Θεώρημα Ρουθ

Το θεώρημα Ρουθ δίνει έναν τύπο για το εμβαδόν του ${\rm {\Delta EZ}}$.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Ρουθ (αναφέρεται και ως θεώρημα Routh) είναι ένας τύπος για το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν τα σημεία τομής τριών σεβιανών σε ένα τρίγωνο.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ όπου ${\rm {AA',BB',\Gamma \Gamma '}}$ είναι σεβιανές του, και ${\rm {\Delta ,E,Z}}$ τα σημεία τομής τους, ισχύει ότι

${\rm {E}}_{\rm {\Delta EZ}}={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}}\cdot {\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}$,

όπου ${\tfrac {\rm {\Gamma A'}}{\rm {BA'}}}=x$, ${\tfrac {\rm {AB'}}{\rm {\Gamma B'}}}=y$, and ${\tfrac {\rm {B\Gamma '}}{\rm {A\Gamma '}}}=z$.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Έντουαρντ Ρουθ που το ανέφερε στο βιβλίο του.

Ειδικές περιπτώσεις

• (Θεώρημα Τσέβα) Οι τρεις σεβιανές διέρχονται από το ίδιο σημείο ανν ${\rm {E}}_{\rm {\Delta EZ}}=0$ ανν $xyz=1$. Η τελευταία συνθήκη είναι ισοδύναμη με

${\frac {\rm {\Gamma A'}}{\rm {BA'}}}\cdot {\frac {\rm {AB'}}{\rm {\Gamma B'}}}\cdot {\frac {\rm {B\Gamma '}}{\rm {A\Gamma '}}}=1$,

που είναι η σχέση στο θεώρημα Τσέβα.

• (Τρίγωνο Φάινμαν) Σε κάθε τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ όταν $x=y=z=1/2$, το εμβαδόν του εσωτερικού τριγώνου είναι το $1/7$ του αρχικού.

Δείτε επίσης

• Σεβιανή
• Θεώρημα Τσέβα

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή του θεωρήματος Ρουθ στο The Wolfram Demonstrations Project.
• Θεώρημα Ρουθ με εξωτερικό γινόμενο στο MathPages.
• Θεώρημα Ρουθ στο Cut The Knot.

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Klamkin, Murray S.; Liu, A. (1981). «Three more proofs of Routh's theorem». Crux Mathematicorum (7): 199-203. 
• Kline, J. S.; Velleman, D. (1995). «Yet another proof of Routh's theorem». Crux Mathematicorum (21): 37-40. 
• Niven, Ivan (1976). «A New Proof of Routh's Theorem». Mathematics Magazine (49): 25–7. doi:10.2307/2689876.