Θεώρημα Stolz–Cesàro

Στα μαθηματικά, το θεώρημα Stolz–Cesàro είναι ένα κριτήριο για την απόδειξη της σύγκλισης μιας ακολουθίας. Πήρε το όνομά του από τους μαθηματικούς Otto Stolz και Ernesto Cesàro, οι οποίοι το δήλωσαν και το απέδειξαν για πρώτη φορά.

Το θεώρημα για την περίπτωση */∞

Έστω $(a_{n})_{n\geq 1}$ και $(b_{n})_{n\geq 1}$ δύο ακολουθίες πραγματικών αριθμών. Έστω ότι η $(b_{n})_{n\geq 1}$ είναι μια γνησίως μονότονη και αποκλίνουσα ακολουθία (δηλ. γνησίως αύξουσα αν τείνει στο $+\infty$, ή γνησίως φθίνουσα αν τείνει στο $-\infty$) και ότι υπάρχει το ακόλουθο όριο:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\$

Τότε, το όριο

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\$

Το θεώρημα για την περίπτωση 0/0

Έστω $(a_{n})_{n\geq 1}$ και $(b_{n})_{n\geq 1}$ δύο ακολουθίες πραγματικών αριθμών. Έστω τώρα ότι $(a_{n})\to 0$ και $(b_{n})\to 0$, ενώ η $(b_{n})_{n\geq 1}$ είναι γνησίως φθίνουσα. Αν

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l,\$

τότε

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\$

Αποδείξεις

Απόδειξη του θεωρήματος για την περίπτωση */∞

Περίπτωση 1: Έστω ότι η $(b_{n})$ είναι γνησίως αύξουσα και αποκλίνουσα που τείνει στο $+\infty$, και $-\infty <l<\infty$. Από την υπόθεση, έχουμε ότι για κάθε $\epsilon /2>0$ υπάρχει $\nu >0$ τέτοιο ώστε $\forall n>\nu$

$\left|\,{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}-l\,\right|<{\frac {\epsilon }{2}},$

που σημαίνει ότι

$l-\epsilon /2<{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}<l+\epsilon /2,\quad \forall n>\nu .$

Αφού η $(b_{n})$ είναι γνησίως αύξουσα, $b_{n+1}-b_{n}>0$, και ισχύει το ακόλουθο:

$(l-\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n})<a_{n+1}-a_{n}<(l+\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n}),\quad \forall n>\nu$.

Στη συνέχεια, παρατηρούμε ότι

$a_{n}=[(a_{n}-a_{n-1})+\dots +(a_{\nu +2}-a_{\nu +1})]+a_{\nu +1}$

οπότε, εφαρμόζοντας την παραπάνω ανισότητα σε κάθε έναν από τους όρους στις αγκύλες, προκύπτει ότι

${\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}.\end{aligned}}$

Τώρα, αφού $b_{n}\to +\infty$ όσο το $n\to \infty$, υπάρχει ένα $n_{0}>0$ τέτοιο ώστε $b_{n}>0$ για κάθε $n>n_{0}$, και μπορούμε να διαιρέσουμε τις δύο ανισότητες με $b_{n}$ για κάθε $n>\max\{\nu ,n_{0}\}$:

$(l-\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l-\epsilon /2)}{b_{n}}}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<(l+\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l+\epsilon /2)}{b_{n}}}.$

Οι δύο ακολουθίες (οι οποίες ορίζονται μόνο για $n>n_{0}$ καθώς θα μπορούσε να υπάρχει ένα $N\leq n_{0}$ τέτοιο ώστε $b_{N}=0$)

$c_{n}^{\pm }:={\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}$

είναι απειροελάχιστες (απειροστές), αφού $b_{n}\to +\infty$ και ο αριθμητής είναι ένας σταθερός αριθμός, άρα για κάθε $\epsilon /2>0$ υπάρχει $n_{\pm }>n_{0}>0$, τέτοιο ώστε

${\begin{aligned}&|c_{n}^{+}|<\epsilon /2,\quad \forall n>n_{+},\\&|c_{n}^{-}|<\epsilon /2,\quad \forall n>n_{-},\end{aligned}}$

επομένως

$l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{n}^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{n}^{+}<l+\epsilon ,\quad \forall n>\max \lbrace \nu ,n_{\pm }\rbrace =:N>0,$

που ολοκληρώνει την απόδειξη. Η περίπτωση για $(b_{n})$ γνησίως φθίνουσα και αποκλίνουσα που τείνει στο $-\infty$ και $l<\infty$ είναι παρόμοια.

Περίπτωση 2: Έστω ότι η $(b_{n})$ είναι γνησίως αύξουσα και αποκλίνουσα που τείνει στο $+\infty$, και $l=+\infty$. Προχωρώντας όπως πριν, για κάθε $2M>0$ υπάρχει $\nu >0$ τέτοιο ώστε για κάθε $n>\nu$

${\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M.$

Εφαρμόζοντας πάλι την παραπάνω ανισότητα σε κάθε έναν από τους όρους μέσα στις αγκύλες, παίρνουμε ότι

$a_{n}>2M(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1},\quad \forall n>\nu ,$

και

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{\frac {a_{\nu +1}-2Mb_{\nu +1}}{b_{n}}},\quad \forall n>\max\{\nu ,n_{0}\}.$

Η ακολουθία $(c_{n})_{n>n_{0}}$ που ορίζεται ως

$c_{n}:={\frac {a_{\nu +1}-2Mb_{\nu +1}}{b_{n}}}$

είναι απειροελάχιστη (απειροστή), επομένως

$\forall M>0\,\exists {\bar {n}}>n_{0}>0{\text{ τέτοιο ώστε }}-M<c_{n}<M,\,\forall n>{\bar {n}}$

Συνδυάζοντας αυτή την ανισότητα με την προηγούμενη, καταλήγουμε στο ότι

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{n}>M,\quad \forall n>\max\{\nu ,{\bar {n}}\}=:N.$

Οι αποδείξεις των άλλων περιπτώσεων με την $(b_{n})$ γνησίως αύξουσα ή φθίνουσα και να τείνει στο $+\infty$ ή $-\infty$ αντίστοιχα και $l=\pm \infty$ προχωρούν με τον ίδιο τρόπο.

Απόδειξη του θεωρήματος για την περίπτωση 0/0

Περίπτωση 1: Εξετάζουμε πρώτα την περίπτωση όπου $l<\infty$ και η $(b_{n})$ είναι γνησίως φθίνουσα. Αυτή τη φορά, για κάθε $\nu >0$, μπορούμε να γράψουμε

$a_{n}=(a_{n}-a_{n+1})+\dots +(a_{n+\nu -1}-a_{n+\nu })+a_{n+\nu },$

και για κάθε $\epsilon /2>0,$$\exists n_{0}$ τέτοιο ώστε για κάθε $n>n_{0}$ έχουμε ότι

${\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }.\end{aligned}}$

Οι δύο ακολουθίες

$c_{\nu }^{\pm }:={\frac {a_{n+\nu }-b_{n+\nu }(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}$

είναι απειροελάχιστες (απειροστές), αφού αφού από την υπόθεση $a_{n+\nu },b_{n+\nu }\to 0$ όσο το $\nu \to \infty$, άρα για κάθε $\epsilon /2>0$ υπάρχουν $\nu _{\pm }>0$ τέτοια ώστε

${\begin{aligned}&|c_{\nu }^{+}|<\epsilon /2,\quad \forall \nu >\nu _{+},\\&|c_{\nu }^{-}|<\epsilon /2,\quad \forall \nu >\nu _{-}.\end{aligned}}$

Έτσι, επιλέγοντας κατάλληλα $\nu$ (δηλαδή, παίρνοντας το όριο με μεταβλητή το $\nu$) παίρνουμε ότι

$l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{\nu }^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{\nu }^{+}<l+\epsilon ,\quad \forall n>n_{0}$

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Περίπτωση 2: Έστω ότι $l=+\infty$ και η $(b_{n})$ είναι γνησίως φθίνουσα. Για κάθε $2M>0$ υπάρχει $n_{0}>0$ τέτοιο ώστε για κάθε $n>n_{0},$

${\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M\implies a_{n}-a_{n+1}>2M(b_{n}-b_{n+1}).$

Επομένως, για κάθε $\nu >0,$

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{\frac {a_{n+\nu }-2Mb_{n+\nu }}{b_{n}}},\quad \forall n>n_{0}.$

Η ακολουθία

$c_{\nu }:={\frac {a_{n+\nu }-2Mb_{n+\nu }}{b_{n}}}$

συγκλίνει στο $0$ (σταθεροποιώντας το $n$). Επομένως,

$\forall M>0\,~\exists {\bar {\nu }}>0$ τέτοιο ώστε $-M<c_{\nu }<M,\,\forall \nu >{\bar {\nu }}$

και, επιλέγοντας κατάλληλο $\nu$, ολοκληρώνεται η απόδειξη:

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{\nu }>M,\quad \forall n>n_{0}.$

Εφαρμογές και παραδείγματα

Το θεώρημα σχετικά με την περίπτωση ∞/∞ έχει μερικές αξιοσημείωτες συνέπειες που είναι χρήσιμες για τον υπολογισμό των ορίων.

Αριθμητικός μέσος όρος

Έστω $(x_{n})$ μια ακολουθία πραγματικών αριθμών που συγκλίνει στο $l$. Ορίζουμε

$a_{n}:=\sum _{m=1}^{n}x_{m}=x_{1}+\dots +x_{n},\quad b_{n}:=n.$

Τότε, η $(b_{n})$ είναι γνησίως αύξουσα και αποκλίνει στο $+\infty$. Υπολογίζουμε:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n+1}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=l.$

Επομένως

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.$

Δεδομένης οποιασδήποτε ακολουθίας $(x_{n})_{n\geq 1}$ των πραγματικών αριθμών, ας υποθέσουμε ότι το

$\lim _{n\to \infty }x_{n}$

υπάρχει (πεπερασμένο ή άπειρο). Τότε

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.$

Γεωμετρικός μέσος όρος

Έστω $(x_{n})$ μια ακολουθία θετικών πραγματικών αριθμών που συγκλίνει στο $l$. Ορίζουμε

$a_{n}:=\log(x_{1}\cdots x_{n}),\quad b_{n}:=n.$

Πάλι υπολογίζουμε:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}{\frac {x_{1}\cdots x_{n+1}}{x_{1}\cdots x_{n}}}{\Big )}=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n+1})=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n})=\log(l),$

όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι ο λογάριθμος είναι συνεχής. Έτσι,

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\log(x_{1}\cdots x_{n})}{n}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}}{\Big )}=\log(l).$

Δεδομένου ότι ο λογάριθμος είναι συνεχής και είναι 1-1 και επί, συμπεραίνουμε ότι

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}$.

Δεδομένης οποιασδήποτε ακολουθίας $(x_{n})_{n\geq 1}$ των (αυστηρά) θετικών πραγματικών αριθμών, ας υποθέσουμε ότι το

$\lim _{n\to \infty }x_{n}$

υπάρχει (πεπερασμένο ή άπειρο). Τότε

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.$

Έστω ότι μας δίνεται μια ακολουθία $(y_{n})_{n\geq 1}$ και μας ζητείται να υπολογίσουμε το

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}.$

Ορίζοντας $y_{0}=1$ και $x_{n}=y_{n}/y_{n-1}$, έχουμε ότι

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {y_{1}\dots y_{n}}{y_{0}\cdot y_{1}\dots y_{n-1}}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}.$

Αν εφαρμόσουμε την παραπάνω ιδιότητα,

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n}}{y_{n-1}}}.$

Αυτή η τελευταία μορφή είναι συνήθως η πιο χρήσιμη για τον υπολογισμό ορίων.

Δεδομένης οποιασδήποτε ακολουθίας $(y_{n})_{n\geq 1}$ των (αυστηρά) θετικών πραγματικών αριθμών, ας υποθέσουμε ότι το

$\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n+1}}{y_{n}}}$

υπάρχει (πεπερασμένο ή άπειρο). Τότε

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n+1}}{y_{n}}}.$

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n}}=1.$

Παράδειγμα 2

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)!(n^{n})}{n!(n+1)^{n+1}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{n}}{(n+1)^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{(1+{\frac {1}{n}})^{n}}}={\frac {1}{e}},\end{aligned}}$

όπου χρησιμοποιήσαμε την αναπαράσταση του $e$ ως το όριο μιας ακολουθίας.

Ιστορία

Η περίπτωση ∞/∞ αναφέρεται και αποδεικνύεται στις σελίδες 173-175 του βιβλίου του Stolz το 1885 και επίσης στη σελίδα 54 του άρθρου του Cesàro το 1888.

Εμφανίζεται ως το Πρόβλημα 70 στο Pólya and Szegő (1925).

Η γενική μορφή

Πρόταση

Η γενική μορφή του θεωρήματος Stolz–Cesàro είναι η εξής: Έστω $(a_{n})_{n\geq 1}$ και $(b_{n})_{n\geq 1}$ δύο ακολουθίες τέτοιες ώστε η $(b_{n})_{n\geq 1}$ να είναι μονότονη και μη φραγμένη. Τότε:

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.$

Απόδειξη

Αντί να αποδείξουμε την προηγούμενη πρόταση, θα αποδείξουμε μια ελαφρώς διαφορετική. Πρώτα απ' όλα, εισάγουμε μια σημειογραφία: Αν $(a_{n})_{n\geq 1}$ είναι μια ακολουθία, τότε το μερικό άθροισμά της θα συμβολίζεται με $A_{n}:=\sum _{m\geq 1}^{n}a_{m}$. Η ισοδύναμη πρόταση που θα αποδείξουμε είναι η εξής:

Έστω $(a_{n})_{n\geq 1},(b_{n})_{\geq 1}$ οποιεσδήποτε δύο ακολουθίες πραγματικών αριθμών τέτοιες ώστε

• $b_{n}>0,\quad \forall n\in {\mathbb {Z} }_{>0}$,
• $\lim _{n\to \infty }B_{n}=+\infty$.

Τότε

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}.$

Απόδειξη της ισοδύναμης πρότασης

Αρχικά παρατηρούμε ότι:

• $\liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}$ (εξ ορισμού).
• $\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}$ ισχύει αν και μόνο αν $\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$, επειδή $\liminf _{n\to \infty }x_{n}=-\limsup _{n\to \infty }(-x_{n})$ για κάθε ακολουθία $(x_{n})_{n\geq 1}$.

Επομένως, δεν έχουμε παρά να δείξουμε ότι $\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$. Αν $L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty$ δεν υπάρχει τίποτα να αποδείξουμε, επομένως μπορούμε να υποθέσουμε ότι $L<+\infty$ (μπορεί να είναι είτε πεπερασμένο είτε $-\infty$). Εξ ορισμού του $\limsup$, για κάθε $l>L$ υπάρχει ένας φυσικός αριθμός $\nu >0$ τέτοιος ώστε

${\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l,\quad \forall n>\nu .$

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτήν την ανισότητα για να γράψουμε

$A_{n}=A_{\nu }+a_{\nu +1}+\dots +a_{n}<A_{\nu }+l(B_{n}-B_{\nu }),\quad \forall n>\nu .$

Επειδή $b_{n}>0$, έχουμε επίσης ότι $B_{n}>0$ και μπορούμε να διαιρέσουμε με το $B_{n}$ για να πάρουμε

${\frac {A_{n}}{B_{n}}}<{\frac {A_{\nu }-lB_{\nu }}{B_{n}}}+l,\quad \forall n>\nu .$

Αφού $B_{n}\to +\infty$ όσο το $n\to +\infty$, η ακολουθία

${\frac {A_{\nu }-lB_{\nu }}{B_{n}}}\to 0{\text{ όσο το }}n\to +\infty {\text{ (με }}\nu {\text{ σταθεροποιημένο)}}$

και επομένως

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq l,\quad \forall l>L$

Εξ ορισμού του supremum, αυτό σημαίνει ότι

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}},$

και τελειώσαμε.

Απόδειξη της αρχικής πρότασης

Τώρα, έστω $(a_{n}),(b_{n})$ όπως στην πρόταση της γενικής μορφής του θεωρήματος Stolz-Cesàro και ορίζουμε

$\alpha _{1}=a_{1},\alpha _{k}=a_{k}-a_{k-1},\,\forall k>1\quad \beta _{1}=b_{1},\beta _{k}=b_{k}-b_{k-1}\,\forall k>1.$

Αφού η $(b_{n})$ είναι γνησίως μονότονη (μπορούμε να υποθέσουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα για παράδειγμα), $\beta _{n}>0$ για κάθε $n$ και αφού $b_{n}\to +\infty$ ισχύει ότι $\mathrm {B} _{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+\dots +(b_{n}-b_{n-1})=b_{n}\to +\infty$, οπότε μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα που μόλις αποδείξαμε στα $(\alpha _{n}),(\beta _{n})$ (και στα μερικά αθροίσματά τους $(\mathrm {A} _{n}),(\mathrm {B} _{n})$)

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\mathrm {A} _{n}}{\mathrm {B} _{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}},$

το οποίο είναι ακριβώς αυτό που θέλαμε να αποδείξουμε.

Αναφορές

• Mureşan, Marian (2008), A Concrete Approach to Classical Analysis, Berlin: Springer, σελ. 85–88, ISBN 978-0-387-78932-3, https://books.google.com/books?id=5iK9OX9z014C&pg=PA85 .
• Stolz, Otto (1885), Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten, Leipzig: Teubners, σελ. 173–175, https://archive.org/stream/vorlesungenbera01stolgoog#page/n181/mode/1up .
• Cesàro, Ernesto (1888), «Sur la convergence des séries», Nouvelles annales de mathématiques, Series 3 7: 49–59 .
• Pólya, George; Szegő, Gábor (1925), Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, I, Berlin: Springer .
• A. D. R. Choudary, Constantin Niculescu: Real Analysis on Intervals. Springer, 2014, pp. 59-62
• J. Marshall Ash, Allan Berele, Stefan Catoiu: Plausible and Genuine Extensions of L’Hospital's Rule. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 1 (February 2012), pp. 52–60 (JSTOR)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ο κανόνας του l'Hôpital και το θεώρημα Stolz-Cesàro στο imomath.com