Δύο κάθετες ευθείες
x
x
′
{\displaystyle xx'}
και
y
y
′
{\displaystyle yy'}
.
Στην γεωμετρία , δύο ευθείες που τέμνονται λέγονται κάθετες αν στο σημείο τομής σχηματίζουν τέσσερις ορθές γωνίες .
Πιο συγκεκριμένα, οι ευθείες
x
x
′
{\displaystyle xx'}
και
y
y
′
{\displaystyle yy'}
με σημείο τομής
O
{\displaystyle {\rm {O}}}
είναι κάθετες αν
x
O
y
^
=
90
∘
{\displaystyle {\widehat {x{\rm {O}}y}}=90^{\circ }}
. Η
x
x
′
{\displaystyle xx'}
λέγεται κάθετος της
y
y
′
{\displaystyle yy'}
στο
O
{\displaystyle {\rm {O}}}
και συμβολίζεται ως
x
x
′
⊥
y
y
′
{\displaystyle xx'\perp yy'}
.[ 1] [ 2]
Από ένα σημείο
P
{\displaystyle {\rm {P}}}
υπάρχει μοναδική κάθετος σε μία ευθεία
ε
{\displaystyle {\rm {\varepsilon }}}
.
Αν
ε
1
⊥
ε
2
{\displaystyle \varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{2}}
, τότε
ε
2
⊥
ε
1
{\displaystyle \varepsilon _{2}\perp \varepsilon _{1}}
(συμμετρική ιδιότητα ).
Αν
ε
1
⊥
ε
2
{\displaystyle \varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{2}}
και
ε
2
∥
ε
3
{\displaystyle \varepsilon _{2}\parallel \varepsilon _{3}}
, τότε
ε
1
⊥
ε
3
{\displaystyle \varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{3}}
.
Αν
ε
1
⊥
ε
2
{\displaystyle \varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{2}}
και
ε
2
⊥
ε
3
{\displaystyle \varepsilon _{2}\perp \varepsilon _{3}}
, τότε
ε
1
∥
ε
3
{\displaystyle \varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{3}}
.
Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές κάθετες είναι είτε ίσες είτε παραπληρωματικές .[ Σημείωση 1]
Έστω μία ευθεία
ε
{\displaystyle \varepsilon }
και ένα σημείο
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
εξωτερικό αυτής. Το σημείο τομής της καθέτου από το
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
στο
ε
{\displaystyle \varepsilon }
λέγεται ίχνος της καθέτου ή ορθή προβολή (ή απλώς προβολή ) του
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
στην
ε
{\displaystyle \varepsilon }
.
Κατασκευή καθέτου από το σημείο
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
στην ευθεία
ε
{\displaystyle \varepsilon }
.
Θεωρούμε έναν κύκλο με κέντρο το
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
και αρκετά μεγάλη ακτίνα ώστε να τέμνει την ευθεία
ε
{\displaystyle \varepsilon }
σε δύο σημεία, έστω
B
,
Γ
{\displaystyle {\rm {B,\Gamma }}}
.
Με την ίδια ακτίνα σχεδιάζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα
B
{\displaystyle {\rm {B}}}
και
Γ
{\displaystyle {\rm {\Gamma }}}
.
Αυτοί τέμνονται στο
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
και σε ένα άλλο σημείο
Δ
{\displaystyle {\rm {\Delta }}}
.
Η ευθεία που διέρχεται από το
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
και το
Δ
{\displaystyle {\rm {\Delta }}}
είναι η (μοναδική) κάθετος από το
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
στο
ε
{\displaystyle \varepsilon }
. Το σημείο τομής της
A
′
{\displaystyle {\rm {A'}}}
με την
ε
{\displaystyle \varepsilon }
είναι η προβολή του
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
στην
ε
{\displaystyle \varepsilon }
.
Δύο ευθείες με εξισώσεις
y
=
λ
1
x
+
β
1
(
ε
1
)
{\displaystyle y=\lambda _{1}x+\beta _{1}\quad (\varepsilon _{1})}
,
και
y
=
λ
2
x
+
β
2
(
ε
2
)
{\displaystyle y=\lambda _{2}x+\beta _{2}\quad (\varepsilon _{2})}
,
είναι κάθετες ανν
λ
1
⋅
λ
2
=
−
1
{\displaystyle \lambda _{1}\cdot \lambda _{2}=-1}
.
Έστω ένα σημείο
P
=
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle {\rm {P}}=(x_{0},y_{0})}
και μία ευθεία
y
=
λ
x
+
β
(
ε
)
{\displaystyle y=\lambda x+\beta \quad (\varepsilon )}
.
Η κάθετη από το
P
{\displaystyle {\rm {P}}}
στην
ε
{\displaystyle \varepsilon }
είναι
y
=
−
1
λ
⋅
(
x
−
x
0
)
+
y
0
{\displaystyle y=-{\frac {1}{\lambda }}\cdot (x-x_{0})+y_{0}}
.
Προβολή του σημείου
P
{\displaystyle {\rm {P}}}
στην ευθεία
ε
{\displaystyle \varepsilon }
.
Η προβολή ενός σημείου
P
{\displaystyle {\rm {P}}}
σε μία ευθεία
ε
{\displaystyle \varepsilon }
είναι το σημείο τομής της κάθετης από το
P
{\displaystyle {\rm {P}}}
στην
ε
{\displaystyle \varepsilon }
και της
ε
{\displaystyle \varepsilon }
.
Η μεσοκάθετος
ε
{\displaystyle \varepsilon }
του ευθυγράμμου τμήματος
A
B
{\displaystyle {\rm {AB}}}
.
Η μεοσκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος
A
B
{\displaystyle {\rm {AB}}}
είναι η κάθετη ευθεία που διέρχεται από το μέσο του
A
B
{\displaystyle {\rm {AB}}}
. Έχει την ιδιότητα ότι όλα τα σημεία της ισαπέχουν από τα
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
και
B
{\displaystyle {\rm {B}}}
.
Το ύψος
υ
A
{\displaystyle \upsilon _{\rm {A}}}
του τριγώνου
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
που αντιστοιχεί στην κορυφή
A
{\displaystyle {\rm {A}}}
.
Σε ένα τρίγωνο, το τμήμα της κάθετης από μία κορυφή του τριγώνου προς την απέναντι πλευρά, ονομάζεται ύψος του τριγώνου .
Οι ευθείες συντρεχουν ανν το εμβαδόν των πράσινων τετραγώνων ισούται με το εμβαδόν των μπλε.
Το θεώρημα Καρνό δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για να συντρέχουν τρεις ευθείες κάθετες στις πλευρές ενός τριγώνου .
Το εσωτερικό γινόμενο γενικεύει την έννοια της καθετότητας. Για τον Ευκλείδειο χώρο, ισχύει ότι για
u
→
,
v
→
∈
R
3
{\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3}}
,
u
→
⋅
v
→
=
|
u
→
|
⋅
|
v
→
|
⋅
cos
ϑ
{\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=|{\vec {u}}|\cdot |{\vec {v}}|\cdot \cos \vartheta }
,
όπου
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
η γωνία μεταξύ των
u
→
{\displaystyle {\vec {u}}}
και
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
. Επομένως, δύο διανύσματα είναι κάθετα ανν
u
→
⋅
v
→
=
0
{\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=0}
(καθώς
cos
90
∘
=
0
{\displaystyle \cos 90^{\circ }=0}
).
Πιο γενικά, σε έναν διανυσματικό χώρο
V
{\displaystyle V}
με εσωτερικό γινόμενο
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
, δύο διανύσματα
u
→
,
v
→
{\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}}}
είναι κάθετα αν
⟨
u
→
,
v
→
⟩
{\displaystyle \langle {\vec {u}},{\vec {v}}\rangle }
.
↑ Δείτε εδώ για την απόδειξη.
↑ Ντάνης, Γιάννης. Γεωμετρία: Η θεωρία της επιπέδου γεωμετρίας . Gutenberg.
↑ Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία . Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
Σχετικές έννοιες Είδη ζευγών ευθειών Γεωμετρικοί τόποι Στο τρίγωνο Στο τετράπλευρο Στον κύκλο