Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής
Στα μαθηματικά, το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής λέει ότι μία συνεχής πραγματική συνάρτηση ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα έχει ολικό μέγιστο και ολικό ελάχιστο.
Διατύπωση
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Πιο συγκεκριμένα, έστω μία συνεχής συνάρτηση. Τότε υπάρχουν τέτοια ώστε για κάθε , ισχύει ότι
![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
![{\displaystyle x_{1},x_{2}\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d1bc3ddd05cec7229b2882cc0a74f4b3388514)
![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
- .
Από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, αυτό σημαίνει επίσης ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το διάστημα .
![{\displaystyle [f(x_{1}),f(x_{2})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6a9e26c8ee321939427eb42f01d9a8cc2d1e85)
Παραδείγματα
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Η συνάρτηση με έχει ολικό ελάχιστο στο και ολικό μέγιστο στο , καθώς
- .
- Σημείωση: Πιο γενικά, αυτό ισχύει για κάθε αύξουσα συνάρτηση . Αν η είναι φθίνουσα, τότε τα και είναι αντεστραμμένα.
- Η συνάρτηση στο έχει και
- Η συνάρτηση στο διάστημα έχει και .
- Η συνάρτηση στο διάστημα έχει και .
![{\displaystyle [1,4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d586411d3b36b42d74ece1ec4e191d4fe1fc83da)
![{\displaystyle [-1/2,6]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3dcacd7982bce484ebad0262e6455815e2af0f8)
![{\displaystyle [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2a912eda6ef1afe46a81b518fe9da64a832751)
![{\displaystyle f:[1,4]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79dd918ac573577704b630c2ec120aa699463d96)
![{\displaystyle f:[-1/2,6]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad900897839ba4abb7a0f4a29e8119be3029280e)
![{\displaystyle f:[0,\pi ]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89a1620d4405cee65593fc21ca108a2005c23931)
Αντιπαραδείγματα
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Αν το πεδίο ορισμού είναι ανοιχτό διάστημα τότε η παραπάνω πρόταση μπορεί και να μην ισχύει. Για παράδειγμα,
- Η συνάρτηση με , δεν έχει ολικό μέγιστο καθώς
- .
- Η συνάρτηση με έχει το ολικό μέγιστο στο που είναι εκτός του πεδίου ορισμού της.
Αν η συνάρτηση δεν είναι συνεχής, τότε πάλι η παραπάνω πρόταση μπορεί να μην ισχύει. Για παράδειγμα,
- Η (μη συνεχής) συνάρτηση με
![{\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de6d0d4c98d4ca7ad937c772dc3e3e914b062f5)
- δεν είναι φραγμένη.
Απόδειξη
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Θα ξεκινήσουμε αποδεικνύοντας το εξής βασικό λήμμα
Λήμμα — Έστω συνεχής συνάρτηση. Τότε η είναι φραγμένη στο δηλαδή υπάρχουν τέτοια ώστε για κάθε ισχύει ότι
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
- .
| Απόδειξη λήμματος |
|
Θα αποδείξουμε με εις άτοπον απαγωγή, ότι η συνάρτηση είναι άνω φραγμένη. Έστω ότι δεν ήταν, δηλαδή υπάρχει μία ακολουθία με και για κάθε . Από το Θεώρηµα Μπολζάνο-Βάιερστρας, καθώς η ακολουθία είναι φραγμένη, πρέπει να έχει μία συγκλίνουσα υποακολουθία, έστω , δηλαδή . Καθώς η είναι συνεχής, έχουμε ότι
που είναι άτοπο. Άρα η είναι φραγμένη στο . Θεωρώντας την λαμβάνουμε το ζητούμενο και για το κάτω φράγμα. |
![{\displaystyle x_{n}\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e395bf0f5d525f6f6b5fb84e8622fb08d2498ef)
![{\textstyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=y\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38ba6fac77b949e2cc2fe66b81dcd553dad9531)
| Απόδειξη |
|
Από το προηγούμενο λήμμα έχουμε ότι η είναι φραγμένη. Θυμίζουμε ότι η ιδιότητα ελάχιστου άνω φράγματος των πραγματικών αριθμών λέει ότι κάθε άνω φραγμένο σύνολο έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα. Επομένως, υπάρχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα για την . Θεωρούμε το σύνολο
το οποίο είναι φραγμένο από το . Στο ελάχιστο άνω φράγμα, έστω έχουμε ότι . Θεωρώντας την λαμβάνουμε το ζητούμενο για το κάτω φράγμα. |
![{\displaystyle X=\{x\in [a,b]:\sup _{y\in [x,b]}f(y)=M\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f50e7e6ab60122411d1e46aa302d60dff5744946)
Εφαρμογές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Θεώρημα Ρολ
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Το θεώρημα Ρολ λέει ότι σε μία συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα , παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα και για την οποία , υπάρχει ένα, τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε .[1][2]
![{\displaystyle [\alpha ,\beta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878fce9eb3ba664f0ad4d025f04214fa85ee9583)
Η απόδειξη του θεωρήματος Ρολ χρησιμοποιεί το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής για να δείξει ότι για ή λαμβάνουμε το ζητούμενο.
Σύνολο τιμών συνάρτησης
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Χρησιμοποιώντας το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής προκύπτει ότι για την συνάρτηση το σύνολο τιμών της είναι το .
Δείτε επίσης
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση (Παράγραφος Β2.5)
- ↑ Gowers, Timothy (2014). «IA Analysis I». University of Cambridge.
| Πραγματικοί αριθμοί |
| ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ακολουθίες |
| ||||||||||
| Σειρές |
| ||||||||||
| Συναρτήσεις |
| ||||||||||
