Κέντρο Spieker

Το κέντρο Spieker του τριγώνου

{\rm {AB\Gamma }}

είναι το έγκεντρο του μεσοτριγώνου

{\rm {M_{A}M_{B}M_{\Gamma }}}

.

Το κέντρο Spieker ως κέντρο βάρους ενός τριγωνικού σύρματος (ομοιόμορφου βάρους).

Στην γεωμετρία, το κέντρο Spieker ενός τριγώνου είναι το κέντρο βάρους της περιμέτρου του τριγώνου.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6] Για παράδειγμα, είναι το κέντρο βάρους ενός σύρματος ομοιόμορφου βάρους σε σχήμα τριγώνου.

Ισοδύναμα, είναι το έγκεντρο του μεσοτριγώνου. Ο εγγεγραμμένος κύκλος του μεσοτριγώνου λέγεται και κύκλος Spieker. Το κέντρο και ο κύκλος παίρνουν το όνομά τους από τον Γερμανό γεωμέτρη Theodor Spieker που δημοσίευσε για αυτά το 1870.^[7]

Γενικά, το κέντρο δεν ταυτίζεται με το βαρύκεντρο του τριγώνου, που είναι το κέντρο βάρους του εσωτερικού του τριγώνου (μίας λαμαρίνας ομοιόμορφου βάρους) ή τριών ισοβαρών σωματιδίων στις κορυφές του.

Απόδειξη

Έστω ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ και ένα σημείο αναφοράς ${\rm {O}}$ . Αφού η περίμετρος έχει ομοιόμορφο βάρος, το κέντρο βάρους της κάθε πλευράς είναι στο μέσο της πλευράς, δηλαδή στις κορυφές ${\rm {\Delta EZ}}$ του μεσοτριγώνου:

{\vec {\rm {O\Delta }}}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\rm {OB}}}+{\vec {\rm {O\Gamma }}}\right)

,

{\vec {\rm {OE}}}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\rm {OA}}}+{\vec {O\Gamma }}\right)

και

{\vec {\rm {OZ}}}={\frac {1}{2}}\left({\vec {\rm {OA}}}+{\vec {\rm {OB}}}\right)

.

Οι πλευρές έχουν βάρη $\alpha ,\beta ,\gamma$ αντίστοιχα, επομένως το κέντρο βάρους είναι στο σημείο

{\vec {\rm {OS}}}={\frac {1}{\alpha +\beta +\gamma }}\cdot \left(\alpha \cdot {\vec {\rm {O\Delta }}}+\beta \cdot {\vec {\rm {OE}}}+\gamma \cdot {\vec {\rm {OZ}}}\right)

.

Έστω $\delta ,\varepsilon ,\zeta$ οι πλευρές του μεσοτριγώνου, τότε πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρομοναστή με $1/2$ λαμβάνουμε ότι

{\begin{aligned}{\vec {\rm {OS}}}&={\frac {1}{(\alpha +\beta +\gamma )/2}}\cdot \left((\alpha /2)\cdot {\vec {\rm {O\Delta }}}+(\beta /2)\cdot {\vec {\rm {OE}}}+(\gamma /2)\cdot {\vec {\rm {OZ}}}\right)\\&={\frac {1}{\delta +\varepsilon +\zeta }}\cdot \left(\delta \cdot {\vec {\rm {O\Delta }}}+\varepsilon \cdot {\vec {\rm {OE}}}+\zeta \cdot {\vec {\rm {OZ}}}\right).\end{aligned}}

,

που είναι οι συντεταγμένες του εγκέντρου του μεσοτριγώνου.

Ιδιότητες

Το κέντρο Spieker ανήκει στην ευθεία Νάγκελ και έτσι είναι συνευθειακό με το έγκεντρο ${\rm {I}}$ , το βαρύκεντρο ${\rm {G}}$ και το σημείο Νάγκελ ${\rm {N}}$ του τριγώνου, και επιπλέον

{\rm {SG={\tfrac {1}{2}}IG}}

,

{\rm {SI=SN}}

.

Δείτε επίσης

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύδεσμοι

Κέντρο Spieker στο MathWorld.
Διαδραστική εφαρμογή για το κέντρο Spieker στο Geogebra.
Κέντρο Spieker στο Cut The Knot.

Ξενόγλωσσα άρθρα

Scott, J. A. (2019). «103.11 On the Spieker centre of a scalene triangle». The Mathematical Gazette 103 (556): 153-154. doi:10.1017/mag.2019.26.

Παραπομπές

↑ Johnson, R. A. (1929). Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin. σελίδες 226-228.
↑ Honsberger, R. (1995). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. σελίδες 3–13.
↑ Kimberling, C. (1998). Triangle Centers and Central Triangles. Congr. Numer. σελίδες 1–295.
↑ «Fallacies, Flaws, and Flimflam». The College Mathematics Journal 32 (3): 197-200. 2001. doi:10.1080/07468342.2001.11921876. https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_2001-05_32_3/page/196.
↑ Jobbings, Andrew (2015). «Where is the centre of a polygon?». The Mathematical Gazette 99 (544): 109-120. https://www.jstor.org/stable/24496910.
↑ Leversha, Gerry (2013). The Geometry of the triangle. UKMT.
↑ Spieker, T. (1870). «Ein merkwürdiger Kreis um den Schwerpunkt des Perimeters des geradlinigen Dreiecks als Analogen des Kreises der neun Punkte». Archiv Math. u. Phys. (51): 10-14.

[1] Johnson, R. A. (1929). Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin. σελίδες 226-228.

[2] Honsberger, R. (1995). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. σελίδες 3–13.

[3] Kimberling, C. (1998). Triangle Centers and Central Triangles. Congr. Numer. σελίδες 1–295.

[4] «Fallacies, Flaws, and Flimflam». The College Mathematics Journal 32 (3): 197-200. 2001. doi:10.1080/07468342.2001.11921876. https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_2001-05_32_3/page/196.

[5] Jobbings, Andrew (2015). «Where is the centre of a polygon?». The Mathematical Gazette 99 (544): 109-120. https://www.jstor.org/stable/24496910.

[6] Leversha, Gerry (2013). The Geometry of the triangle. UKMT.

[7] Spieker, T. (1870). «Ein merkwürdiger Kreis um den Schwerpunkt des Perimeters des geradlinigen Dreiecks als Analogen des Kreises der neun Punkte». Archiv Math. u. Phys. (51): 10-14.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]