Επτάγωνο

Ένα κυρτό επτάγωνο.

Ένα μη-κυρτό επτάγωνο.

Ένα μη-απλό επτάγωνο.

Στη γεωμετρία το επτάγωνο είναι ένα πολύγωνο με επτά κορυφές και επτά πλευρές.

Ένα επτάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

Ιδιότητες

• Σε κάθε απλό επτάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα $900^{\circ }$ (ή $5\pi$ ακτίνια).
• Κάθε επτάγωνο έχει 14 διαγωνίους.

Κυρτό κανονικό επτάγωνο

Κυρτό κανονικό επτάγωνο

Ιδιότητες
Είδος	απλό, κυρτό, κανονικό
Πλευρές	7, ισόπλευρο
Γωνίες	7, ισογώνιο
Διαγώνιοι	$14$
Σύμβολο Schläfli	$\{7\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	7
Περιστροφική συμμετρία	έβδομης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 128{\frac {4}{7}}^{\circ }}$ (ή $5/7\pi$ ακτίνια)
Εμβαδόν	${\rm {E}}={\frac {7}{4}}\cot {\frac {\pi }{7}}\cdot \lambda ^{2}$
Περίμετρος	${\rm {\Pi }}=7\cdot \lambda$
Ακτίνα εγγεγρ. κύκλου	${\textstyle r={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{7}}}$
Ακτίνα περιγ. κύκλου	${\textstyle R={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{7}}\cdot \lambda }$
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	επτάγραμμα

Ιδιότητες

Για το κανονικό επτάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με ${\textstyle 128{\frac {4}{7}}^{\circ }}$ (ή $5\pi /7$ ακτίνια).
• Έχει επτά άξονες συμμετρίας.
• Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
• Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
• Έχει περιστροφική συμμετρία έβδομης τάξεως.
• Το σύμβολο Schläfli του επταγώνου είναι $\{7\}$.

Οι επτά άξονες συμμετρίας ενός κανονικού επταγώνου.

Ο εγγεγραμμένος και ο περιγεγραμμένος κύκλος του επταγώνου.

Μετρικές σχέσεις

• Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού επταγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}R&={\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{7}}\cdot \lambda \approx 1{,}152382\cdot \lambda .\end{aligned}}$

• Η ακτίνα $r$ του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού επταγώνου είναι ίση με

${\begin{aligned}r&={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\pi }{7}}\cdot \lambda \approx 1{,}038261\cdot \lambda .\end{aligned}}$

Τα δύο είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό επτάγωνο

• Το κανονικό επτάγωνο έχει
  • επτά μικρές διαγωνίους με μήκος

${\begin{aligned}d_{1}&=2\sin {\frac {\pi }{7}}\cdot R\approx 0{,}867767\cdot R,\end{aligned}}$

• και επτά μεγάλες διαγωνίους με μήκος

${\begin{aligned}d_{2}&=2\sin {\frac {2\pi }{7}}\cdot R\approx 1{,}563663\cdot R.\end{aligned}}$

• Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου

$w=d_{2}$.

• Το ύψος του είναι

$h=R+r$.

Εμβαδόν

Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού επταγώνου πλευράς $\lambda$ και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου $r$ είναι

${\rm {E}}={\frac {7}{2}}\cdot \lambda \cdot r$.

Απόδειξη  

Διαχωρισμός κανονικού επταγώνου σε επτά ίσα ισοσκελή τρίγωνα

Το κανονικό επτάγωνο χωρίζεται σε $7$ ισοσκελή τρίγωνα με βάση ίση με $\lambda$ και ύψος $r$. Επομένως το εμβαδόν του επταγώνου είναι

${\rm {E}}=7\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \lambda \cdot r={\frac {7}{2}}\cdot \lambda \cdot r$.

Το εμβαδό ${\rm {E}}$ ενός κανονικού επταγώνου πλευράς $\lambda$ δίνεται από τη σχέση:

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {7}{4}}\cot {\frac {\pi }{7}}\cdot \lambda ^{2}\approx 3{,}633912\cdot \lambda ^{2}.\end{aligned}}$

Αν $R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδό του επταγώνου είναι

${\begin{aligned}{\rm {E}}&={\frac {7}{2}}\sin {\frac {2\pi }{7}}\cdot R^{2}\approx 2{,}736410\cdot R^{2}.\end{aligned}}$

Aν $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε

${\begin{aligned}{\rm {E}}&=7\tan {\frac {\pi }{7}}\cdot r^{2}\approx 3{,}371022\cdot r^{2}\end{aligned}}$.

Περίμετρος

Η περίμετρος $\Pi$ του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με

$\Pi =7\cdot \lambda$.

Κατασκευή

Το κανονικό επτάγωνο είναι αδύνατο να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη. Μπορεί να κατασκευασθεί με τη μέθοδο της νεύσης και την κατασκευή αυτή παρουσιάζει ο Αρχιμήδης στο σωζόμενο έργο του Περί του κανονικού επταγώνου. Είναι επίσης κατασκευάσιμο με κανόνα και διαβήτη και τριχοτομητή γωνίας. Η αδυναμία κατασκευής του κανονικού επταγώνου με κανόνα και διαβήτη έπεται από το γεγονός ότι ο αριθμός ${\textstyle {2\cos {\tfrac {2\pi }{7}}\approx 1,247}}$ είναι μία ρίζα του μη αναγώγιμου κυβικού πολυωνύμου $x^{3}+x^{2}-2x-1$. Συνεπώς αυτό το πολυώνυμο είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του ${\textstyle 2\cos {\frac {2\pi }{7}}}$, ενώ ο βαθμός του ελάχιστου πολυωνύμου για έναν κατασκευάσιμο αριθμό πρέπει να είναι μια δύναμη του 2.

Μία κατασκευή με νεύσιν της εσωτερικής γωνίας ενός κανονικού επταγώνου.

Μία κατασκευή με νεύσιν της εσωτερικής γωνίας ενός κανονικού επταγώνου από τον Τζον Χόρτον Κόνγουεϊ.

Μία προσεγγιστική κατασκευή βήμα-βήμα ενός κανονικού επταγώνου με κανόνα και διαβήτη.

Μια ακριβέστερη προσέγγιση

Μια απλή κατασκευή κανονικού επταγώνου, όπου λ₇ είναι το μήκος της πλευράς κανονικού επταγώνου.

Το κανονικό επτάγωνο με πλευρές ${\textstyle \lambda =3{\tfrac {2}{11}}}$ μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο διαμέτρου ${\textstyle R=3{\tfrac {2}{3}}}$ με σφάλμα μικρότερο του 0,00013%.

Το γεγονός αυτό έπεται από μια ρητή προσέγγιση του ${\textstyle {\tfrac {\lambda }{R}}=\ 2\sin {\tfrac {\pi }{7}}\approx 1-({\tfrac {4}{11}})^{2}}$.

Λοιπές μετρικές σχέσεις

• Η πλευρά ενός κανονικού επταγώνου ισούται με τον μισό αρμονικό μέσο της μικρής και της μεγάλης διαγωνίου, δηλαδή

$\lambda ={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{d_{1}+d_{2}}}$.

Ισχύει ότι ${\rm {A\Delta }}={\rm {AB}}+{\rm {AI}}$.

• Έστω ${\rm {I}}$ το σημείο τομής των διαγωνίων του ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {B\Delta }}$. Τότε

${\rm {A\Delta }}={\rm {AB}}+{\rm {AI}}$.

• Επίσης, ${\rm {A\Gamma +A\Delta -AB}}={\sqrt {7}}\cdot R$.
• (Θεώρημα Βιβιάνι) Για κάθε εσωτερικό σημείο ${\rm {P}}$ ενός κανονικού επταγώνου ισχύει ότι το άθροισμα των αποστάσεων του $d_{1},d_{2},\ldots ,d_{7}$ από τις πλευρές του επταγώνου είναι σταθερό, δηλαδή

$d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{7}=7\cdot r$,

όπου $r$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου.

Σε ένα κανονικό επτάγωνο το άθροισμα των μπλε τμημάτων ισούται με αυτό των πράσινων.

• Έστω ${\rm {P}}$ ένα σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού επταγώνου ${\rm {AB\Gamma \Delta EZH}}$ στο έλασσον τόξο ${\rm {AH}}$. Τότε,

${\rm {PA}}+{\rm {P\Gamma }}+{\rm {PE}}+{\rm {PH}}={\rm {PB}}+{\rm {P\Delta }}+{\rm {PZ}}$.

Απόδειξη  

Έστω $\lambda$ η πλευρά του επταγώνου, $d_{1}$ το μήκος της μικρής και $d_{2}$ το μήκος της μεγάλης διαγωνίου. Τότε, εφαρμόζοντας το θεώρημα Πτολεμαίου στα τετράπλευρα ${\rm {PAB\Gamma }}$, ${\rm {PEZH}}$, ${\rm {PB\Delta Z}}$ και ${\rm {A\Gamma ZH}}$

• $\lambda \cdot {\rm {PA}}+\lambda \cdot {\rm {P\Gamma }}=d_{1}\cdot {\rm {PB}}$,
• $\lambda \cdot {\rm {PE}}+\lambda \cdot {\rm {PH}}=d_{1}\cdot {\rm {PZ}}$,
• $d_{1}\cdot {\rm {PB}}+d_{1}\cdot {\rm {PZ}}=d_{2}\cdot {\rm {P\Delta }}$,
• $d_{1}\cdot \lambda +d_{2}\cdot \lambda =d_{1}\cdot d_{2}$.

Aπό την τελευταία σχέση προκύπτει ότι

$\left({\frac {d_{1}}{\lambda }}-1\right)\cdot {\frac {d_{2}}{d_{1}}}=1$

Επομένως,

${\begin{aligned}{\rm {PA}}&+{\rm {P\Gamma }}+{\rm {PE}}+{\rm {PH}}\\&\qquad ={\frac {d_{1}}{\lambda }}\cdot ({\rm {PB}}+{\rm {PZ}})\\&\qquad ={\rm {PB}}+{\rm {PZ}}+\left({\frac {d_{1}}{\lambda }}-1\right)\cdot ({\rm {PB}}+{\rm {PZ}})\\&\qquad ={\rm {PB}}+{\rm {PZ}}+\left({\frac {d_{1}}{\lambda }}-1\right)\cdot {\frac {d_{2}}{d_{1}}}\cdot {\rm {P\Delta }}\\&\qquad ={\rm {PB}}+{\rm {P\Delta }}+{\rm {PZ}}.\end{aligned}}$

Αστεροειδή επτάγωνα

Υπάρχουν δύο είδη από αστεροειδή κανονικά επτάγωνα. Το αστεροειδές επτάγωνο με σύμβολο $\{7/2\}$ έχει ως κορυφές τις κορυφές ενός κανονικού επταγώνου και ως πλευρές τις διαγωνίους που συνδέουν κορυφές με απόσταση δύο μεταξύ τους, δηλαδή αν ${\rm {AB\Gamma \Delta EZH}}$ είναι ένα κανονικό επτάγωνο, το ${\rm {A\Gamma EHB\Delta Z}}$ είναι ένα αστεροειδές επτάγωνο $\{7/2\}$.

Αντίστοιχα το αστεροειδές επτάγωνο $\{7/3\}$ προκύπτει από τις κορυφές ενός κανονικού επταγώνου με πλευρές τις διαγωνίους που συνδέουν κορυφές με απόσταση $3$ μεταξύ τους.

Επτάγραμμα $\{7/2\}$

Το αστεροειδές επτάγωνο ${\rm {A\Gamma EHB\Delta Z}}$ που προκύπτει από το κανονικό επτάγωνο ${\rm {AB\Gamma \Delta EZH}}$.
Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	7, ισόπλευρο
Γωνίες	7, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{7/2\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	7
Περιστροφική συμμετρία	έβδομης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 77{\frac {1}{7}}^{\circ }}$ (ή $3\pi /7$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	επτάγραμμα

Επτάγραμμα $\{7/3\}$

Το αστεροειδές επτάγωνο ${\rm {A\Delta H\Gamma ZBE}}$ που προκύπτει από το κανονικό επτάγωνο ${\rm {AB\Gamma \Delta EZH\Theta I}}$.
Ιδιότητες
Είδος	αστεροειδές, μη-απλό
Πλευρές	7, ισόπλευρο
Γωνίες	7, ισογώνιο
Σύμβολο Schläfli	$\{7/3\}$
Συμμετρία
Άξονες συμμετρίας	7
Περιστροφική συμμετρία	έβδομης τάξης
Κύκλοι	εγγράψιμο, περιγράψιμο
Μετρικές σχέσεις
Μέτρο γωνιών	${\textstyle 25{\frac {5}{7}}^{\circ }}$ (ή $\pi /7$ ακτίνια)
Σχετικά σχήματα
Επίπεδα σχήματα	επτάγραμμα

Χρήσεις

Κέρματα

Σήμερα (2011) το Ηνωμένο Βασίλειο κυκλοφορεί δύο επταγωνικά κέρματα, αυτό των 50 πενών και αυτό των 20 πενών. Το δολάριο των Μπαρμπάντος είναι επίσης επταγωνικό. Το νόμισμα των 20 λεπτών του ευρώ φαίνεται να έχει 7 μικρά βαθουλώματα στην περιφέρειά του. Στην πραγματικότητα, το σχήμα του είναι ένα Επτάγωνο Ρελώ, δηλαδή ένα καμπυλόγραμμο επτάγωνο, οι πλευρές του οποίου κάμπτονται προς τα έξω έτσι ώστε το κέρμα να κυλά ομαλά μέσα σε μηχανήματα αυτόματων πωλητών. Τα κέρματα του Πούλα της Μποτσουάνα των 2 πούλα, 1 πούλα, 50 Thebe και 5 Thebe έχουν επίσης παρόμοιο σχήμα. Κέρματα στο σχήμα επταγώνων Ρελώ κυκλοφορούν στον Μαυρίτιο, στα Ηνωμένα Αραβικά Εμιράτα, στην Τανζανία, στις νήσους Σαμόα, στην Παπούα Νέα Γουινέα, στο Σάο Τομέ και Πρίντσιπε, στην Αϊτή, στη Τζαμάικα, στη Λιβερία, στη Γκάνα, στην Ιορδανία, στο Τζέρσεϊ, στη Νήσο Μαν, στο Γιβραλτάρ, στη Γουιάνα, στις Νήσους Σολομώντα, στις Νήσους Φώκλαντ και στη νήσο της Αγίας Ελένης. Το κέρμα των 1000 Kwacha της Ζάμπια είναι ένα κανονικό επτάγωνο.

Το κέρμα των 25 σεντς της Βραζιλίας έχει ένα επτάγωνο εγγεγραμμένο στον δίσκο του. Μερικές παλιότερες μορφές του θυρεού της Γεωργίας, περιλαμβανόμενης αυτής της σοβιετικής εποχής, έφεραν το επτάγραμμα {7/2}.

Στερεομετρία

Εκτός από το επταγωνικό πρίσμα και το επταγωνικό αντίπρισμα, δεν υπάρχει άλλο πολύεδρο με όλες τις έδρες του κανονικά πολύγωνα που να έχει επταγωνική έδρα.

Πλακοστρώσεις

Επταγωνική πλακόστρωση τρίτης τάξεως

Τα κανονικά επτάγωνα συναρμόζονται απολύτως, χωρίς κενά μεταξύ τους, ώστε να «πλακοστρώνουν» το υπερβολικό (αλλά όχι το ευκλείδειο) επίπεδο, όπως φαίνεται στην παρακάτω προβολή του προτύπου «δίσκου Poincaré».

Γράφοι

Ο πλήρης γράφος K₇ σχεδιάζεται συχνά ως ένα κανονικό επτάγωνο με τις 21 ακμές του γράφου συνδεδεμένες. Αυτός ο γράφος αναπαριστά επίσης Ορθογραφική προβολή των 7 κορυφών και των 21 ακμών του 6-simplex. Οι 21 και 35 κορυφές του ανορθωμένου και του διανορθωμένου 6-simplex προβάλλονται επίσης ορθογώνια σε κανονικά επτάγωνα.

6-simplex

Ανορθωμένο 6-simplex

Διανορθωμένο 6-simplex

Επτάγωνες δομές στη φύση

Ένας επταγωνικός κάκτος

Δείτε επίσης

• Επτάγραμμα

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική επταγωνική πλακόστρωση στο Desmos
• Περιστροφική συμμετρία του κανονικού επταγώνου στο Geogebra
• Η κατασκευή του Durer στο Geogebra
• Διαδραστική εφαρμογή για το κανονικό αστεροειδές επτάγραμμα, το {7/2} και το {7/3} στο Geogebra.

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Hogendijk, Jan P. (1984). «Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon». Archive for History of Exact Sciences 30 (3/4): 197-330. https://www.jstor.org/stable/41133724. 
• Bankoff, Leon; Garfunkel, Jack (1973). «The Heptagonal Triangle». Mathematics Magazine 46 (1): 7-19. doi:10.2307/2688574. 
• Johnson, Anthony; Pimpinelli, Alberto (2008). «Pegs and Ropes: Geometry at Stonehenge». Nature Precedings. 
• Johnson, Crockett (1975). «A construction for a regular heptagon». The Mathematical Gazette 59 (407): 17 - 21. doi:10.2307/3616804. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1975-03_59_407/page/n19. 
• Banner, B.J. (1952). «2297. Approximate construction of the regular heptagon». The Mathematical Gazette 36 (318): 276. doi:10.2307/3608208. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1952-12_36_318/page/276. 
• Hirst, Ann (1995). «Can you do it with heptagons?». The Mathematical Gazette 79 (484): 17 - 29. doi:10.2307/3619986. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1995-03_79_484/page/n18. 
• Bataille, Michel (2017). «About the Side and Diagonals of the Regular Heptagon». Crux 43 (2): 55-60. https://cms.math.ca/wp-content/uploads/crux-pdfs/CRUXv43n2.pdf#page=14. 
• Geretschlager, Robert. «Folding the regular heptagon». Crux 23 (2): 81-85. https://cms.math.ca/wp-content/uploads/crux-pdfs/CRUXv23n2.pdf#page=17.