Πρόβλημα Φανιάνο

Θεώρημα Φανιάνο: Από όλα τα δυνατά εγγράψιμα τρίγωνα ${\rm {\Delta EZ}}$ το ορθικό τρίγωνο έχει την ελάχιστη περίμετρο.

Στην γεωμετρία, το πρόβλημα Φανιάνο (αναφέρεται και ως πρόβλημα Fagnano) είναι το πρόβλημα που ζητά για ένα δοσμένο τρίγωνο ποιο είναι το εγγεγραμμένο του τρίγωνο με την ελάχιστη περίμετρο. Η λύση του προβλήματος είναι το ορθικό τρίγωνο του τριγώνου΄(θεώρημα Φανιάνο, αναφέρεται και ως θεώρημα Fagnano).

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ το τρίγωνο ${\rm {\Delta EZ}}$ με ${\rm {\Delta }}$ σημείο της ${\rm {AB}}$, ${\rm {E}}$ σημείο της ${\rm {B\Gamma }}$ και ${\rm {Z}}$ σημείο της ${\rm {\Gamma A}}$ με ελάχιστη περίμετρο είναι το τρίγωνο με κορυφές τα ίχνη ${\rm {H_{A},H_{B},H_{\Gamma }}}$ των υψών (το ορθικό τρίγωνο).

Ιστορία

Ο Τζοβάνι Φανιάνο δημοσίευσε το πρόβλημα καθώς και την λύση του το 1775. Η απόδειξη του χρησιμοποιεί λογισμό και ένα ενδιάμεσο αποτέλεσμα που απέδειξε ο πατέρας του, Τζούλιο Κάρλο ντε Τόσκι ντι Φανιάνο. Έκτοτε πολλές αποδείξεις έχουν δοθεί, συμπεριλαμβανομένων από τους Χέρμαν Σβαρτς και Λίποτ Φέγιερ. Αυτές οι αποδείξεις στηρίζονται σε γεωμετρικές ιδιότητες των ανακλάσεων ώστε να αναπαρασταθεί η περίμετρος του τριγώνου ως ένα μονοπάτι ελάχιστου μήκους. Άλλες αποδείξεις κάνουν χρήση του εσωτερικού γινομένου και τριγωνομετρίας.

Γενίκευση

Το θεώρημα έχει γενικευθεί σε ορθοδιαγώνια τετράπλευρα.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πρόβλημα Φανιάνο στο Cut The Knot.
• Διαδραστική εφαρμογή για το πρόβλημα Fagnano στο Geogebra.
• Θεώρημα Φανιάνο στο Γεωμετρικόν.
• Δραστηριότητα για το πρόβλημα Φανιάνο στο Geogebra.

Δείτε επίσης

• Σημείο Φερμά