Θεώρημα του Φρέιμαν

Στα μαθηματικά, το θεώρημα του Φρέιμαν (Freiman) είναι ένα αποτέλεσμα συνδυαστικής στη θεωρία αριθμών. Κατά μία έννοια συμμετέχει με ποσοστό στην κατά προσέγγιση δομή των συνόλων των ακεραίων, που, λαμβάνοντας δύο την κάθε φορά, περιέχουν υψηλό ποσοστό των εσωτερικών αθροισμάτων τους.

Θεώρημα

Η επίσημη δήλωση είναι:

Έστω Α ένα πεπερασμένο σύνολο ακεραίων τέτοιο ώστε το συνολικό-άθροισμα

$A+A\,$

να είναι μικρό, διότι ισχύει

$|A+A|<c|A|\,$

για κάποια σταθερά c. Υπάρχει μία n-διαστατική αριθμητική πρόοδος του μήκους

$c'|A|\,$

που περιέχει το Α, και τέτοια ώστε το c΄ και το n να εξαρτώνται μόνο από το c.

Μια απλή διδακτική περίπτωση είναι το ότι έχουμε πάντα

$|A+A|\,$  ≥  $2|A|-1\,$

ισότητα με ακρίβεια όταν το Α είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Το αποτέλεσμα αυτό οφείλεται στον Ρώσο μαθηματικό Γκριγκόρι Φρέιμαν (1964, 1966) Μεγάλο ενδιαφέρον σε αυτό, και εφαρμογές του, προήλθαν από μία νέα απόδειξη του Ούγγρου μαθηματικού Imre Ζ. Ruzsa το 1994.

Δείτε επίσης

• Φάσμα Μάρκοφ

Πηγές

• (Αγγλικά) Freiman, Gregory Abelevich (1964). «Addition of finite sets». Soviet Math., Dokl. 5: 1366–1370. Zbl 0163.29501. 
• (Ρωσικά) Freiman, Gregory Abelevich (1966). Foundations of a Structural Theory of Set Addition. Καζάν: Kazan Gos. Ped. Inst. σελ. 140. Zbl 0203.35305. 
• (Αγγλικά) Freiman, Gregory Abelevich (1999). «Structure theory of set addition». Astérisque 258: 1–33. Zbl 0958.11008. 
• (Αγγλικά) Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics. 165. Springer. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003. 
• (Ουγγρικά) Ruzsa, Imre Z. (1994). «Generalized arithmetical progressions and sumsets». Acta Mathematica Hungarica 65 (4): 379–388. Zbl 0816.11008.