Θεώρημα Routh

Το θεώρημα Routh δίνει έναν τύπο για το εμβαδόν του ${\rm {\Delta EZ}}$.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Routh είναι ένας τύπος για το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν τα σημεία τομής τριών σεβιανών σε ένα τρίγωνο.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ όπου ${\rm {AA',BB',\Gamma \Gamma '}}$ είναι σεβιανές του, και ${\rm {\Delta ,E,Z}}$ τα σημεία τομής τους, ισχύει ότι

${\rm {E}}_{\rm {\Delta EZ}}={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}}\cdot {\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}$,

όπου ${\tfrac {\rm {\Gamma A'}}{\rm {BA'}}}=x$, ${\tfrac {\rm {AB'}}{\rm {\Gamma B'}}}=y$, and ${\tfrac {\rm {B\Gamma '}}{\rm {A\Gamma '}}}=z$.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Edward Routh που το ανέφερε στο βιβλίο του.

Ειδικές περιπτώσεις

• (Θεώρημα Τσέβα) Οι τρεις σεβιανές διέρχονται από το ίδιο σημείο ανν ${\rm {E}}_{\rm {\Delta EZ}}=0$ ανν $xyz=1$. Η τελευταία συνθήκη είναι ισοδύναμη με

${\frac {\rm {\Gamma A'}}{\rm {BA'}}}\cdot {\frac {\rm {AB'}}{\rm {\Gamma B'}}}\cdot {\frac {\rm {B\Gamma '}}{\rm {A\Gamma '}}}=1$,

που είναι η σχέση στο θεώρημα Τσέβα.

• (Τρίγωνο Φάινμαν) Σε κάθε τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ όταν $x=y=z=1/2$, το εμβαδόν του εσωτερικού τριγώνου είναι το $1/7$ του αρχικού.

Δείτε επίσης

• Σεβιανή
• Θεώρημα Τσέβα

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή του θεωρήματος Routh στο The Wolfram Demonstrations Project.
• Θεώρημα Routh με εξωτερικό γινόμενο στο MathPages.
• Θεώρημα Routh στο cut-the-knot.

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Klamkin, Murray S.; Liu, A. (1981). «Three more proofs of Routh's theorem». Crux Mathematicorum (7): 199-203. 
• Kline, J. S.; Velleman, D. (1995). «Yet another proof of Routh's theorem». Crux Mathematicorum (21): 37-40. 
• Niven, Ivan (1976). «A New Proof of Routh's Theorem». Mathematics Magazine (49): 25–7. doi:10.2307/2689876.