ωστόσο, οι τιμές των ορισμένων ολοκληρωμάτων σε κάποια από αυτές τις συναρτήσεις σε κάποια κοινά διαστήματα μπορούν να υπολογιστούν. Μερικά χρήσιμα ολοκληρώματα δίνονται παρακάτω.

• $\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (βλ. επίσης Συνάρτηση Γάμμα)
• $\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$ for a > 0 (το γκαουσιανό ολοκλήρωμαl)
• $\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}$ for a > 0
• $\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {2n-1}{2a}}\int _{0}^{\infty }x^{2(n-1)}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}={\frac {(2n)!}{n!2^{2n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}$
• για a > 0, n είναι ένας θετικός ακέραιος και !! είναι το διπλό παραγοντικό.
• $\int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}$ when a > 0
• $\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n}{a}}\int _{0}^{\infty }x^{2n-1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}$
• for a > 0, n = 0, 1, 2, ....
• $\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (βλ. επίσης αριθμός Μπερνούλι)
• $\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx=2\zeta (3)\approx 2.40$
• $\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{4}}{15}}$
• $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$ (βλ. συνάρτηση sinc και το ολοκλήρωμα Ντίριχλετ)
• $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$
• $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}$
• (αν n είναι ένας θετικός ακέραιος και !! είναι το διπλό παραγοντικό).
• $\int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&|\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
• (για α, β, m, n ακέραιοι αριθμοί με β ≠ 0 και m, n ≥ 0, βλ. επίσης Διωνυμικό συντελεστή)
• $\int _{-t}^{t}\sin ^{m}(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=0$
• (για α, β πραγματικός, n ένας μη αρνητικός ακέραιος και m ένας περιττός θετικός ακέραιος- αφού το ολοκλήρωμα είναι περιττό)
• $\int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ odd}},\ \alpha =\beta (2m-n)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
• (για α, β, m, n ακέραιοι αριθμοί με β ≠ 0 και m, n ≥ 0, βλ. επίσης Διωνυμικό συντελεστή)
• $\int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ even}},\ |\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
• (για α, β, m, n ακέραιοι αριθμοί με β ≠ 0 και m, n ≥ 0, βλ. επίσης Διωνυμικό συντελεστή
• $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]$
• (όπου exp[u] είναι η εκθετική συνάρτηση e^u, και a > 0.)
• $\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)$
• (οπου $\Gamma (z)$ είναι η συνάρτηση Γάμμα)
• $\int _{0}^{1}\left(\ln {\frac {1}{x}}\right)^{p}\,dx=\Gamma (p+1)$
• $\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}$
• (για Re(α) > 0 και Re(β) > 0, βλ. συνάρτηση βήτα)
• $\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ (όπου I₀(x) είναι η τροποποιημένη συνάρτηση Μπέσελ πρώτου είδους)
• $\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)$
• $\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\,dx={\frac {{\sqrt {\nu \pi }}\ \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}$
• (για ν > 0 , αυτό σχετίζεται με τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Κατανομής t-Student)

Εάν η συνάρτηση f έχει περιορισμένη μεταβολή στο διάστημα [a,b], τότε η μέθοδος της εξάντλησης παρέχει έναν τύπο για το ολοκλήρωμα:

$\int _{a}^{b}{f(x)\,dx}=(b-a)\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)2^{-n}).$

Το «Όνειρο του δευτεροετούς»:

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(=1.29128\,59970\,6266\dots )\\[6pt]\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&(=0.78343\,05107\,1213\dots )\end{aligned}}$

αποδίδεται στον Γιόχαν Μπερνούλι.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπερβολικές συναρτήσεις
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Πολυώνυμο
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Zwillinger, Daniel· Jeffrey, Alan (23 Φεβρουαρίου 2007). Table of Integrals, Series, and Products. Elsevier. ISBN 978-0-08-047111-2. 
• Baeza, Ricardo (2004). Algebraic and Arithmetic Theory of Quadratic Forms: Proceedings of the International Conference on the Algebraic and Arithmetic Theory of Quadratic Forms, December 11-18, 2002, Universidad de Talca, Chile. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3441-1. 
• Board, Oswaal Editorial (9 Σεπτεμβρίου 2024). Oswaal ISC 10 Sample Question Papers Class 12 (Set of 5 Books) Physics, Chemistry, Maths, English Paper 1 & 2 For 2025 Board Exam (Based On The Latest CISCE/ICSE Specimen Paper). Oswaal Books. ISBN 978-93-6239-374-6. 
• Álvarez-Cónsul, Luis· Burgos-Gil, José Ignacio (24 Σεπτεμβρίου 2015). Feynman Amplitudes, Periods and Motives. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-2247-9. 
• Bond, Thomas· Hughes, Chris (4 Νοεμβρίου 2013). A-level Mathematics Effective Guide (Concise) (Yellowreef). Yellowreef Limited. 
• Board, Oswaal Editorial (9 Σεπτεμβρίου 2024). Oswaal ISC 10 Sample Question Papers Class 12 (Set of 5 Books) Physics, Chemistry, Maths, English Paper 1 & 2 For 2025 Board Exam (Based On The Latest CISCE/ICSE Specimen Paper). Oswaal Books. ISBN 978-93-6239-374-6. 
• Experts, Disha (27 Οκτωβρίου 2021). Guide to Indian Navy Senior Secondary Recruit (SSR) & Artificer Apprentice (AA) Exam 2021-22. Disha Publications. ISBN 978-93-91551-67-4. 
• Gerdt, Vladimir P.· Koepf, Wolfram (10 Σεπτεμβρίου 2015). Computer Algebra in Scientific Computing: 17th International Workshop, CASC 2015, Aachen, Germany, September 14-18, 2015, Proceedings. Springer. ISBN 978-3-319-24021-3. 
• Wilson, R. L. (9 Μαρτίου 2013). Much Ado About Calculus: A Modern Treatment with Applications Prepared for Use with the Computer. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4615-9644-8. 
• Dua, Amita· Singh, Chayannika (2 Αυγούστου 2024). Quantum Chemistry: Classical to Computational. Taylor & Francis. ISBN 978-1-040-10058-5. 

Παραπομπές

• Bronstein, Ilja Nikolaevič· Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. Grosche, Günter· Ziegler, Viktor· Ziegler, Dorothea, επιμ. Taschenbuch der Mathematik (στα German). 1. Μτφρ. Ziegler, Viktor. Weiß, Jürgen (23 έκδοση). Thun and Frankfurt am Main: Verlag Harri Deutsch (and B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig). ISBN 3-87144-492-8. 
• Zwillinger, Daniel· Jeffrey, Alan (23 Φεβρουαρίου 2007). Table of Integrals, Series, and Products. Elsevier. ISBN 978-0-08-047111-2. 
• Prudnikov, Anatolii Platonovich (Прудников, Анатолий Платонович)· Brychkov, Yuri A. (Брычков, Ю. А.) (1988–1992) [1981−1986 (Russian)]. Integrals and Series (στα English). 1–5. Μτφρ. Queen, N. M. (1 έκδοση). (Nauka) Gordon & Breach Science Publishers/CRC Press. ISBN 2-88124-097-6.  . Second revised edition (Russian), volume 1–3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.
• Yuri A. Brychkov (Ю. А. Брычков), Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas. Russian edition, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. English edition, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X / 9781584889564.
• Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st edition. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3. (Many earlier editions as well.)
• Meyer Hirsch [de], Integraltafeln oder Sammlung von Integralformeln (Duncker und Humblot, Berlin, 1810)
• Meyer Hirsch [de], Integral Tables Or A Collection of Integral Formulae (Baynes and son, London, 1823) [English translation of Integraltafeln]
• David Bierens de Haan, Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Engels, Leiden, 1862)
• Benjamin O. Pierce A short table of integrals - revised edition (Ginn & co., Boston, 1899)

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0