Θεώρημα ύπαρξης του Peano

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Στα μαθηματικά, ειδικότερα στη μελέτη των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, το θεώρημα ύπαρξης του Peano, θεώρημα Peano ή θεώρημα Cauchy–Peano, που πήρε το όνομά του από τους Τζουζέπε Πεανό (Giuseppe Peano) και Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ (Augustin Louis Cauchy), είναι ένα θεμελιώδες θεώρημα , το οποίο εγγυάται την ύπαρξη των λύσεων ορισμένων προβλημάτων αρχικών τιμών.

Ιστορία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Πεανό δημοσίευσε για πρώτη φορά το θεώρημα το 1886 με μια εσφαλμένη απόδειξη.[1] Το 1890 δημοσίευσε μία νέα σωστή απόδειξη με χρήση διαδοχικών προσεγγίσεων.[2]

Θεώρημα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω D ένα ανοικτό υποσύνολο του R × R με

μια συνεχής συνάρτηση και

μια συνεχής, πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση ορισμένη στο D. Τότε κάθε πρόβλημα αρχικών τιμών με

για την f, με , έχει μια τοπική λύση

όπου είναι μια γειτονιά του στο , τέτοια ώστε για κάθε .[3]

Η λύση δεν χρειάζεται να είναι μοναδική: η ίδια αρχική τιμή (x0,y0) μπορεί να οδηγήσει σε πολλές διαφορετικές λύσεις z.

Σχετικά θεωρήματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το θεώρημα του Peano μπορεί να συγκριθεί με ένα άλλο αποτέλεσμα ύπαρξης, το θεώρημα Picard–Lindelöf. Το θεώρημα Picard–Lindelöf έχει περισσότερες υποθέσεις και καταλήγει σε περισσότερα αποτελέσματα (εγγυάται και τη μοναδικότητα της λύσης). Απαιτεί συνέχεια Lipschitz, ενώ το θεώρημα Peano απαιτεί μόνο τη συνέχεια, αλλά αυτό αποδεικνύει τόσο την ύπαρξη όσο και την μοναδικότητα ενώ το θεώρημα Peano αποδεικνύει μόνο την ύπαρξη των λύσεων. Για παράδειγμα, θεωρούμε την συνήθη διαφορική εξίσωση στο  Σύμφωνα με το θεώρημα του Peano, αυτή η εξίσωση έχει λύσεις, αλλά το θεώρημα Picard–Lindelöf δεν ισχύει δεδομένου ότι η δεξιά πλευρά δεν είναι Lipschitz συνεχής σε κάθε γειτονιά που περιέχει το 0. Έτσι, μπορούμε να συμπεράνουμε την ύπαρξη αλλά όχι και την μοναδικότητα της λύσης της. Αποδεικνύεται ότι αυτή η συνήθης διαφορική εξίσωση έχει δύο είδη λύσεων. Θεωρώντας σαν αρχική υπόθεση ότι τότε, είτε , είτε

Το θεώρημα ύπαρξης του Καραθεοδωρή είναι μια γενίκευση του θεωρήματος ύπαρξης του Peano με ασθενέστερες συνθήκες από τη συνέχεια.

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Peano, G. (1886). «Sull’integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine». Atti Accad. Sci. Torino 21: 437–445. https://archive.org/stream/attidellaraccade21real#page/436/mode/2up/search/peano. 
  2. Peano, G. (1890). «Demonstration de l’intégrabilité des équations différentielles ordinaires». Mathematische Annalen 37 (2): 182–228. doi:10.1007/BF01200235. 
  3. (Coddington & Levinson 1955, σελ. 6)

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]