Θεώρημα Thomsen

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Thomsen λέει ότι σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ ξεκινώντας από ένα σημείο ${\rm {P_{1}}}$ της ${\rm {B\Gamma }}$ και θεωρώντας τα σημεία

${\rm {P_{2}}}$ της ${\rm {AB}}$ ώστε ${\rm {P_{1}P_{2}\parallel \Gamma A}}$ ,
${\rm {P_{3}}}$ της ${\rm {\Gamma A}}$ ώστε ${\rm {P_{2}P_{3}\parallel B\Gamma }}$ ,
${\rm {P_{4}}}$ της ${\rm {B\Gamma }}$ ώστε ${\rm {P_{3}P_{4}\parallel AB}}$ ,
${\rm {P_{5}}}$ της ${\rm {AB}}$ ώστε ${\rm {P_{4}P_{5}\parallel \Gamma A}}$ ,
${\rm {P_{6}}}$ της ${\rm {\Gamma A}}$ ώστε ${\rm {P_{5}P_{6}\parallel B\Gamma }}$ ,
${\rm {P_{7}}}$ της ${\rm {B\Gamma }}$ ώστε ${\rm {P_{6}P_{7}\parallel AB}}$ ,

τότε ${\rm {P_{7}=P_{1}}}$ , δηλαδή μετά από έξι βήματα της διαδικασίας επανερχόμαστε στο αρχικό σημείο.^[1]^[2]^[3]^[4]

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Γερμανό μαθηματικό Gerhard Thomsen.

Απόδειξη

Θα αποδείξουμε ότι ${\rm {P_{1}P_{6}}}$ είναι παράλληλη στην ${\rm {AB}}$ , δείχνοντας ότι τα τρίγωνα ${\rm {AP_{2}P3}}$ , ${\rm {BP_{4}P_{5}}}$ και ${\rm {\Gamma P_{1}P_{6}}}$ είναι ίσα.

Η ${\rm {P_{4}P_{5}}}$ είναι παράλληλη της ${\rm {A\Gamma }}$ , άρα

{\widehat {\rm {BP_{6}P_{4}}}}={\hat {\rm {A}}}

ως εντός-εκτός επί τα αυτά,

και

{\widehat {\rm {AP_{2}P_{3}}}}={\hat {\rm {B}}}

ως εντός-εκτός επί τα αυτά.

Επίσης, η ${\rm {P_{4}P_{5}}}$ είναι παράλληλη της ${\rm {A\Gamma }}$ άρα το ${\rm {P_{4}P_{5}P_{6}A}}$ είναι παραλληλόγραμμο, και ${\rm {P_{4}P_{5}=AP_{3}}}$ .

Συνεπώς, από το κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας, τα τρίγωνα ${\rm {AP_{2}P_{3}}}$ και ${\rm {BP_{4}P_{5}}}$ είναι ίσα, και

{\widehat {\rm {AP_{3}P_{4}}}}={\widehat {\rm {BP_{4}P_{5}}}}=180^{\circ }-({\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {B}}})={\hat {\rm {\Gamma }}}

.

Επιπλέον,

το ${\rm {P_{1}BP_{5}P_{6}}}$ είναι παραλληλόγραμμο (καθώς έχει τις απέναντί του πλευρές παράλληλες), άρα ${\rm {\Gamma P_{1}=P_{5}P_{6}}}$ , και
το ${\rm {P_{4}BP_{2}P_{3}}}$ είναι παραλληλόγραμμο (καθώς έχει τις απέναντί του πλευρές παράλληλες), άρα ${\rm {\Gamma P_{6}=P_{3}P_{4}}}$ .

Συνεπώς, από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς τα τρίγωνα ${\rm {\Gamma P_{1}P_{6}}}$ , ${\rm {AP_{2}P_{3}}}$ (και ${\rm {BP_{4}P_{5}}}$ ) είναι ίσα. Άρα ${\rm {}}$ και η ${\rm {P_{1}P_{6}}}$ είναι παράλληλη της ${\rm {AB}}$ .

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Διαδραστική εφαρμογή στο Wolfram Demonstrations Project.
Θεώρημα Thomsen στο MathWorld.

Παραπομπές

↑ Brockhaus (2004). «Satz von Thomsen». Schülerduden – Mathematik II, σσ. 358–359. ISBN 978-3411042753.
↑ Coxeter, H. S. M. (1969). «Ex. 5, §13.2». Introduction to Geometry (2η έκδοση). New York: Wiley.
↑ Madachy, J. S. (1979). Madachy's Mathematical Recreations. New York: Dover. σελ. 234.
↑ Mind, N. R. (1953). «Geometrical Magic». Scripta Math (19): 198-200.