Θεωρία Κούμερ

Στην αφηρημένη άλγεβρα και τη θεωρία αριθμών, η θεωρία Κούμερ παρέχει μια περιγραφή ορισμένων τύπων επεκτάσεων σωμάτων που περιλαμβάνουν την πρόσθεση των n-th ριζών των στοιχείων του βασικού σώματος. Η θεωρία αναπτύχθηκε αρχικά από τον Έρνστ Έντουαρντ Κούμερ γύρω στη δεκαετία του 1840 στο πρωτοποριακό έργο του για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Οι βασικές προτάσεις δεν εξαρτώνται από τη φύση του σώματος - εκτός από τη χαρακτηριστική του, η οποία δεν πρέπει να διαιρεί τον ακέραιο n - και επομένως ανήκουν στην αφηρημένη άλγεβρα. Η θεωρία των κυκλικών επεκτάσεων του σώματος K όταν η χαρακτηριστική του K διαιρεί το n ονομάζεται θεωρία Αρτίν-Σράιερ.

Η θεωρία Κούμερ είναι βασική, όπως λόγου χάριν, στη Θεωρία κλάσεων σωμάτων και γενικότερα στην κατανόηση των αβελιανών επεκτάσεων- δηλώνει ότι με την παρουσία αρκετών ριζών της ενότητας, οι κυκλικές επεκτάσεις μπορούν να κατανοηθούν με όρους εξαγωγής ριζών. Το κύριο βάρος στη θεωρία κλάσεων σωμάτων είναι να απαλλαγούμε από τις επιπλέον ρίζες της ενότητας ("κατεβαίνοντας" πίσω σε μικρότερα σώματα)- κάτι που είναι κάτι πολύ πιο σοβαρό.

Επεκτάσεις Κούμερ

Μια Επεκτάση Κούμερ είναι μια επέκταση του σώματος L/K, όπου για κάποιο δεδομένο ακέραιο n > 1 έχουμε

• Το K περιέχει n διαφορετικές nth ρίζες της μονάδας (δηλαδή, ρίζες του Xⁿ − 1)
• Το L/K έχει αβελιανή ομάδα Γκαλουά εκθέτη n.

Παραδείγματος χάριν, όταν n = 2, η πρώτη συνθήκη είναι πάντα αληθής αν το K έχει χαρακτηριστική ≠ 2. Οι επεκτάσεις Κούμερ σε αυτή την περίπτωση περιλαμβάνουν τετραγωνικές επεκτάσεις $L=K({\sqrt {a}})$ όπου a στο K είναι ένα μη τετραγωνικό στοιχείο. Με τη συνήθη λύση τετραγωνικών εξισώσεων, κάθε επέκταση βαθμού 2 του K έχει αυτή τη μορφή. Οι επεκτάσεις Κούμερ σε αυτή την περίπτωση περιλαμβάνουν επίσης τις δι-τετραγωνικές επεκτάσεις και τις γενικότερες πολυ-τετραγωνικές επεκτάσεις. Όταν η K έχει χαρακτηριστική 2, δεν υπάρχουν τέτοιες προεκτάσεις Κούμερ.

Θεωρώντας n = 3 δεν υπάρχουν επεκτάσεις Κούμερ 3ου βαθμού του σώματος ρητών αριθμών Q, αφού για τις τρεις κυβικές ρίζες του 1 απαιτούνται μιγαδικοί αριθμοί. Αν θεωρήσουμε ότι το L είναι το σώμα διασπάσεως του X³ - a πάνω από το Q, όπου το α δεν είναι κύβος στους ρητούς αριθμούς, τότε το L περιέχει ένα υποσώμα K με τρεις κυβικές ρίζες του 1. Αυτό συμβαίνει επειδή αν τα α και β είναι ρίζες του κυβικού πολυωνύμου, θα έχουμε (α/β)³ =1 και το κυβικό είναι διαχωρίσιμο πολυώνυμο. Τότε το L/K είναι μια επέκταση Κούμερ.

Γενικότερα, ισχύει ότι όταν το K περιέχει n διαφορετικές n-th ρίζες μονάδας, πράγμα που σημαίνει ότι η χαρακτηριστική του K δεν διαιρεί το n, τότε η προσάρτηση στο K της n-th ρίζας οποιουδήποτε στοιχείου a του K δημιουργεί μια επέκταση Κούμερ (βαθμού m, για κάποιο m που διαιρεί το n). Ως σώμα διασπάσεως του πολυωνύμου Xⁿ − a η επέκταση Κούμερ είναι αναγκαστικά Γκαλουά, με ομάδα Γκαλουά που είναι κυκλική τάξεως m. Είναι εύκολο να εντοπίσουμε τη δράση Γκαλουά μέσω της ρίζας της μονάδας μπροστά από το ${\sqrt[{n}]{a}}.$

Η θεωρία Κούμερ παρέχει αντίστροφες δηλώσεις. Όταν το K περιέχει n διαφορετικές n-th ρίζες μονάδας, δηλώνει ότι κάθε αβελιανή επέκταση του K με εκθέτη που διαιρεί το n σχηματίζεται από την εξαγωγή των ριζών των στοιχείων του K. Επιπλέον, αν το K^× συμβολίζει την πολλαπλασιαστική ομάδα των μη μηδενικών στοιχείων του K, οι αβελιανές επεκτάσεις του K με εκθέτη n αντιστοιχούν διαιρετικά με υποομάδες του

$K^{\times }/(K^{\times })^{n},$

δηλαδή, στοιχεία του K^× modulo nth δυνάμεις. Η αντιστοιχία μπορεί να περιγραφεί ρητά ως εξής. Δεδομένης μιας υποομάδας

$\Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n},$

η αντίστοιχη επέκταση δίνεται από τη σχέση

$K\left(\Delta ^{\frac {1}{n}}\right),$

όπου

$\Delta ^{\frac {1}{n}}=\left\{{\sqrt[{n}]{a}}:a\in K^{\times },a\cdot \left(K^{\times }\right)^{n}\in \Delta \right\}.$

Στην πραγματικότητα, αρκεί να προστεθεί η n ρίζα ενός αντιπροσώπου κάθε στοιχείου οποιουδήποτε συνόλου γεννητριών της ομάδας Δ. Αντίστροφα, αν η L είναι επέκταση Κούμερ της K, τότε η Δ ανακτάται από τον κανόνα

$\Delta =\left(K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}\right)/(K^{\times })^{n}.$

Στην περίπτωση αυτή υπάρχει ισομορφισμός

$\Delta \cong \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})$

δίνεται από

$a\mapsto \left(\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}\right),$

όπου α είναι οποιαδήποτε n-η ρίζα του a στο L. Εδώ $\mu _{n}$ συμβολίζει την πολλαπλασιαστική ομάδα των nth ριζών της μονάδας (που ανήκουν στο K) και $\operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})$ είναι η ομάδα των συνεχών ομομορφισμών από το $\operatorname {Gal} (L/K)$ εξοπλισμένο με τοπολογία Κρουλ στο $\mu _{n}$ με διακριτή τοπολογία (με λειτουργία ομάδας που δίνεται από τον σημειακό πολλαπλασιασμό). Αυτή η ομάδα (με διακριτή τοπολογία) μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως δυαδικότητα Ποντριάγκιν (Pontryagin) της $\operatorname {Gal} (L/K)$, υποθέτοντας ότι θεωρούμε την $\mu _{n}$ ως υποομάδα της ομάδας κύκλου. Αν η επέκταση L/K είναι πεπερασμένη, τότε η $\operatorname {Gal} (L/K)$ είναι μια πεπερασμένη διακριτή ομάδα και έχουμε

$\Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})\cong \operatorname {Gal} (L/K),$

ωστόσο ο τελευταίος ισομορφισμός δεν είναι φυσικός.

Ανάκτηση a^1/n από ένα πρωταρχικό στοιχείο

Για $p$ πρώτο, έστω $K$ ένα σώμα που περιέχει $\zeta _{p}$ και $K(\beta )/K$ βαθμό $p$ επέκταση Γκαλουά. Ας σημειωθεί ότι η ομάδα Γκαλουά είναι κυκλική και παράγεται από το $\sigma$. Έστω

$\alpha =\sum _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{l}\sigma ^{l}(\beta )\in K(\beta )$

Τότε

$\zeta _{p}\sigma (\alpha )=\sum _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{l+1}\sigma ^{l+1}(\beta )=\alpha .$

Δεδομένου ότι $\alpha \neq \sigma (\alpha ),K(\alpha )=K(\beta )$ κσι

$\alpha ^{p}=\pm \prod _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{-l}\alpha =\pm \prod _{l=0}^{p-1}\sigma ^{l}(\alpha )=\pm N_{K(\beta )/K}(\alpha )\in K$,

όπου το πρόσημο $\pm$ είναι $+$ αν το $p$ είναι μονό και $-$ αν $p=2$.

Όταν το $L/K$ είναι μια αβελιανή επέκταση βαθμού $n=\prod _{j=1}^{m}p_{j}$ χωρίς τετράγωνα έτσι ώστε $\zeta _{n}\in K$, να εφαρμοστεί το ίδιο επιχείρημα στα υποσώματα $K(\beta _{j})/K$ Γκαλουά βαθμού $p_{j}$ για να προκύψει

$L=K\left(a_{1}^{1/p_{1}},\ldots ,a_{m}^{1/p_{m}}\right)=K\left(A^{1/p_{1}},\ldots ,A^{1/p_{m}}\right)=K\left(A^{1/n}\right)$

όπου

$A=\prod _{j=1}^{m}a_{j}^{n/p_{j}}\in K$.

Απεικόνιση Κούμερ

Ένα από τα κύρια εργαλεία της θεωρίας Κούμερ είναι η Απεικόνιση Κούμερ. Έστω $m$ ένας θετικός ακέραιος αριθμός και έστω $K$ ένα σώμα, το οποίο δεν περιέχει απαραίτητα τις $m$th ρίζες της ενότητας. Έχοντας ως ${\overline {K}}$ την αλγεβρική κλειστότητα του$K$, πάρχει μια σύντομη ακριβής ακολουθία

$0\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }[m]\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {z\mapsto z^{m}} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {} 0$

Επιλέγοντας μια επέκταση $L/K$ και παίρνοντας την $\mathrm {Gal} ({\overline {K}}/L)$-συνομολογία παίρνουμε την ακολουθία

$0\xrightarrow {} L^{\times }/(L^{\times })^{m}\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[m]\right)\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)[m]\xrightarrow {} 0$

Σύμφωνα με το θεώρημα 90 του Χίλμπερτ $H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)=0$, και επομένως έχουμε έναν ισομορφισμό $\delta :L^{\times }/\left(L^{\times }\right)^{m}\xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[m]\right)$. Αυτό είναι η απεικόνιση Κούμερ. Μια εκδοχή αυτής της απεικόνισης υπάρχει επίσης όταν όλα τα $m$ εξετάζονται ταυτόχρονα. Συγκεκριμένα, αφού $L^{\times }/(L^{\times })^{m}=L^{\times }\otimes m^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z}$, παίρνοντας το άμεσο όριο πάνω από $m$ προκύπτει ένας ισομορφισμός

$\delta :L^{\times }\otimes \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}_{tors}\right)$,

όπου tors δηλώνει την υποομάδα στρέψης των ριζών της μονάδας.

Για ελλειπτικές καμπύλες

Η θεωρία Κούμερ χρησιμοποιείται συχνά στο πλαίσιο των ελλειπτικών καμπυλών. Έστω $E/K$ μια ελλειπτική καμπύλη. Υπάρχει μια σύντομη ακριβής ακολουθία

$0\xrightarrow {} E[m]\xrightarrow {} E\xrightarrow {P\mapsto m\cdot P} E\xrightarrow {} 0$,

όπου η απεικόνιση του πολλαπλασιασμού με $m$ είναι επιφανειακή, αφού η $E$ είναι διαιρετή. Επιλέγοντας μια αλγεβρική επέκταση $L/K$ και παίρνοντας τη συνομολογία, λαμβάνουμε την ακολουθία Κούμερ για την $E$:

$0\xrightarrow {} E(L)/mE(L)\xrightarrow {} H^{1}(L,E[m])\xrightarrow {} H^{1}(L,E)[m]\xrightarrow {} 0$.

Ο υπολογισμός της ασθενούς ομάδας Μόρντελ-Βάιλ $E(L)/mE(L)$ αποτελεί βασικό μέρος της απόδειξης του θεωρήματος Μόρντελ-Βάιλ. Η μη εξαφάνιση της $H^{1}(L,E)$ προσθέτει μια βασική πολυπλοκότητα στη θεωρία.

Γενικεύσεις

Ας υποθέσουμε ότι η G είναι μια προπεπερασμένη ομάδα που ενεργεί σε ένα module A με έναν ερριπτικό ομομορφισμό π από την ενότητα G-module A προς τον εαυτό της. Ας υποθέσουμε επίσης ότι η G δρα τετριμμένα στον πυρήνα C του π και ότι η πρώτη ομάδα συνομολογίας H¹(G,A) είναι τετριμμένη. Τότε η ακριβής ακολουθία της συνομολογίας ομάδων δείχνει ότι υπάρχει ισομορφισμός μεταξύ A^G/π(A^G) και Hom(G,C).

Η θεωρία Κούμερ είναι η ειδική περίπτωση αυτής όταν Α είναι η πολλαπλασιαστική ομάδα της διαχωρίσιμης κλειστότητας ενός σώματος k, G είναι η ομάδα Γκαλουά, π είναι η n απεικόνιση δύναμης και C η ομάδα των n ριζών μονάδας. Η θεωρία Αρτίν-Σρέιερ είναι η ειδική περίπτωση όταν A είναι η προσθετική ομάδα της διαχωρίσιμης κλειστότητας ενός σώματος k θετικής χαρακτηριστικής p, G είναι η ομάδα Γκαλουά, π είναι η απεικόνιση Φρομπένιους μείον την ταυτότητα και C το πεπερασμένο σώμα τάξης p. Αν θεωρήσουμε ότι A είναι ένας δακτύλιος αποκομμένων διανυσμάτων Witt, προκύπτει η γενίκευση της θεωρίας Αρτίν-Σρέιερ από τον Witt για επεκτάσεις εκθέτη που διαιρεί το pⁿ.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Ομοπαραλληλική γεωμετρία
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Υπερβολική γεωμετρία
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Σώμα διασπάσεως
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση
• Νοεροί υπολογισμοί

Βιβλιογραφία

• Corry, Leo (6 Δεκεμβρίου 2012). Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-7917-0. 
• Reck, Erich H.· Schiemer, Georg (2020). The Prehistory of Mathematical Structuralism. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-064122-1. 
• Chaumine, Jean· Hirschfeld, James William Peter (2008). Algebraic Geometry and Its Applications: Dedicated to Gilles Lachaud on His 60th Birthday : Proceedings of the First SAGA Conference, Papeete, France, 7-11 May 2007. World Scientific. ISBN 978-981-279-342-3. 
• Chemla, Karine· Chorlay, Renaud (2016). The Oxford Handbook of Generality in Mathematics and the Sciences. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-877726-7. 
• Hawkins, Thomas (23 Ιουλίου 2013). The Mathematics of Frobenius in Context: A Journey Through 18th to 20th Century Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4614-6333-7. 
• Bosch, Siegfried (2 Νοεμβρίου 2018). Algebra: From the Viewpoint of Galois Theory. Springer. ISBN 978-3-319-95177-5. 
• Goldstein, Catherine· Schappacher, Norbert (3 Φεβρουαρίου 2007). The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-34720-0. 
• Aberdein, Andrew· Dove, Ian J. (1 Ιουλίου 2013). The Argument of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-007-6534-4. 
• Greither, Cornelius (15 Νοεμβρίου 2006). Cyclic Galois Extensions of Commutative Rings. Springer. ISBN 978-3-540-47539-2. 
• Hazewinkel, Michiel (28 Φεβρουαρίου 1994). Encyclopaedia of Mathematics (set). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-55608-010-4. 

Παραπομπές

• Şaban Alaca, Kenneth S. Williams, Introductory algebraic number theory, Cambridge University Press, 2004.
• Belabas, Karim (1997), «A fast algorithm to compute cubic fields», Mathematics of Computation 66 (219): 1213–1237, doi:10.1090/s0025-5718-97-00846-6 
• Bhargava, Manjul; Shankar, Arul; Tsimerman, Jacob (2013), «On the Davenport–Heilbronn theorem and second order terms», Inventiones Mathematicae 193 (2): 439–499, doi:10.1007/s00222-012-0433-0 
• Cohen, Henri (1993), A Course in Computational Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 138, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-55640-4 
• Cohn, Harvey (1954), «The density of abelian cubic fields», Proceedings of the American Mathematical Society 5 (3): 476–477, doi:10.2307/2031963 
• Davenport, Harold; Heilbronn, Hans (1971), «On the density of discriminants of cubic fields. II», Proceedings of the Royal Society A 322 (1551): 405–420, doi:10.1098/rspa.1971.0075 
• Hasse, Helmut (1930), «Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischer Grundlage», Mathematische Zeitschrift 31 (1): 565–582, doi:10.1007/BF01246435 
• Roberts, David P. (2001), «Density of cubic field discriminants», Mathematics of Computation 70 (236): 1699–1705, doi:10.1090/s0025-5718-00-01291-6 
• Taniguchi, Takashi; Thorne, Frank (2013), «Secondary terms in counting functions for cubic fields», Duke Mathematical Journal 162 (13): 2451–2508, doi:10.1215/00127094-2371752 

• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (Second έκδοση), Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-37889-1, ISBN 978-3-540-37888-4,  
• Rubin, Karl (1991), «The 'main conjectures' of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields», Inventiones Mathematicae 103 (1): 25–68, doi:10.1007/BF01239508, ISSN 0020-9910,  
• Skinner, Chris; Urban, Éric (2010), The Iwasawa main conjectures for GL₂, σελ. 219, http://www.math.columbia.edu/%7Eurban/eurp/MC.pdf 
• Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to cyclotomic fields, Graduate Texts in Mathematics, 83 (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4, https://books.google.com/books?isbn=0-387-94762-0 
• Wiles, Andrew (1990), «The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields», Annals of Mathematics 131 (3): 493–540, doi:10.2307/1971468,  
• Rotman, Joseph (1998). Galois Theory. Universitext (Second έκδοση). Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7. MR 1645586. 
• Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 53. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5. MR 1405612. 
• van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Moderne Algebra (στα German). Berlin: Springer. . English translation (of 2nd revised edition): Modern algebra. New York: Frederick Ungar. 1949.  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)
• Pop, Florian (2001). «(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic» (PDF). 

Πηγές

• Martin, George E. (1998). Geometric Constructions. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98276-0. Zbl 0890.51015. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• Elman, Richard; Lam, T. Y. (1972), «Quadratic forms over formally real fields and pythagorean fields», American Journal of Mathematics 94 (4): 1155–1194, doi:10.2307/2373568, ISSN 0002-9327 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.