Θεωρία κλάσεων σωμάτων

Οι πέμπτες ρίζες της μονάδας στο μιγαδικό επίπεδο. Η πρόσθεση αυτών των ριζών στους ρητούς αριθμούς δημιουργεί μια αβελιανή επέκταση.

Στα μαθηματικά, η θεωρία κλάσεων σωμάτων είναι ένας σημαντικός κλάδος της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών, ο οποίος έχει ως στόχο να ταξινομήσει τις αβελιανές επεκτάσεις, δηλαδή τις γαλαζιακές επεκτάσεις και τις αντιμεταθετικές ομάδες Γκαλουά, ενός συγκεκριμένου αντιμεταθετικού σώματος. Πιο συγκεκριμένα, ο στόχος είναι να περιγραφούν και να κατασκευαστούν αυτές οι επεκτάσεις με βάση τις αριθμητικές ιδιότητες του ίδιου του βασικού σώματος .

Τα περισσότερα από τα κύρια αποτελέσματα αποδείχθηκαν κατά την περίοδο μεταξύ 1900 και 1950. Η θεωρία πήρε το όνομά της από πρώιμες ιδέες, εικασίες και αποτελέσματα, όπως το σώμα κλάσης Χίλμπερτ, και οργανώθηκε γύρω στο 1930.

Σήμερα, ο όρος χρησιμοποιείται γενικά ως συνώνυμο για τη μελέτη όλων των αβελιανών επεκτάσεων των αλγεβρικών αριθμητικών σωμάτων (και γενικότερα στο σύνολο των σωμάτων), αλλά και των p-adic αριθμητικών σωμάτων (και γενικότερα των τοπικών σωμάτων).

Μια άλλη σημαντική γραμμή είναι η αναζήτηση ρητών γεννητριών για σώματα κλάσεων των αλγεβρικών αριθμητικών σωμάτων, δηλαδή γεννητριών που δίνονται από τις τιμές των υπερβατικών συναρτήσεων. Αυτό είναι το Κρόνεκερ Jugendtraum (το όνειρο της νεότητας του Κρόνεκερ). Έχει επιτευχθεί μόνο σε λίγες σπάνιες περιπτώσεις, κυρίως στο σώμα των λογικών (θεώρημα Κρόνεκερ-Βέμπερ, όπου οι γεννήτριες είναι ρίζες της μονάδας, δηλαδή τιμές της εκθετικής συνάρτησης), και σε φανταστικά τετραγωνικά σώματα (η περίπτωση των σωμάτων με μιγαδικό πολλαπλασιασμό, όπου οι γεννήτριες είναι τιμές ελλειπτικών συναρτήσεων).

Διατύπωση σε σύγχρονη ορολογία

Έστω Κ ένα σταθερό αντιμεταθετικό σώμα. Στη σύγχρονη γλώσσα, υπάρχει μια "μέγιστη" αβελιανή επέκταση A του K, η οποία θα είναι άπειρου βαθμού στο K- και συνδεδεμένη με την A, μια ομάδα Γκαλουά G η οποία θα είναι μια προφινιτική ομάδα, άρα μια συμπαγής τοπολογική ομάδα, και επίσης αβελιανή. Μας ενδιαφέρει να περιγράψουμε την G ως προς την K.

Το θεμελιώδες αποτέλεσμα της θεωρίας των κλάσεων σωμάτων δηλώνει ότι η ομάδα G είναι φυσικά ισόμορφη με την προφινιτική ολοκλήρωση της ομάδας των κλάσεων idel (in) του K. Για παράδειγμα, όταν το K είναι το σώμα των λογικών αριθμών, η ομάδα Γαλουά G είναι (φυσικά ισόμορφη με) ένα άπειρο γινόμενο της ομάδας των μονάδων των p-adic ακεραίων αριθμών που λαμβάνονται πάνω σε όλους τους πρώτους p, και η αντίστοιχη μέγιστη αβελιανή επέκταση των λογικών αριθμών είναι το σώμα που παράγεται από όλες τις ρίζες της μονάδας. Αυτό ήταν γνωστό ως θεώρημα Κρόνεκερ-Βέμπερ, το οποίο διατυπώθηκε αρχικά από τον Κρόνεκερ.

Για μια περιγραφή της γενικής περίπτωσης, ανατρέξτε στο αναλυτικό άρθρο: Σχηματισμός τάξης.

Στην πράξη, το πρόγραμμα παίρνει την ακόλουθη μορφή. Δεδομένου ενός σώματος K και ενός σταθερού διαχωρίσιμου κλεισίματος K^sep του K, επιδιώκουμε να συσχετίσουμε με κάθε πεπερασμένη αβελιανή επέκταση L του K που περιλαμβάνεται στο K^sep μια τοπολογική ομάδα 'C(L) και έναν συνεχή ομομορφισμό των ομάδων NL/K του C(L) στο C(K) έτσι ώστε :

• Η εφαρμογή που συνδέει το N_L/K(C(L)) με το L είναι μια διχοτόμηση μεταξύ πεπερασμένων αβελιανών επεκτάσεων του K που περιλαμβάνονται στο K^sep και ανοικτών υποομάδων πεπερασμένου δείκτη του C(K).
• Για κάθε πεπερασμένη αβελιανή επέκταση L/K που περιλαμβάνεται στην K^sep, υπάρχει ένας ισομορφισμός των ομάδων r_L/K της Gal(L/K) στην C(K)/N_L/K(C(L)), που ονομάζεται εφαρμογή αμοιβαιότητας.

Η θεωρία κλάσεων σωμάτων έχει περιγραφεί για ένα ευρύ φάσμα σωμάτων, συμπεριλαμβανομένων των αλγεβρικών αριθμητικών σωμάτων και των p-adic αριθμητικών σωμάτων.

Το απλούστερο παράδειγμα είναι αυτό των πεπερασμένων σωμάτων. Αν το K είναι ένα πεπερασμένο σώμα με πληθάριθμο q, C(L) = ℤ και N_L/K ισούται με τον πολλαπλασιασμό με τον βαθμό [L/K] τουL/K, για κάθε πεπερασμένη επέκταση L του K που περιλαμβάνεται στο K^sep. Έχουμε έναν εγχυτικό και πυκνό σε εικόνες μορφισμό των ομάδων του ℤ στο Gal(K^sep/K), ο οποίος στέλνει το 1 στον Frobenius του K, δηλαδή στον αυτομορφισμό φ_K : x ↦ x^q. Αν το σ είναι στοιχείο του Gal(L/K), υπάρχει ένα μοναδικό n στο ℤ/[L:K]ℤ τέτοιο ώστε το φ_Kⁿ να επεκτείνει το σ. Η εφαρμογή της αμοιβαιότητας ορίζεται από το σ ↦ n.

Τοπική Θεωρία σωμάτων

Πρόκειται για το μέρος της θεωρίας που ασχολείται με τα τοπικά σώματα. Σε ό,τι ακολουθεί, περιοριζόμαστε σε τοπικά σώματα των οποίων το υπόλοιπο σώμα είναι πεπερασμένο.

Αν το K είναι ένα τοπικό σώμα με πεπερασμένο υπόλοιπο σώμα, υπάρχει ένας εγχυτικός και πυκνός ομομορφισμός εικόνας των τοπολογικών ομάδων της πολλαπλασιαστικής ομάδας του K πάνω στην ομάδα Γκαλουά της μέγιστης αβελιανής επέκτασης του K . Αυτός ο ομομορφισμός, που ονομάζεται σύμβολο Αρτίν, ορίζεται ως εξής: κάθε πρώτο στοιχείο του K σχετίζεται με έναν αυτομορφισμό που, περιορισμένος σε οποιαδήποτε μη διακλαδισμένη αβελιανή υποεπέκταση, είναι ο αυτομορφισμός Frobenius αυτής της επέκτασης, και το σύμβολο Αρτίν παραγοντοποιεί μέσω των ομάδων νόρμας που σχετίζονται με τις πεπερασμένες υποεπεκτάσεις. Υπάρχει τότε μια αντιστοιχία Γκαλουά των υπο-επεκτάσεων της μέγιστης αβελιανής επέκτασης του K με τις υποομάδες (κλειστές για την τοπολογία Krull) της ομάδας Γκαλουά αυτής της επέκτασης, και επομένως, μέσω του συμβόλου Αρτίν, με τις υποομάδες της πολλαπλασιαστικής ομάδας του K .

Η πιο εντυπωσιακή ειδική περίπτωση είναι αυτή της μοναδιαίας ομάδας: σχετίζεται με τη μέγιστη μη διακλαδισμένη επέκταση της K .

Συνολική Θεωρία σωμάτων

Για K ένα αριθμητικό σώμα, η αντιστοιχία του σώματος τάξεων μπορεί να δηλωθεί ως η συλλογή των τοπικών αντιστοιχιών σε όλους τους μη-αρχιμήδειους τόπους του K , χρησιμοποιώντας τα idels .

Ιστορία

Η γενίκευση πραγματοποιήθηκε στο πλαίσιο ενός μακροχρόνιου ιστορικού έργου που περιλάμβανε τετραγωνικές μορφές, νόμους αμοιβαιότητας, το έργο των Κόμερ και Κρόνεκερ/Χένσελ για τα ιδεώδη και τις συμπληρώσεις τους, τη θεωρία της κυκλοτομίας, τις επεκτάσεις του Κόμερ, τις εικασίες του Χίλμπερτ και τις αποδείξεις πολλών μαθηματικών (Τέιτζι Τακάγκι, Χέλμουτ Χάσε, Εμίλ Άρτιν, Φίλιπ Φουρτβένγκλερ και άλλοι). Το κρίσιμο θεώρημα ύπαρξης του Τακαγκί ήταν γνωστό το 1920 και όλα τα άλλα βασικά αποτελέσματα γύρω στο 1930. Η ιδιότητα του πρωτεύοντος ήταν μία από τις τελευταίες κλασικές εικασίες που αποδείχθηκαν.

Στη δεκαετία του 1930 και αργότερα, η χρήση των άπειρων επεκτάσεων και η θεωρία του Κρουλl για τις ομάδες Γκαλουά τους θεωρήθηκε όλο και πιο χρήσιμη. Συνδυάζεται με τη δυαδικότητα Pontryagin για να δώσει μια σαφέστερη αλλά πιο αφηρημένη διατύπωση του κεντρικού αποτελέσματος, του νόμου της αμοιβαιότητας του Άρτιν. Βασίζεται επίσης στη θεωρία του Ιβασάβα.

Μετά την αναδιατύπωση των αποτελεσμάτων με όρους της συνομολογίας Γκαλουά , με την έννοια του σχηματισμού τάξης, ο τομέας αυτός υπέστη σχετική στασιμότητα. Το πρόγραμμα Λάνγκλαντς του έδωσε μια νέα ώθηση, με τη μορφή μιας "μη-αβελιανής θεωρίας των σωμάτων κλάσεων ", αν και αυτή η περιγραφή μπορεί πλέον να θεωρηθεί περιοριστική, αν περιοριστεί στο ερώτημα πώς τα πρώτα ιδεώδη αποσυντίθενται σε γενικές επεκτάσεις Γκαλουά.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου

Δημοσιεύσεις

• Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan και άλλοι., επιμ.. (2008), The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, doi:10.1007/978-0-387-72126-2, ISBN 978-0-387-72125-5 
• Davenport, Harold (2000), Multiplicative number theory, Graduate Texts in Mathematics, 74 (3rd revised έκδοση), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95097-6 
• Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41740-0 
• Tenenbaum, Gérald (1995), Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Cambridge studies in advanced mathematics, 46, Cambridge University Press, ISBN 0-521-41261-7