Θεώρημα ντε Μουάβρ

Στην μιγαδική ανάλυση, το θεώρημα ντε Μουάβρ (αναφέρεται και ως θεώρημα De Moivre ή τύπος ντε Μουάβρ) λέει ότι για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ και κάθε ακέραιο αριθμό $n\in \mathbb {Z}$

$(\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx$,

όπου $\sin$ και $\cos$ είναι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου.

Ο τύπος φέρει το όνομα του Αβραάμ ντε Μουάβρ.

Απόδειξη

Απόδειξη  

Για την απόδειξη του θεωρήματος θα χρησιμοποιήσουμε μαθηματική επαγωγή για τους φυσικούς αριθμούς $n\geq 0$.

Ξεκινάμε με την βασική περίπτωση $n=0$. Το αριστερό μέλος είναι ίσο με $1$, καθώς και το δεξί, αφού $\cos 0+i\sin 0=1+i0=1$.

Τώρα, υποθέτουμε ότι ισχύει για $n=k$, δηλαδή

$(\cos x+i\sin x)^{k}=\cos kx+i\sin kx$,

Θα αποδείξουμε ότι ισχύει για $n=k+1$. Ξεκινάμε με το αριστερό μέλος

${\begin{aligned}(\cos x+i\sin x)^{k+1}&=(\cos x+i\sin x)^{k}\cdot (\cos x+i\sin x)\\&=(\cos kx+i\sin kx)\cdot (\cos x+i\sin x)\\&=(\cos kx\cos x-\sin kx\sin x)+i(\sin kx\cos x+\sin x\cos kx)\\&=\cos((k+1)x)+i\sin((k+1)x),\end{aligned}}$

όπου στο τελευταίο βήμα χρησιμοποιήσαμε τους τύπους για το συνημίτονο και το ημίτονο του αθροίσματος:

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$,

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha$.

Τώρα για τους αρνητικούς ακεραίους $n<0$, χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση, έχουμε ότι

${\begin{aligned}(\cos x+i\sin x)^{n}&={\frac {1}{(\cos x+i\sin x)^{-n}}}={\frac {1}{\cos(-nx)+i\sin(-nx)}}.\end{aligned}}$

Χρησιμοποιώντας ότι $\cos(-w)=\cos(w)$ και $\sin(-w)=-\sin(w)$, έχουμε ότι

${\begin{aligned}{\phantom {(\cos x+i\sin x)^{n}}}&={\frac {1}{\cos(nx)-i\sin(nx)}}\\\end{aligned}}$

Πολλαπλασιάζοντας με τον συζυγή του παρονομαστή, λαμβάνουμε ότι

${\begin{aligned}{\phantom {(\cos x+i\sin x)^{n}}}&={\frac {\cos(nx)+i\sin(nx)}{\cos ^{2}(nx)+\sin ^{2}(nx)}}\\\end{aligned}}$

Τέλος, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στην τριγωνομερία, καταλήγουμε ότι

${\begin{aligned}{\phantom {(\cos x+i\sin x)^{n}}}&=\cos(nx)+i\sin(nx).\end{aligned}}$

Εφαρμογές

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα ντε Μουάβρ, μπορούμε να εκφράσουμε το $\sin nx$ και $\cos nx$ συναρτήσει των $\cos x$ και $\sin x$ για κάθε φυσικό αριθμό $n\geq 0$.

Χρησιμοποιώντας ανάπτυγμα που προκύπτει από το διωνυμικό θεώρημα, έχουμε ότι

${\begin{aligned}\cos nx+i\sin nx&=(\cos x+i\sin x)^{n}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{n-k}(i\sin x)^{k}\\&=\sum _{k:{\text{ζυγός}}}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{n-k}(i\sin x)^{k}+\sum _{k:{\text{μονός}}}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{n-k}(i\sin x)^{k}\\&=\sum _{k:{\text{ζυγός}}}(-1)^{k/2}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{n-k}(\sin x)^{k}+i\sum _{k:{\text{μονός}}}(-1)^{(k-1)/2}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{n-k}(\sin x)^{k}.\end{aligned}}$

Εξισώνοντας το πραγματικό μέρος και το φανταστικό μέρος στα δύο μέλη της εξίσωσης, λαμβάνουμε ότι

$\cos nx=\sum _{k:{\text{ζυγός}}}(-1)^{k/2}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{n-k}(\sin x)^{k}$

και

$\sin nx=\sum _{k:{\text{μονός}}}(-1)^{(k-1)/2}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{n-k}(\sin x)^{k}$.

Παραδείγματα

Για $n=2$ έχουμε ότι

$\cos 2x=(\cos x)^{2}-(\sin x)^{2}$,

$\sin 2x=2(\cos x)(\sin x)$.

Για $n=3$ έχουμε ότι

$\cos 3x=(\cos x)^{3}-3(\cos x)(\sin x)^{2}$,

$\sin 3x=3(\cos x)^{2}(\sin x)-(\sin x)^{3}$.

Για $n=4$ έχουμε ότι

$\cos 4x=(\cos x)^{4}-6(\cos x)^{2}(\sin x)^{2}+(\sin x)^{4}$,

$\sin 4x=4(\cos x)^{3}(\sin x)-4(\cos x)(\sin x)^{3}$.

Πολυώνυμα Τσεμπισιόφ

Για τον τύπο για το $\cos nx$ παρατηρούμε ότι όλοι οι όροι με το $(\sin x)^{k}$ εμβανίζονται με ζυγό $k$. Χρησιμοποιώντας την Πυθαγόρεια ιδιότητα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$, μπορούμε να πάρουμε ένα πολυώνυμο για το $\cos nx$ συναρτήσει του $\cos x$, ως εξής

${\begin{aligned}\cos nx&=\sum _{k:{\text{ζυγός}}}(-1)^{k/2}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{n-k}(\sin ^{2}x)^{k/2}\\&=\sum _{k:{\text{ζυγός}}}(-1)^{k/2}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{n-k}(1-\cos ^{2}x)^{k/2}=T_{n}(\cos x).\end{aligned}}$

Το πολυώνυμο $T_{n}(\cos x)=\cos nx$ λέγεται πολυώνυμο Τσεμπισιόφ πρώτης τάξης.

Για παράδειγμα, για $n=2$ έχουμε ότι

${\begin{aligned}\cos 2x&=(\cos x)^{2}-(1-(\cos x)^{2})\\&=2(\cos x)^{2}-1\\&=T_{2}(\cos x)\end{aligned}}$

και επομένως $T_{2}(x)=2x^{2}-1$.

Για $n=3$, έχουμε ότι

${\begin{aligned}\cos 3x&=(\cos x)^{3}-3(\cos x)(1-(\cos x)^{2})\\&=4(\cos x)^{3}-3(\cos x)\\&=T_{3}(\cos x),\end{aligned}}$

και επομένως $T_{3}(x)=4x^{3}-3x$.

Στην γενική περίπτωση, τα πολυώνυμα ικανοποιούν την εξής αναδρομική σχέση

$T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)$,

για $T_{1}(x)=x$ και $T_{0}(x)=1$.

Γενικεύσεις

Μη-ακέραιες δυνάμεις

Το θεώρημα ντε Μουάβρ δεν γενικεύεται για μη-ακέραιες τιμές του $n$. Ο λόγος είναι ότι η ύψωση ενός μιγαδικού σε μη-ακέραια δύναμη δίνει πολλαπλές τιμές. Για παράδειγμα, οι $n$-ιοστές ρίζες της μονάδας, δηλαδή $1^{1/n}$, είναι $n$ στο πλήθος και δίνονται από τους τύπους

$z_{k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}$.

Υπερβολικές συναρτήσεις

Καθώς $\cosh x+\sinh x=e^{x}$ ισχύει για κάθε ακέραιο $n$ ότι

$(\cosh x+\sinh x)^{n}=\cosh nx+\sinh nx$.

Δείτε επίσης

• Πολυώνυμα Τσεμπισιόφ
• Τύπος του Όιλερ