Θεωρία ανώτερων κατηγοριών

Στα μαθηματικά, η θεωρία ανώτερων κατηγοριών^[1] είναι το τμήμα της θεωρίας κατηγοριών ανώτερης τάξης, το οποίο σημαίνει ότι ορισμένες ισότητες αντικαθίστανται από ρητά βέλη προκειμένου να είναι δυνατή η ρητή μελέτη της δομής πίσω από αυτές τις ισότητες. Η θεωρία ανώτερων κατηγοριών εφαρμόζεται συχνά στην αλγεβρική τοπολογία (ιδίως στη θεωρία ομοτοπίας^[2]^[3]), όπου μελετώνται αλγεβρικές αναλλοίωτες των χώρων, όπως το θεμελιώδες ασθενές ∞-ομαδοειδές.

Στη θεωρία ανώτερων κατηγοριών, η έννοια των ανώτερων κατηγορικών δομών, όπως οι (∞-κατηγορίες), επιτρέπει μια πιο ανθεκτική αντιμετώπιση της θεωρίας ομοτοπίας, επιτρέποντας την αποτύπωση λεπτότερων ομοτοπικών διακρίσεων, όπως η διαφοροποίηση δύο τοπολογικών χώρων που έχουν την ίδια θεμελιώδη ομάδα αλλά διαφέρουν στις ανώτερες ομάδες ομοτοπίας τους. Αυτή η προσέγγιση είναι ιδιαίτερα πολύτιμη όταν πρόκειται για χώρους με περίπλοκα τοπολογικά χαρακτηριστικά,^[4] όπως ο χώρος των Άιλενμπεργκ-ΜακΛέιν^[5].

Αυστηρές ανώτερες κατηγορίες

Μια συνηθισμένη κατηγορία έχει αντικείμενα και μορφισμούς, οι οποίοι ονομάζονται 1-μορφισμοί στο πλαίσιο της θεωρίας ανώτερων κατηγοριών. Μια 2-κατηγορία γενικεύει αυτό το γεγονός περιλαμβάνοντας επίσης μορφισμούς μεταξύ των μορφισμών. Η συνέχιση αυτής της διαδικασίας μέχρι n-μορφισμούς μεταξύ (n − 1)-μορφισμών δίνει μια κατηγορία.

Ακριβώς όπως η κατηγορία που είναι γνωστή ως Cat,^[6] η οποία είναι η κατηγορία των μικρών κατηγοριών και συναρτητών είναι στην πραγματικότητα μια 2-κατηγορία με φυσικούς μετασχηματισμούς^[7] ως 2-μορφισμούς, η κατηγορία n-Cat των (μικρών) n-κατηγοριών είναι στην πραγματικότητα μια (n + 1)-κατηγορία.

Μια n-κατηγορία ορίζεται με επαγωγή στο n ως εξής:

Μια 0-κατηγορία είναι ένα σύνολο,
Μια (n + 1)-κατηγορία είναι μια κατηγορία εμπλουτισμένη με την κατηγορία n-Cat^[6].

Έτσι, μια 1-κατηγορία είναι απλώς μια (τοπικά μικρή) κατηγορία.

Η μονοειδής δομή του Set (Συνόλου) είναι αυτή που δίνεται από το καρτεσιανό γινόμενο ως τανυστή και ένα μονοσύνολο ως μονάδα. Στην πραγματικότητα, σε κάθε κατηγορία με πεπερασμένα γινόμενα μπορεί να δοθεί μια μονοειδής δομή. Η αναδρομική κατασκευή της n-Cat λειτουργεί ικανοποιητικά διότι αν μια κατηγορία $C$ έχει πεπερασμένα γινόμενα, η κατηγορία των $C$ -εμπλουτισμένων κατηγοριών έχει επίσης πεπερασμένα γινόμενα.

Ενώ αυτή η έννοια είναι πολύ αυστηρή για ορισμένους σκοπούς, όπως για παράδειγμα στη θεωρία ομοτοπίας, όπου οι "αδύναμες" δομές προκύπτουν με τη μορφή ανώτερων κατηγοριών,^[8] έχουν επίσης προκύψει αυστηρά κυβικά ομαδοειδή ανώτερης ομοτοπίας που δίνουν μια νέα βάση για την αλγεβρική τοπολογία στα όρια μεταξύ της ομολογίας και της θεωρίας ομοτοπίας^[9]- βλ. το άρθρο Nonabelian algebraic topology^[10], που αναφέρεται στο βιβλίο παρακάτω.

Οιονεί-κατηγορίες

Τα αδύναμα συμπλέγματα Καν, ή οιονεί κατηγορίες^[11], είναι απλοποιημένα σύνολα που ικανοποιούν μια αδύναμη εκδοχή της συνθήκης Καν. Ο Αντρέ Ζογιάλ έδειξε ότι αποτελούν ένα καλό θεμέλιο για τη θεωρία ανώτερων κατηγοριών, κατασκευάζοντας τη δομή μοντέλου Ζογιάλ στην κατηγορία των απλοποιημένων συνόλων, της οποίας τα ινώδη αντικείμενα είναι ακριβώς οιονεί κατηγορίες. Το 2009, η θεωρία συστηματοποιήθηκε περαιτέρω από τον Ιακόμπ Λούρι^[12], ο οποίος τις αποκαλεί απλώς κατηγορίες απείρου, αν και ο τελευταίος όρος είναι επίσης ένας γενικός όρος για όλα τα μοντέλα των (άπειρων, k) κατηγοριών για οποιοδήποτε k.

Απλά εμπλουτισμένη κατηγορία

Οι εμπλουτισμένες απλές κατηγορίες^[13], ή απλές κατηγορίες, είναι εμπλουτισμένες κατηγορίες σε απλά σύνολα. Ωστόσο, όταν τις θεωρούμε ως μοντέλο για τις κατηγορίες (άπειρο, 1), πολλές κατηγορικές έννοιες ( όπως τα όρια) δεν αντιστοιχούν στις αντίστοιχες έννοιες με την έννοια των εμπλουτισμένων κατηγοριών. Το ίδιο ισχύει και για άλλα εμπλουτισμένα μοντέλα, όπως τις τοπολογικά εμπλουτισμένες κατηγορίες.

Κατηγορίες του Σεγκάλ

Πρόκειται για μοντέλα ανώτερων κατηγοριών που εισήγαγαν οι Χίρσοβιτς και Σίμπσον το 1998^[14], εν μέρει εμπνευσμένα από τα αποτελέσματα του Γκράεμ Σεγκάλ το 1974.^[15]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
Wolfram Mathematica Online Integrator
A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Paoli, Simona (3 Ιουνίου 2019). Simplicial Methods for Higher Categories: Segal-type Models of Weak n-Categories. Springer. ISBN 978-3-030-05674-2.
Getzler, Ezra· Kapranov, Mikhail M. (1998). Higher Category Theory: Workshop on Higher Category Theory and Physics, March 28-30, 1997, Northwestern University, Evanston, IL. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1056-9.
Lurie, Jacob (26 Ιουλίου 2009). Higher Topos Theory. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14048-3.
Gurski, Nick (21 Μαρτίου 2013). Coherence in Three-Dimensional Category Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-03489-1.
Cisinski, Denis-Charles (2 Μαΐου 2019). Higher Categories and Homotopical Algebra. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-64347-4.
Simpson, Carlos (20 Οκτωβρίου 2011). Homotopy Theory of Higher Categories: From Segal Categories to n-Categories and Beyond. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-50219-1.
Cisinski, Denis-Charles (2 Μαΐου 2019). Higher Categories and Homotopical Algebra. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47320-0.
Gauthier, Yvon (24 Σεπτεμβρίου 2015). Towards an Arithmetical Logic: The Arithmetical Foundations of Logic. Birkhäuser. ISBN 978-3-319-22087-1.
Baez, John C.· May, J. Peter (23 Σεπτεμβρίου 2009). Towards Higher Categories. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-1524-5.
Bárcenas, Noé· Galaz-García, Fernando (1 Φεβρουαρίου 2016). Mexican Mathematicians Abroad. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-2192-2.
Bárcenas, Noé· Galaz-García, Fernando (1 Φεβρουαρίου 2016). Mexican Mathematicians Abroad. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-2192-2.

Παραπομπές

↑ «Introduction to Higher Category Theory - Universität Hamburg» (PDF).
↑ «Τοπολογία- Ομοτοπία Κεφ. 10 σελίδα 262 - Σπύρου Καπελλίδη mathematica.gr» (PDF).
↑ Longoni, Riccardo; Salvatore, Paolo (2005-03-01). «Configuration spaces are not homotopy invariant». Topology 44 (2): 375–380. doi:10.1016/j.top.2004.11.002. ISSN 0040-9383. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0040938304000849.
↑ Lurie, Jacob. Higher Topos Theory (PDF). MIT. σελ. 4.
↑ «Eilenberg-Mac Lane space - nLab».
1 2 «CAT in nLab». ncatlab.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 13 Σεπτεμβρίου 2025.
↑ «natural transformation in nLab». ncatlab.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 12 Σεπτεμβρίου 2025.
↑ Baez & Dolan 1998, σελ. 6
↑ «Πανεπιστήμιο Κρήτης — Τμήμα Μαθηματικών -Θεωρία Ομοτυπίας» (PDF).
↑ «Nonabelian Algebraic Topology: groupoids.org.uk» (PDF).
↑ «quasi-category in nLab». ncatlab.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 13 Σεπτεμβρίου 2025.
↑ «Jacob Lurie - Scholars | Institute for Advanced Study». www.ias.edu (στα Αγγλικά). 9 Δεκεμβρίου 2019. Ανακτήθηκε στις 13 Σεπτεμβρίου 2025.
↑ «simplicially enriched category in nLab». ncatlab.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 13 Σεπτεμβρίου 2025.
↑ Hirschowitz, André; Simpson, Carlos (2001). «Descente pour les n-champs (Descent for n-stacks)».
arXiv:math/9807049
.
↑ Simpson, Carlos (20 Οκτωβρίου 2011). Homotopy Theory of Higher Categories: From Segal Categories to n-Categories and Beyond. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-50219-1.

Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
Munkres, James R. (1993). Elements of Algebraic Topology. New York: Westview Press. ISBN 0-201-62728-0.
Artin, Michael· Alexandre Grothendieck· Jean-Louis Verdier, επιμ. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1. Lecture notes in mathematics (στα Γαλλικά). 269. Berlin; New York: Springer-Verlag. xix+525. doi:10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-05896-0.
Giraud, Jean (1964), «Analysis situs», Séminaire Bourbaki, 1962/63. Fasc. 3,, Paris: Secrétariat mathématique, http://www.numdam.org/item?id=SB_1962-1964__8__189_0
Pedicchio, Maria Cristina· Tholen, Walter, επιμ. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
Pedicchio, Maria Cristina· Tholen, Walter, επιμ. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
Riehl, Emily (2016). Category Theory in Context (PDF). Dover Publications. ISBN 978-0-486-80903-8. OCLC 1006743127.
Riguet, Jacques; Guitart, Rene (1992). «Enveloppe Karoubienne et categorie de Kleisli». Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques 33 (3): 261–6.
MR 1186950
. http://www.numdam.org/item/CTGDC_1992__33_3_261_0.
Boyarchenko, Mitya; Drinfeld, Vladimir (2013). «A duality formalism in the spirit of Grothendieck and Verdier». Quantum Topology 4 (4): 447–489. doi:10.4171/QT/45.
star-autonomous category at the nLab
Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (2nd έκδοση). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.
Pedicchio, Maria Cristina· Tholen, Walter, επιμ. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
Theory of Categories. Academic Press. 1 Ιανουαρίου 1965. ISBN 978-0-08-087329-9.
Awodey, Steve (2010), Category theory (2nd έκδοση), Oxford: Oxford University Press, ISBN 9780199237180, OCLC 740446073
Gleason, Andrew M. (1958), «Projective topological spaces», Illinois Journal of Mathematics 2 (4A): 482–489, doi:10.1215/ijm/1255454110
Mac Lane, Saunders (1978), Categories for the Working Mathematician (Second έκδοση), New York, NY: Springer New York, σελ. 114, ISBN 1441931236, OCLC 851741862
Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
Riehl, Emily (2016). Category Theory in Context. Dover Publications, Inc Mineola, New York. ISBN 9780486809038.
Tsalenko, M.S.· Shulgeifer, E.G. (1974). Foundations of category theory. Nauka. ISBN 5-02-014427-4.
Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Epimorphism», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035890
Drozd, Yu. A.; Kirichenko, V.V. (1994), Finite Dimensional Algebras, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Endomorphism ring», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035610
Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2 (2nd έκδοση), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
Passman, Donald S. (1991), A Course in Ring Theory, Pacific Grove: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13776-8, https://books.google.com/books?id=hQTvAAAAMAAJ&q=endomorphism+ring
Wisbauer, Robert (1991), Foundations of module and ring theory, Algebra, Logic and Applications, 3 (Revised and translated from the 1988 German έκδοση), Philadelphia, PA: Gordon and Breach Science Publishers, σελ. xii+606, ISBN 2-88124-805-5, https://archive.org/details/foundationsofmod0003wisb/page/ A handbook for study and research
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967), «Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie», Publications Mathématiques de l'IHÉS 32: 5–333, doi:10.1007/BF02732123, http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_
Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, σελ. xviii+327, ISBN 978-2-85629-141-2
J. S. Milne (1980), Étale cohomology, Princeton, N.J: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3, https://archive.org/details/etalecohomology00miln
Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf.
Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8.
Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001.
Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11.
Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947

Πηγές

Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0.
Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0.
Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,
Zbl 1103.12002
DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7.
Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,
Zbl 1206.51015
Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho
Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
Zbl 0516.12001
, https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt
Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

[1] «Introduction to Higher Category Theory - Universität Hamburg» (PDF).

[2] «Τοπολογία- Ομοτοπία Κεφ. 10 σελίδα 262 - Σπύρου Καπελλίδη mathematica.gr» (PDF).

[3] Longoni, Riccardo; Salvatore, Paolo (2005-03-01). «Configuration spaces are not homotopy invariant». Topology 44 (2): 375–380. doi:10.1016/j.top.2004.11.002. ISSN 0040-9383. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0040938304000849.

[4] Lurie, Jacob. Higher Topos Theory (PDF). MIT. σελ. 4.

[5] «Eilenberg-Mac Lane space - nLab».

[:0-6] 1 2 «CAT in nLab». ncatlab.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 13 Σεπτεμβρίου 2025.

[7] «natural transformation in nLab». ncatlab.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 12 Σεπτεμβρίου 2025.

[8] Baez & Dolan 1998, σελ. 6

[9] «Πανεπιστήμιο Κρήτης — Τμήμα Μαθηματικών -Θεωρία Ομοτυπίας» (PDF).

[10] «Nonabelian Algebraic Topology: groupoids.org.uk» (PDF).

[11] «quasi-category in nLab». ncatlab.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 13 Σεπτεμβρίου 2025.

[12] «Jacob Lurie - Scholars | Institute for Advanced Study». www.ias.edu (στα Αγγλικά). 9 Δεκεμβρίου 2019. Ανακτήθηκε στις 13 Σεπτεμβρίου 2025.

[13] «simplicially enriched category in nLab». ncatlab.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 13 Σεπτεμβρίου 2025.

[14] Hirschowitz, André; Simpson, Carlos (2001). «Descente pour les n-champs (Descent for n-stacks)».
arXiv:math/9807049
.

[15] Simpson, Carlos (20 Οκτωβρίου 2011). Homotopy Theory of Higher Categories: From Segal Categories to n-Categories and Beyond. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-50219-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]