Θεωρία προσέγγισης

Στα μαθηματικά, η θεωρία προσέγγισης^[1]^[2] ασχολείται με το πώς οι συναρτήσεις μπορούν να προσεγγιστούν καλύτερα με απλούστερες συναρτήσεις και με τον ποσοτικό χαρακτηρισμό των σφαλμάτων που εισάγονται με αυτόν τον τρόπο. Το τι εννοείται με τις λέξεις καλύτερη και απλούστερη εξαρτάται από την εφαρμογή.

Ένα στενά συνδεδεμένο θέμα είναι η προσέγγιση συναρτήσεων με γενικευμένες σειρές Φουριέ, δηλαδή προσεγγίσεις που βασίζονται στο άθροισμα μιας σειράς όρων που βασίζονται σε ορθογώνια πολυώνυμα.

Ένα πρόβλημα ιδιαίτερου ενδιαφέροντος είναι αυτό της προσέγγισης μιας συνάρτησης σε μια μαθηματική βιβλιοθήκη υπολογιστή, χρησιμοποιώντας πράξεις που μπορούν να εκτελεστούν στον υπολογιστή ή στην αριθμομηχανή (π.χ. πρόσθεση και πολλαπλασιασμός), έτσι ώστε το αποτέλεσμα να είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στην πραγματική συνάρτηση. Αυτό γίνεται συνήθως με πολυωνυμικές ή ρητές (λόγος πολυωνύμων) προσεγγίσεις.

Ο στόχος είναι να γίνει η προσέγγιση όσο το δυνατόν πιο κοντά στην πραγματική συνάρτηση, συνήθως με ακρίβεια που προσεγγίζει την ακρίβεια της υποκείμενης αριθμητικής κινητής υποδιαστολής του υπολογιστή. Αυτό επιτυγχάνεται με τη χρήση ενός πολυωνύμου υψηλού βαθμού και/ή περιορίζοντας το πεδίο στο οποίο το πολυώνυμο πρέπει να προσεγγίσει τη συνάρτηση. Ο περιορισμός του πεδίου μπορεί συχνά να γίνει με τη χρήση διαφόρων τύπων πρόσθεσης ή κλιμάκωσης για τη συνάρτηση που προσεγγίζεται. Οι σύγχρονες μαθηματικές βιβλιοθήκες συχνά μειώνουν το πεδίο σε πολλά μικροσκοπικά τμήματα και χρησιμοποιούν ένα πολυώνυμο χαμηλού βαθμού για κάθε τμήμα.

Σφάλμα μεταξύ του βέλτιστου πολυωνύμου και του log(x) (κόκκινο) και της προσέγγισης Τσεμπίσεφ και του log(x) (μπλε) στο διάστημα [2, 4]. Οι κατακόρυφες διαιρέσεις είναι 10⁻⁵. Το μέγιστο σφάλμα για το βέλτιστο πολυώνυμο είναι 6.07 × 10⁻⁵.

Σφάλμα μεταξύ του βέλτιστου πολυωνύμου και του exp(x) (κόκκινο) και της προσέγγισης Τσεμπίσεφ και του exp(x) (μπλε) στο διάστημα [-1, 1]. Οι κατακόρυφες διαιρέσεις είναι 10⁻⁴. Το μέγιστο σφάλμα για το βέλτιστο πολυώνυμο είναι 5.47 × 10⁻⁴.

Βέλτιστα πολυώνυμα

Αφού επιλεγεί το πεδίο (συνήθως ένα διάστημα) και ο βαθμός του πολυωνύμου, το ίδιο το πολυώνυμο επιλέγεται με τέτοιο τρόπο ώστε να ελαχιστοποιείται το σφάλμα χειρότερης περίπτωσης. Δηλαδή, ο στόχος είναι να ελαχιστοποιηθεί η μέγιστη τιμή της $\mid P(x)-f(x)\mid$ , όπου P(x) είναι το προσεγγιστικό πολυώνυμο, f(x) είναι η πραγματική συνάρτηση και x μεταβάλλεται στο επιλεγμένο διάστημα. Για καλά συμπεριφερόμενες συναρτήσεις, υπάρχει ένα Nth βαθμού πολυώνυμο που θα οδηγήσει σε μια καμπύλη σφάλματος που ταλαντεύεται μπρος-πίσω μεταξύ $+\varepsilon$ και $-\varepsilon$ συνολικά N+2 φορές, δίνοντας ένα σφάλμα χειρότερης περίπτωσης $\varepsilon$ . Βλέπουμε ότι υπάρχει ένα πολυώνυμο Nth βαθμού που μπορεί να παρεμβάλει N+1 σημεία σε μια καμπύλη. Το ότι ένα τέτοιο πολυώνυμο είναι πάντα βέλτιστο υποστηρίζεται από το θεώρημα της ισοταλάντωσης (equioscillation). Είναι δυνατόν να κατασκευαστούν τεχνητές συναρτήσεις f(x) για τις οποίες δεν υπάρχει τέτοιο πολυώνυμο, αλλά αυτές εμφανίζονται σπάνια στην πράξη.^[3]

Επί παραδείγματι, οι γραφικές παραστάσεις που παρουσιάζονται στα δεξιά δείχνουν το σφάλμα στην προσέγγιση των log(x) και exp(x) για N = 4. Οι κόκκινες καμπύλες, για το βέλτιστο πολυώνυμο, είναι επίπεδες, δηλαδή ταλαντεύονται μεταξύ $+\varepsilon$ και $-\varepsilon$ ακριβώς. Σε κάθε περίπτωση, ο αριθμός των ακρότατων είναι N+2, δηλαδή 6. Δύο από τα ακρότατα βρίσκονται στα ακραία σημεία του διαστήματος, στο αριστερό και στο δεξί άκρο των γραφημάτων.

Σφάλμα P(x) − f(x) για πολυώνυμο επιπέδου (κόκκινο) και για υποτιθέμενο καλύτερο πολυώνυμο (μπλε)

Για να αποδείξουμε ότι αυτό ισχύει γενικά, ας υποθέσουμε ότι το P είναι ένα πολυώνυμο βαθμού N που έχει την περιγραφόμενη ιδιότητα, δηλαδή ότι δίνει μια συνάρτηση σφάλματος που έχει N + 2 ακρότατα, με εναλλασσόμενα πρόσημα και ίσα μεγέθη. Το κόκκινο γράφημα στα δεξιά δείχνει πώς μπορεί να μοιάζει αυτή η συνάρτηση σφάλματος για N = 4. Ας υποθέσουμε ότι το Q(x) (του οποίου η συνάρτηση σφάλματος φαίνεται με μπλε χρώμα στα δεξιά) είναι ένα άλλο πολυώνυμο Ν βαθμού που αποτελεί καλύτερη προσέγγιση του f από το P. Συγκεκριμένα, το Q είναι πιο κοντά στο f από το P για κάθε τιμή x_i όπου εμφανίζεται ένα ακρότατο των P-f, οπότε

|Q(x_{i})-f(x_{i})|<|P(x_{i})-f(x_{i})|.

Όταν το μέγιστο P−f εμφανίζεται στο x_i, τότε

Q(x_{i})-f(x_{i})\leq |Q(x_{i})-f(x_{i})|<|P(x_{i})-f(x_{i})|=P(x_{i})-f(x_{i}),

Και όταν ένα ελάχιστο P−f εμφανίζεται στο x_i, τότε

f(x_{i})-Q(x_{i})\leq |Q(x_{i})-f(x_{i})|<|P(x_{i})-f(x_{i})|=f(x_{i})-P(x_{i}).

Έτσι, όπως φαίνεται στο γράφημα, [P(x) − f(x)] − [Q(x) − f(x)] πρέπει να εναλλάσσονται ως προς το πρόσημο για τις N + 2 τιμές του x_i. Αλλά η [P(x) − f(x)] − [Q(x) − f(x)] ανάγεται στην P(x) − Q(x) που είναι ένα πολυώνυμο βαθμού N. Η συνάρτηση αυτή αλλάζει πρόσημο τουλάχιστον N+1 φορές, οπότε, σύμφωνα με το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών, έχει N+1 μηδενικά, πράγμα αδύνατο για ένα πολυώνυμο βαθμού N.

Προσέγγιση Τσεμπίσεφ

Μπορεί κανείς να λάβει πολυώνυμα πολύ κοντά στο βέλτιστο αναπτύσσοντας τη δεδομένη συνάρτηση ως προς πολυώνυμα Τσεμπίσεφ και στη συνέχεια διακόπτοντας το ανάπτυγμα στον επιθυμητό βαθμό. Αυτό είναι παρόμοιο με την ανάλυση Φουριέ της συνάρτησης, χρησιμοποιώντας τα πολυώνυμα Τσεμπίσεφ αντί για τις συνήθεις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.^[4]

Αν υπολογίσει κανείς τους συντελεστές στο ανάπτυγμα Τσεμπίσεφ για μια συνάρτηση:

f(x)\sim \sum _{i=0}^{\infty }c_{i}T_{i}(x)

και στη συνέχεια κόβει τη σειρά μετά τον όρο $T_{N}$ , παίρνει κανείς ένα Nth-βαθμού πολυώνυμο που προσεγγίζει το f(x).

Ο λόγος που αυτό το πολυώνυμο είναι σχεδόν βέλτιστο είναι ότι, για συναρτήσεις με ταχέως συγκλίνουσες δυναμοσειρές, εάν η σειρά αποκοπεί μετά από κάποιο όρο, το συνολικό σφάλμα που προκύπτει από την αποκοπή είναι κοντά στον πρώτο όρο μετά την αποκοπή. Με άλλα λόγια, ο πρώτος όρος μετά την αποκοπή κυριαρχεί σε όλους τους μεταγενέστερους όρους. Το ίδιο ισχύει και αν το ανάπτυγμα είναι σε όρους bucking πολυωνύμων. Εάν ένα ανάπτυγμα Τσεμπίσεφ αποκοπεί μετά το $T_{N}$ , το σφάλμα θα πάρει μια μορφή κοντά σε ένα πολλαπλάσιο του $T_{N+1}$ . Τα πολυώνυμα Τσεμπίσεφ έχουν την ιδιότητα ότι είναι επίπεδα - ταλαντώνονται μεταξύ +1 και -1 στο διάστημα [-1, 1]. $T_{N+1}$ έχει N+2 ακρότατα επιπέδων. Αυτό σημαίνει ότι το σφάλμα μεταξύ της f(x) και του αναπτύγματος Τσεμπίσεφ μέχρι το $T_{N}$ είναι κοντά σε μια συνάρτηση επιπέδου με N+2 ακρότατα, οπότε είναι κοντά στο βέλτιστο N πολυώνυμο Nth βαθμού.

Στα παραπάνω γραφήματα, η μπλε συνάρτηση σφάλματος είναι μερικές φορές καλύτερη από την κόκκινη συνάρτηση (εντός αυτής), αλλά μερικές φορές χειρότερη, πράγμα που σημαίνει ότι δεν είναι ακριβώς το βέλτιστο πολυώνυμο. Η απόκλιση είναι λιγότερο σοβαρή για τη συνάρτηση exp, η οποία έχει μια εξαιρετικά γρήγορα συγκλίνουσα δυναμοσειρά, απ' ό,τι για τη συνάρτηση log.

Η προσέγγιση Τσεμπίσεφ είναι η βάση για την τετραγωνική εξίσωση Κλένσοου-Κέρτις, μια τεχνική αριθμητικής ολοκλήρωσης.

Αλγόριθμος του Ρεμέζ

Ο αλγόριθμος Ρεμέζ (μερικές φορές γράφεται Ρεμές) χρησιμοποιείται για την παραγωγή ενός βέλτιστου πολυωνύμου P(x) που προσεγγίζει μια δεδομένη συνάρτηση f(x) σε ένα δεδομένο διάστημα. Είναι ένας επαναληπτικός αλγόριθμος που συγκλίνει σε ένα πολυώνυμο που έχει συνάρτηση σφάλματος με ακρότατα N+2 επιπέδων. Σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, αυτό το πολυώνυμο είναι βέλτιστο.

Ο αλγόριθμος του Ρέμεζ χρησιμοποιεί το γεγονός ότι μπορεί κανείς να κατασκευάσει ένα πολυώνυμο 'Nth-βαθμού που οδηγεί σε τιμές σφάλματος επιπέδου και εναλλασσόμενες, δεδομένων N+2 σημείων δοκιμής.

Δίνονται N+2 σημεία δοκιμής $x_{1}$ , $x_{2}$ , ... $x_{N+2}$ (όπου $x_{1}$ και $x_{N+2}$ είναι πιθανώς τα τελικά σημεία του διαστήματος προσέγγισης), οι εξισώσεις αυτές πρέπει να επιλυθούν:

{\begin{aligned}P(x_{1})-f(x_{1})&=+\varepsilon \\P(x_{2})-f(x_{2})&=-\varepsilon \\P(x_{3})-f(x_{3})&=+\varepsilon \\&\ \ \vdots \\P(x_{N+2})-f(x_{N+2})&=\pm \varepsilon .\end{aligned}}

Οι δεξιές πλευρές εναλλάσσονται ως προς το πρόσημο.

Δηλαδή,

{\begin{aligned}P_{0}+P_{1}x_{1}+P_{2}x_{1}^{2}+P_{3}x_{1}^{3}+\dots +P_{N}x_{1}^{N}-f(x_{1})&=+\varepsilon \\P_{0}+P_{1}x_{2}+P_{2}x_{2}^{2}+P_{3}x_{2}^{3}+\dots +P_{N}x_{2}^{N}-f(x_{2})&=-\varepsilon \\&\ \ \vdots \end{aligned}}

Εφόσον δόθηκαν οι $x_{1}$ , ..., $x_{N+2}$ , όλες οι δυνάμεις τους είναι γνωστές και οι $f(x_{1})$ , ..., $f(x_{N+2})$ είναι επίσης γνωστές. Αυτό σημαίνει ότι οι παραπάνω εξισώσεις είναι απλά N+2 γραμμικές εξισώσεις στις N+2 μεταβλητές $P_{0}$ , $P_{1}$ , ..., $P_{N}$ , και $\varepsilon$ . Δεδομένων των δοκιμαστικών σημείων $x_{1}$ , ..., $x_{N+2}$ , μπορεί κανείς να λύσει αυτό το σύστημα για να πάρει το πολυώνυμο P και τον αριθμό $\varepsilon$ .

Το παρακάτω γράφημα δείχνει ένα παράδειγμα αυτού, που παράγει ένα πολυώνυμο τέταρτου βαθμού που προσεγγίζει το $e^{x}$ στο [-1, 1]. Τα δοκιμαστικά σημεία ορίστηκαν στο −1, −0.7, −0.1, +0.4, +0.9, και 1.Οι τιμές αυτές εμφανίζονται με πράσινο χρώμα. Η προκύπτουσα τιμή της $\varepsilon$ is 4.43 × 10⁻⁴

Σφάλμα του πολυωνύμου που παράγεται από το πρώτο βήμα του αλγορίθμου Ρεμέζ, προσεγγίζοντας το e^x στο διάστημα [−1, 1]. Οι κάθετες διαιρέσεις είναι 10⁻⁴.

Το γράφημα σφάλματος παίρνει πράγματι τις τιμές $\pm \varepsilon$ στα έξι σημεία δοκιμής, συμπεριλαμβανομένων των τελικών σημείων, αλλά τα σημεία αυτά δεν είναι ακρότατα. Εάν τα τέσσερα εσωτερικά σημεία δοκιμής ήταν ακρότατα (δηλαδή η συνάρτηση P(x)f(x) είχε μέγιστα ή ελάχιστα εκεί), το πολυώνυμο θα ήταν βέλτιστο.

Το δεύτερο βήμα του αλγορίθμου του Ρεμέζ συνίσταται στη μετακίνηση των σημείων δοκιμής στις προσεγγιστικές θέσεις όπου η συνάρτηση σφάλματος είχε τα πραγματικά τοπικά μέγιστα ή ελάχιστα. Παραδείγματος χάριν, μπορεί κανείς να καταλάβει κοιτάζοντας το γράφημα ότι το σημείο στο -0,1 θα έπρεπε να βρίσκεται περίπου στο -0,28. Ο τρόπος για να γίνει αυτό στον αλγόριθμο είναι να χρησιμοποιηθεί ένας μόνο γύρος της μεθόδου του Νεύτωνα. Εφόσον γνωρίζει κανείς την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της P(x) − f(x), μπορεί να υπολογίσει κατά προσέγγιση πόσο μακριά πρέπει να μετακινηθεί ένα σημείο δοκιμής ώστε η παράγωγος να είναι μηδέν.

Ο υπολογισμός των παραγώγων ενός πολυωνύμου είναι απλός. Πρέπει επίσης να είναι κανείς σε θέση να υπολογίζει την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της f(x). Ο αλγόριθμος του Ρεμέζ απαιτεί την ικανότητα υπολογισμού των $f(x)\,$ , $f'(x)\,$ και $f''(x)\,$ με εξαιρετικά υψηλή ακρίβεια. Ολόκληρος ο αλγόριθμος πρέπει να εκτελείται με μεγαλύτερη ακρίβεια από την επιθυμητή ακρίβεια του αποτελέσματος.

Μετά τη μετακίνηση των δοκιμαστικών σημείων, επαναλαμβάνεται το μέρος της γραμμικής εξίσωσης, παίρνοντας ένα νέο πολυώνυμο, και χρησιμοποιείται ξανά η μέθοδος του Νεύτωνα για να μετακινηθούν και πάλι τα δοκιμαστικά σημεία. Αυτή η ακολουθία συνεχίζεται μέχρι το αποτέλεσμα να συγκλίνει στην επιθυμητή ακρίβεια. Ο αλγόριθμος συγκλίνει πολύ γρήγορα. Η σύγκλιση είναι τετραγωνική για καλά συμπεριφερόμενες συναρτήσεις - αν τα σημεία δοκιμής βρίσκονται εντός $10^{-15}$ από το σωστό αποτέλεσμα, θα βρίσκονται περίπου εντός $10^{-30}$ από το σωστό αποτέλεσμα μετά τον επόμενο γύρο.

Ο αλγόριθμος του Ρεμέζ συνήθως ξεκινάει επιλέγοντας τα ακρότατα του πολυωνύμου Τσεμπίσεφ $T_{N+1}$ ως αρχικά σημεία, δεδομένου ότι η τελική συνάρτηση σφάλματος θα είναι παρόμοια με αυτό το πολυώνυμο.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Mhaskar, Hrushikesh Narhar· Pai, Devidas V. (2000). Fundamentals of Approximation Theory. CRC Press. ISBN 978-0-8493-0939-7.
Powell, M. J. D. (31 Μαρτίου 1981). Approximation Theory and Methods. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29514-7.
Achieser, N. I. (5 Ιουνίου 2013). Theory of Approximation. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15313-1.
Trefethen, Lloyd N. (3 Ιανουαρίου 2013). Approximation Theory and Approximation Practice. SIAM. ISBN 978-1-61197-240-5.
Cheney, Elliott Ward· Light, William Allan (13 Ιανουαρίου 2009). A Course in Approximation Theory. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4798-5.
Iske, Armin (14 Δεκεμβρίου 2018). Approximation Theory and Algorithms for Data Analysis. Springer. ISBN 978-3-030-05228-7.
Boor, Carl De· Society, American Mathematical (31 Δεκεμβρίου 1986). Approximation Theory. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-6743-3.
Anastassiou, George (24 Απριλίου 1992). Approximation Theory. CRC Press. ISBN 978-0-8247-8708-0.
Shapiro, Harold S. (15 Νοεμβρίου 2006). Topics in Approximation Theory. Springer. ISBN 978-3-540-36497-9.
Christensen, Ole· Christensen, Khadija Laghrida (4 Νοεμβρίου 2012). Approximation Theory: From Taylor Polynomials to Wavelets. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4448-2.
Steffens, Karl-Georg (28 Ιουλίου 2007). The History of Approximation Theory: From Euler to Bernstein. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4475-8.

Παραπομπές

↑ «θεωρία προσέγγισης - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» (PDF).
↑ «Θεωρία προσέγγισης σε χώρους με νόρμα». dias.library.tuc.gr. Ανακτήθηκε στις 20 Φεβρουαρίου 2025.
↑ Yunkang, Liu; Qunyan, Yu (1991-12-01). «Optimal polynomial approximation method for a class of functional equations» (στα αγγλικά). Approximation Theory and its Applications 7 (4): 50–55. doi:10.1007/BF02836230. ISSN 1573-8175. https://link.springer.com/article/10.1007/BF02836230.
↑ «Chebyshev Polynomials and Approximation Theory in Theoretical» (PDF).

Achiezer (Akhiezer), N.I. (2013) [1956]. Theory of approximation. Μτφρ. Hyman, C.J. Dover. ISBN 978-0-486-15313-1. OCLC 1067500225.
Timan, A.F. (2014) [1963]. Theory of approximation of functions of a real variable. International Series in Pure and Applied Mathematics. 34. Elsevier. ISBN 978-1-4831-8481-4.
Hastings, Jr., C. (2015) [1955]. Approximations for Digital Computers. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-7559-7.
Hart, J.F.· Cheney, E.W.· Lawson, C.L.· Maehly, H.J.· Mesztenyi, C.K.· Rice, Jr., J.R.· Thacher, H.C.· Witzgall, C. (1968). Computer Approximations. Wiley. OCLC 0471356301.
Fox, L.· Parker, I.B. (1968). Chebyshev Polynomials in Numerical Analysis. Oxford mathematical handbooks. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-859614-1. OCLC 9036207.
Press, WH· Teukolsky, S.A.· Vetterling, W.T.· Flannery, B.P. (2007). «§5.8 Chebyshev Approximation». Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
Cody, Jr., W.J.· Waite, W. (1980). Software Manual for the Elementary Functions. Prentice-Hall. ISBN 0-13-822064-6. OCLC 654695035.
Remes (Remez), E. (1934). «Sur le calcul effectif des polynomes d'approximation de Tschebyschef» (στα γαλλικά). C. R. Acad. Sci. 199: 337–340. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3151h/f337.item.
Steffens, K.-G. (2006). The History of Approximation Theory: From Euler to Bernstein,. Birkhauser. doi:10.1007/0-8176-4475-X. ISBN 0-8176-4353-2.
Erdélyi, T. (2008). «Extensions of the Bloch-Pólya theorem on the number of distinct real zeros of polynomials». Journal de théorie des nombres de Bordeaux 20: 281–7. http://www.numdam.org/item/10.5802/jtnb.627.pdf.
Erdélyi, T. (2009). «The Remez inequality for linear combinations of shifted Gaussians». Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 146: 523–530. doi:10.1017/S0305004108001849.
Trefethen, L.N. (2020). Approximation theory and approximation practice. SIAM. ISBN 978-1-61197-594-9. Ch. 1–6 of 2013 edition

Πηγές

Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0
Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9
Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7
Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0.
Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4.
Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ
Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0

[1] «θεωρία προσέγγισης - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» (PDF).

[2] «Θεωρία προσέγγισης σε χώρους με νόρμα». dias.library.tuc.gr. Ανακτήθηκε στις 20 Φεβρουαρίου 2025.

[3] Yunkang, Liu; Qunyan, Yu (1991-12-01). «Optimal polynomial approximation method for a class of functional equations» (στα αγγλικά). Approximation Theory and its Applications 7 (4): 50–55. doi:10.1007/BF02836230. ISSN 1573-8175. https://link.springer.com/article/10.1007/BF02836230.

[4] «Chebyshev Polynomials and Approximation Theory in Theoretical» (PDF).

[1]

[2]

[3]

[4]