Κάθετες ευθείες

Δύο κάθετες ευθείες $xx'$ και $yy'$.

Στην γεωμετρία, δύο ευθείες που τέμνονται λέγονται κάθετες αν στο σημείο τομής σχηματίζουν τέσσερις ορθές γωνίες.

Ισοδύναμα, οι ευθείες $xx'$ και $yy'$ με σημείο τομής ${\rm {O}}$ είναι κάθετες αν ${\widehat {x{\rm {O}}y}}=90^{\circ }$. Η $xx'$ λέγεται κάθετος της $yy'$ στο ${\rm {O}}$ και συμβολίζεται ως $xx'\perp yy'$.

Ιδιότητες

• Από ένα σημείο ${\rm {P}}$ υπάρχει μοναδική κάθετος σε μία ευθεία ${\rm {\varepsilon }}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει κάθετος από το σημείο ${\rm {P}}$ προς την ευθεία $\varepsilon$. Θεωρούμε την ευθεία $\varepsilon$ και το σημείο ${\rm {P}}$ εκτός της ευθείας. Επάνω στην ευθεία παίρνουμε τα σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ και στο ημιεπίπεδο που δεν βρίσκεται το ${\rm {P}}$ χαράζουμε την ημιευθεία ${\rm {A}}y$ τέτοια ώστε ${\widehat {\rm {PAB}}}={\widehat {{\rm {BA}}y}}$ και επί της ${\rm {A}}y$ το σημείο ${\rm {P'}}$ τέτοιο ώστε ${\rm {AP'=AP}}$. Έστω ${\rm {O}}$ το σημείο τομής της $\varepsilon$ με την ${\rm {PP'}}$. Από τα ίσα τρίγωνα ${\rm {PAO}}$ και ${\rm {P'AO}}$ προκύπτει ότι είναι ${\widehat {\rm {POA}}}={\widehat {\rm {P'OA}}}$ και επειδή είναι παραπληρωματικές είναι ορθές. Αποδείξαμε λοιπόν ότι από το σημείο ${\rm {P}}$ εκτός της ευθείας $\varepsilon$ άγεται κάθετος.

Θα αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει άλλη κάθετος από το σημείο ${\rm {P}}$ προς την ευθεία $\varepsilon$.

Πράγματι αν υποθέσουμε ότι η ${\rm {PO'}}$ είναι μία δεύτερη κάθετη από το ${\rm {P}}$ προς την ευθεία $\varepsilon$ και στη προέκταση της ${\rm {PO'}}$ πάρουμε το σημείο ${\rm {P''}}$ τέτοιο ώστε ${\rm {PO'=O'P''}}$ τότε από τα ίσα τρίγωνα ${\rm {PAO'}}$ και ${\rm {P''AO'}}$ προκύπτει ότι ${\widehat {\rm {P''AO'}}}={\widehat {\rm {PAB}}}$ αλλά είναι και ${\widehat {\rm {PAB}}}={\widehat {{\rm {BA}}y}}$ συνεπώς ${\widehat {\rm {P''AO'}}}={\widehat {{\rm {BA}}y}}$ δηλαδή η ημιευθεία ${\rm {AP''}}$ συμπίπτει με την ${\rm {AP'}}$. Από τα παραπάνω ίσα τρίγωνα προκύπτει ότι ${\rm {AP''=AP}}$ και επειδή ${\rm {AP'=AP}}$ θα είναι και ${\rm {AP'=AP''}}$. Συνεπώς το σημείο ${\rm {P'}}$ ταυτίζεται με το σημείο ${\rm {P''}}$ δηλαδή η ${\rm {PO'}}$ ταυτίζεται με την ${\rm {PO}}$. Άρα η κάθετος από το σημείο ${\rm {P}}$ προς την ευθεία $\epsilon$ είναι μία και μόνο. $\square$

• Αν $\varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{2}$, τότε $\varepsilon _{2}\perp \varepsilon _{1}$ (συμμετρική ιδιότητα).
• Αν $\varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{2}$ και $\varepsilon _{2}\parallel \varepsilon _{3}$, τότε $\varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{3}$.
• Αν $\varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{2}$ και $\varepsilon _{2}\perp \varepsilon _{3}$, τότε $\varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{3}$.
• Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές κάθετες είναι είτε ίσες είτε παραπληρωματικές.

Κάθετος από σημείο προς ευθεία

Έστω μία ευθεία $\varepsilon$ και ένα σημείο ${\rm {A}}$ εξωτερικό αυτής. Το σημείο τομής της καθέτου από το ${\rm {A}}$ στο $\varepsilon$ λέγεται ίχνος της καθέτου ή ορθή προβολή (ή απλώς προβολή) του ${\rm {A}}$ στην $\varepsilon$.

Ιδιότητα

• Από ένα σημείο εκτός ευθείας, άγεται μία και μόνο κάθετη στην ευθεία αυτή.
• Αν από ένα σημείο εκτός ευθείας, φέρουμε κάθετη και πλάγιες προς την ευθεία, τότε η κάθετη είναι μικρότερη από κάθε πλάγια.

Κατασκευή

Κατασκευή καθέτου από το σημείο ${\rm {A}}$ στην ευθεία $\varepsilon$.

Για να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη μία ευθεία που διέρχεται από το σημείο ${\rm {A}}$ και είναι κάθετη στην $\varepsilon$,

1. Θεωρούμε έναν κύκλο με κέντρο το ${\rm {A}}$ και αρκετά μεγάλη ακτίνα ώστε να τέμνει την ευθεία $\varepsilon$ σε δύο σημεία, έστω ${\rm {B,\Gamma }}$.
2. Με την ίδια ακτίνα σχεδιάζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα ${\rm {B}}$ και ${\rm {\Gamma }}$.
3. Αυτοί τέμνονται στο ${\rm {A}}$ και σε ένα άλλο σημείο ${\rm {\Delta }}$.
4. Η ευθεία που διέρχεται από το ${\rm {A}}$ και το ${\rm {\Delta }}$ είναι η (μοναδική) κάθετος από το ${\rm {A}}$ στο $\varepsilon$. Το σημείο τομής της ${\rm {A'}}$ με την $\varepsilon$ είναι η προβολή του ${\rm {A}}$ στην $\varepsilon$.

Αναλυτική γεωμετρία

Κλίσεις κάθετων ευθειών

Δύο ευθείες με εξισώσεις

$y=\lambda _{1}x+\beta _{1}\quad (\varepsilon _{1})$,

και

$y=\lambda _{2}x+\beta _{2}\quad (\varepsilon _{2})$,

είναι κάθετες ανν $\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}=-1$.

Εξίσωση κάθετης διερχόμενης από σημείο

Έστω ένα σημείο ${\rm {P}}=(x_{0},y_{0})$ και μία ευθεία

$y=\lambda x+\beta \qquad (\varepsilon )$.

Η κάθετη από το ${\rm {P}}$ στην $\varepsilon$ είναι η ευθεία $\zeta$

$y=-{\frac {1}{\lambda }}\cdot (x-x_{0})+y_{0}\qquad (\zeta )$.

Ειδικές περιπτώσεις

Προβολή σημείου

Προβολή ${\rm {P'}}$ του σημείου ${\rm {P}}$ στην ευθεία $\varepsilon$.

Η προβολή ενός σημείου ${\rm {P}}$ σε μία ευθεία $\varepsilon$ είναι το σημείο τομής της $\varepsilon$ και της κάθετης από το ${\rm {P}}$ στην $\varepsilon$.

Μεσοκάθετος

Η μεσοκάθετος $\varepsilon$ του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$.

Η μεοσκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ είναι η κάθετη ευθεία που διέρχεται από το μέσο του ${\rm {AB}}$. Έχει την ιδιότητα ότι όλα τα σημεία της ισαπέχουν από τα ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$.

Σε ένα τρίγωνο

Το ύψος $\upsilon _{\rm {A}}$ του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ που αντιστοιχεί στην κορυφή ${\rm {A}}$.

• Σε ένα τρίγωνο, το τμήμα της κάθετης από μία κορυφή του τριγώνου προς την απέναντι πλευρά, ονομάζεται ύψος του τριγώνου.

Οι ευθείες συντρέχουν ανν το εμβαδόν των πράσινων τετραγώνων ισούται με το εμβαδόν των μπλε.

• Το θεώρημα Καρνό δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για να συντρέχουν τρεις ευθείες κάθετες στις πλευρές ενός τριγώνου.

Γενικεύσεις

Το εσωτερικό γινόμενο γενικεύει την έννοια της καθετότητας. Σε τρεις διαστάσεις χώρο, το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων ${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3}$, ορίζεται ως εξής

${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=|{\vec {u}}|\cdot |{\vec {v}}|\cdot \cos \vartheta$,

όπου $\vartheta$ η γωνία μεταξύ των ${\vec {u}}$ και ${\vec {v}}$. Επομένως, δύο διανύσματα είναι κάθετα ανν ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=0$ (καθώς $\cos 90^{\circ }=0$).

Πιο γενικά, σε έναν διανυσματικό χώρο $V$ με εσωτερικό γινόμενο $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, δύο διανύσματα ${\vec {u}},{\vec {v}}$ είναι κάθετα αν $\langle {\vec {u}},{\vec {v}}\rangle =0$.

Δείτε επίσης

• Ευθεία
• Παράλληλες ευθείες
• Ύψος τριγώνου