Θερμοδυναμικός κύκλος

Θερμοδυναμικός κύκλος ονομάζεται μια ακολουθία πεπερασμένου αριθμού συνδεδεμένων μεταξύ τους θρμοδυναμικών διεργασιών, που περιλαμβάνουν μεταφορά θερμότητας και έργου προς και από ένα θερμοδυναμικό σύστημα με τη μεταβολή καταστατικών μεταβλητών (π.χ. θερμοκρασία, πίεση κ.ά.) του συστήματος, και οι οποίες διεργασίες ως σύνολο επιστρέφουν τελικώς το σύστημα στην αρχική του κατάσταση. Στην πορεία του κύκλου το σύστημα (συνήθως ένα αέριο ή υγρό σώμα) είναι δυνατό να μετατρέψει θερμότητα από μία πηγή σε χρήσιμο έργο και να αποβάλει την παραμένουσα θερμότητα σε μια ψυχρή δεξαμενή, δρώντας ως μία θερμική μηχανή. Αντιστρόφως, ο κύκλος είναι δυνατό να χρησιμοποιήσει έργο ώστε να μεταφέρει θερμότητα από μία ψυχρή πηγή σε μία θερμή δεξαμενή, δρώντας έτσι ως μία αντλία θερμότητας. Εάν σε κάθε σημείο του κύκλου το σύστημα βρίσκεται σε θερμοδυναμική ισορροπία, τότε ο κύκλος είναι αντιστρεπτός. Ανεξαρτήτως όμως της αντιστρεπτότητας ή όχι του κύκλου, η συνολική μεταβολή της εντροπίας του συστήματος είναι μηδέν, καθώς η εντροπία είναι καταστατική συνάρτηση.

Μετά από έναν ολόκληρο κύκλο («κλειστός κύκλος») το σύστημα επιστρέφει στην αρχική θερμοδυναμική κατάστασή του θερμοκρασίας και πιέσεως. Αλλά φυσικά μεγέθη όπως η θερμότητα και το έργο εξαρτώνται από τη διεργασία. Για έναν κύκλο μετά τον οποίο το σύστημα επιστρέφει στην αρχική κατάστασή του, ισχύει ο 1ου νόμου της θερμοδυναμικής:

$\Delta U=E_{in}-E_{out}=0$

Δηλαδή δεν υπάρχει μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ($U$) του συστήματος μετά από έναν κύκλο. Το $E_{in}$ αντιπροσωπεύει τη συνολική προσφορά έργου και θερμότητας στο σύστημα κατά τη διάρκεια του κύκλου, ενώ το $E_{out}$ τη συνολική έξοδο έργου και θερμότητας στην διάρκεια του ίδιου κύκλου. Η επαναληπτική φύση της διεργασίας επιτρέπει τη συνέχισή της, καθιστώντας τον κύκλο μια σημαντική έννοια στη θερμοδυναμική. Οι θερμοδυναμικοί κύκλοι αντιπροσωπεύονται μαθηματικώς ως ημιστατικές διεργασίες στην προτυποποίηση («μοντελοποίηση») της λειτουργίας μιας πραγματικής συσκευής.

Θερμότητα και έργο

Δύο μεγάλες κατηγορίες θερμοδυναμικών κύκλων είναι οι «κύκλοι ισχύος», που αντιστοιχούν στις θερμικές μηχανές, και οι κύκλοι αντλήσεως θερμότητας, που αντιστοιχούν στις ψυκτικές διατάξεις και τις αντλίες θερμότητας. Οι κύκλοι ισχύος μετατρέπουν μέρος της εισροής θερμότητας σε παραγωγή μηχανικού έργου, ενώ οι κύκλοι αντλήσεως θερμότητας μεταφέρουν θερμότητα από ύλη σε χαμηλότερη θερμοκρασία σε ύλη σε υψηλότερη θερμοκρασία, με κατανάλωση μηχανικού έργου. Κύκλοι που αποτελούνται αποκλειστικά από ημιστατικές διεργασίες μπορούν να λειτουργούν ως κύκλοι της μιας ή της άλλης από τις παραπάνω κατηγορίας, ανάλογα με τη φορά (κατεύθυνση) της διεργασίας. Σε ένα διάγραμμα πίεσης-όγκου (PV) ή σε ένα διάγραμμα θερμοκρασίας-εντροπίας οι δεξιόστροφες και οι αριστερόστροφες φορές υποδεικνύουν κύκλους ισχύος και κύκλους αντλήσεως θερμότητας, αντιστοίχως.

Η σχέση με το έργο

Το συνολικό έργοThe net work equals the area inside because it is (a) the Riemann sum of work done on the substance due to expansion, minus (b) the work done to re-compress.

Επειδή η συνολική μεταβολή στα καταστατικά μεγέθη κατά τη διάρκεια ενός θερμοδυναμικού κύκλου είναι μηδέν, ο κύκλος αντιστοιχεί σε έναν κλειστό βρόχο σε ένα διάγραμμα πίεσης-όγκου. Ο κάθετος άξονας ενός διαγράμματος P-V δείχνει την πίεση (P) και ο οριζόντιος άξονας τον όγκο (V). Το εμβαδό που περιέχει ο βρόχος είναι το συνολικό έργο ($W_{net}$) που εκτελεί η όλη διεργασία, δηλαδή ο κύκλος:

${\text{(1)}}\qquad W_{net}=\oint P\ dV$

Το έργο αυτό ισούται με τη συνολική θερμότητα (Q) που μεταφέρεται προς και από το σύστημα:

${\text{(2)}}\qquad W_{net}=Q_{net}=Q_{in}-Q_{out}$

Η Εξίσωση (2) συμφωνεί με τον 1ο νόμο της θερμοδυναμικής. Ακόμη και όταν η εσωτερική ενέργεια μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια του κύκλου, όταν ο κύκλος ολοκληρωθεί η εσωτερική ενέργεια του συστήματος είναι η ίδια με την εσωτερική ενέργειά του όταν ξεκίνησε ο κύκλος.

Εάν η κυκλική διεργασία γίνεται με δεξιόστροφη φορά (εκείνη των δεικτών του ρολογιού) κατά μήκος του βρόχου, τότε το $W_{net}$ θα είναι θετικό: μέρος της ανταλλασσόμενης θερμότητας μετατρέπεται σε έργο και το σύστημα με τον κύκλο αυτόν αντιπροσωπεύει μια θερμική μηχανή. Αν η φορά είναι αριστερόστροφη, τότε το $W_{net}$ θα είναι αρνητικό: το σύστημα θα απαιτεί έργο ώστε να απορροφήσει θερμότητα σε χαμηλότερη θερμοκρασία και να την αποβάλει σε υψηλότερη θερμοκρασία, αντιπροσωπεύοντας μια αντλία θερμότητας.

Μερικές συνηθισμένες θερμοδυναμικές διεργασίες

Οι παρακάτω διεργασίες περιγράφουν συχνά διαφορετικά μέρη (στάδια) ενός θερμοδυναμικού κύκλου:

• Αδιαβατική: Στο στάδιο αυτό δεν μεταφέρεται ενέργεια με τη μορφή θερμότητας ($Q$), δηλαδή $\delta Q=0$. Η μεταφορά ενέργειας γίνεται μόνο με τη μορφή έργου που παράγεται από το σύστημα.
• Ισόθερμη: Η διεργασία λαβαίνει χώρα υπό σταθερή θερμοκρασία, δηλαδή $dT=0$. Η μεταφορά ενέργειας θεωρείται ότι είναι θερμότητα που αφαιρείται από το σύστημα ή έργο που παράγεται από αυτό.
• Ισοβαρής: Στο στάδιο αυτό η πίεση παραμένει σταθερή ($dP=0$). Η μεταφορά ενέργειας θεωρείται ότι είναι θερμότητα που αφαιρείται από το σύστημα ή έργο που παράγεται από αυτό.
• Ισόχωρη: Στο στάδιο αυτό ο όγκος παραμένει σταθερός ($dV=0$). Η μεταφορά ενέργειας θεωρείται ότι είναι θερμότητα που αφαιρείται από το σύστημα, καθώς το έργο που παράγει το σύστημα είναι μηδέν.
• Ισεντροπική: Σε αυτή η εντροπία παραμένει σταθερή ($dS=0$). Αυτό το στάδιο είναι αδιαβατικό (δεν ανταλλάσσεται θερμότητα, ούτε μάζα) και αντιστρεπτό.
• Ισενθαλπική: Σε αυτή τη διεργασία δεν μεταβάλλεται η ενθαλπία ή η ειδική ενθαλπία.
• Πολυτροπική: Σε αυτή ισχύει η σχέση $PV^{n}=$ σταθερά.
• Αντιστρεπτή: Σε αυτή τη διεργασία η συνολική αύξηση της εντροπίας του συστήματος είναι μηδέν: $dS-{\frac {\delta Q}{T}}=0$.

Παράδειγμα: ο κύκλος Otto

Στάδια του θερμοδυναμικού κύκλου

Ο κύκλος Otto είναι παράδειγμα ενός αντιστρεπτού θερμοδυναμικού κύκλου.

• 1→2: Ισεντροπική/αδιαβατική διαστολή: Σταθερή εντροπία (s), μείωση στην πίεση (P), αύξηση στον όγκο (v), μείωση στη θερμοκρασία (T)
• 2→3: Ισόχωρη ψύξη: Σταθερός όγκος (v), μείωση στην πίεση (P), μείωση στην εντροπία(S), μείωση στη θερμοκρασία (T)
• 3→4: Ισεντροπική/αδιαβατική συμπίεση: Σταθερή εντροπία (s), αύξηση στην πίεση (P), μείωση στον όγκο (v), αύξηση στη θερμοκρασία (T)
• 4→1: Ισόχωρη θέρμανση: Σταθερός όγκος (v), αύξηση στην πίεση (P), αύξηση στην εντροπία (S), αύξηση στη θερμοκρασία (T)

Κύκλοι θερμικών μηχανών

Διάγραμμα μιας θερμικής μηχανής

Οι κύκλοι των θερμικών μηχανών ή κύκλοι ισχύος μπορούν να υποδιαιρεθούν σε δύο κατηγορίες: τους ιδανικούς και τους πραγματικούς. Οι πραγματικοί, δηλαδή όσοι συναντώνται σε διατάξεις στον πραγματικό κόσμο, είναι δύσκολο να αναλυθούν, εξαιτίας της παρουσίας φαινομένων που δημιουργούν περιπλοκές (π.χ. η τριβή) και της απουσίας επαρκούς χρονικού διαστήματος για την επικράτηση συνθηκών ισορροπίας. Εξαιτίας αυτού, εκπονούνται πρότυπα μοντέλα (οι ιδανικοί κύκλοι) για σκοπούς αναλύσεως και σχεδιασμού. Τα ιδανικά αυτά πρότυπα επιτρέπουν στους μηχανικούς να μελετούν τις επιδράσεις σημαντικών παραγόντων που κυριαρχούν στον κύκλο, χωρίς να χρειάζεται να απασχολούνται με τις πολύπλοκες λεπτομέρειες που είναι παρούσες σε κάθε πραγματικό θερμοδυναμικό κύκλο.

Οι κύκλοι ισχύος μπορεί επίσης να υποδιαιρεθούν σύμφωνα με τον τύπο της θερμικής μηχανής στον οποίο αντιστοιχούνται. Οι συνηθέστεροι κύκλοι που χρησιμεύουν στη μελέτη των μηχανών εσωτερικής καύσεως είναι ο κύκλος Otto, που αντιστοιχεί στους βενζινοκινητήρες, και ο κύκλος Diesel, που αντιστοιχεί στους πετρελαιοκινητήρες. Κύκλοι που αντιστοιχούν σε μηχανές εξωτερικής καύσεως είναι μεταξύ άλλων ο κύκλος Brayton για τους αεριοστρόβιλους, ο κύκλος Rankine για τους ατμοστρόβιλους, ο κύκλος Stirling και ο κύκλος Ericsson για τους κινητήρες θερμού αέρα.

Κύκλοι αντλήσεως θερμότητας

Οι θερμοδυναμικοί κύκλοι αντλήσεως θερμότητας είναι τα μαθηματικά πρότυπα για οικιακές συσκευές όπως οι αντλίες θερμότητας και τα ψυγεία. Δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ τους, εκτός από το ότι ο σκοπός του ψυγείου είναι να ψύχει έναν μικρό χώρο, ενώ σκοπός της οικιακής αντλίας θερμότητας είναι να θερμαίνει ή να ψύχει το εσωτερικό ενός σπιτιού. Αμφότερες οι διατάξεις λειτουργούν μεταφέροντας θερμότητα από έναν ψυχρό χώρο σε έναν θερμότερο χώρο. Ο συνηθέστερος ψυκτικός κύκλος είναι ο κύκλος συμπιέσεως ατμών, πρότυπο για συστήματα που χρησιμοποιούν ψυκτικά ρευστά που αλλάζουν τη φάση τους κατά τη διάρκεια του κύκλου. Ο κύκλος ψύξεως με απορρόφηση είναι ένας άλλος κύκλος αντλήσεως θερμότητας, ο οποίος απορροφά το ψυκτικό μέσα σε ένα υγρό διάλειμμα αντί να το εξατμίζει. Οι κύκλοι ψύξεως με αέριο περιλαμβάνουν τον αντίστροφο κύκλο Brayton και τον κύκλο Hampson–Linde. Πολλαπλοί κύκλοι συμπιέσεως και διαστολής επιτρέπουν σε ψυκτικά συστήματα να υγροποιούν αέρια.

Η περιγραφή πραγματικών συστημάτων

Οι θερμοδυναμικοί κύκλοι είναι δυνατό να χρησιμεύσουν στη δημιουργία προτύπων (μοντέλων) για πραγματικές διατάξεις και συστήματα, με μία σειρά παραδοχών που ανάγουν το ζήτημα σε μια περισσότερο διαχειρίσιμη μορφή. Π.χ. συσκευές όπως ένας αεριοστρόβιλος ή ένας κινητήρας αεριώθησης (τζετ) μπορούν να προτυποποιηθούν ως ένας κύκλος Brayton. Η πραγματική διάταξη/συσκευή λειτουργεί με βάση μια διαδοχή σταδίων, το καθένα από τα οποία μπορεί να προτυποποιηθεί με τη σειρά του ως μια εξιδανικευμένη θερμοδυναμική διεργασία. Παρά το ότι το κάθε στάδιο εκτελείται από μια περίπλοκη πραγματική διάταξη, η εξιδανικευμένη διεργασία προσεγγίζει την πραγματική συμπεριφορά τους. Εάν προστίθεται ενέργεια στο σύστημα μέσα από άλλο φαινόμενο εκτός από την καύση, τότε μία επιπλέον παραδοχή είναι ότι τα καυσαέρια θα περνούσαν από την έξοδο του κινητήρα σε έναν εναλλάκτη θερμότητας που θα απέδιδε την περισσευόμενη θερμότητα στο περιβάλλον και το αέριο εργασίας θα επαναχρησιμοποιείτο στο στάδιο εισόδου.

Η διαφορά ανάμεσα σε έναν εξιδανικευμένο κύκλο και την πραγματική λειτουργία μπορεί να είναι σημαντική. Τα παρακάτω διαγράμματα παρουσιάζουν τις διαφορές στην παραγωγή έργου που προβλέπει ένας ιδανικός κύκλος Stirling και σε εκείνη που αντιστοιχεί στην πραγματική απόδοαση μιας μηχανής Stirling:

Ιδανικός κύκλος Stirling	Πραγματική απόδοση	Υπέρθεση του πραγματικού με τον ιδανικό κύκλο, που δείχνει τη διαφορά στην παραγωγή έργου.

Με τη συνολική παραγωγή έργου για έναν κύκλο να αντιπροσωπεύεται από το εμβαδό εντός του κύκλου σε ένα διάγραμμα PV, υπάρχει μια σημαντική διαφορά ανάμεσα στο προβλεπόμενο έργο που παράγει ο ιδανικός κύκλος και την πραγματική παραγωγή έργου της αληθινής μηχανής. Οι πραγματικές επιμέρους διεργασίες ή στάδια του κύκλου αποκλίνουν από τα εξιδανικευμένα αντίστοιχά τους, π.χ. η ισόχωρη μεταβολή (διεργασίες 1 και 2) γίνεται στην πραγματικότητα με κάποια μεταβολή του όγκου.

Γνωστοί θερμοδυναμικοί κύκλοι

Στην πράξη, οι απλοί εξιδανικευμένοι θερμοδυναμικοί κύκλοι αποτελούνται συνήθως από 4 θερμοδυναμικές διεργασίες ο καθένας, οι οποίες μπορούν να είναι οποιεσδήποτε. Ωστόσο, κατά την προτυποποίηση εξιδανικευμένων κύκλων, οι επιμέρους διεργασίες είναι συχνά αυτές στις οποίες μία καταστατική μεταβλητή διατηρείται σταθερή, όπως η αδιαβατική (με τη θερμότητα σταθερή), η ισόθερμη (σταθερή θερμοκρασία), η ισοβαρής (σταθερή πίεση), η ισόχωρη (σταθερός όγκος), η ισεντροπική (σταθερή εντροπία) και η ισενθαλπική (σταθερή ενθαλπία). Η σειρά είναι: 1→2 συμπίεση, 2→3 προσθήκη θερμότητας, 3→4 διαστολή και 4→1 αποβολή θερμότητας. Μερικοί γνωστοί θερμοδυναμικοί κύκλοι με αυτές τις διεργασίες-στάδιά τους είναι οι εξής:

• Κύκλος Bell Coleman (αδιαβατική - ισοβαρής - αδιαβατική - ισοβαρής), ένας ανεστραμμένος κύκλος Brayton
• Κύκλος Carnot (ισεντροπική - ισόθερμη - ισεντροπική - ισόθερμη), αντιστοιχεί στη Μηχανή Καρνό
• Κύκλος Ericsson (ισόθερμη - ισοβαρής - ισόθερμη - ισοβαρής)
• Κύκλος Rankine (αδιαβατική - ισοβαρής - αδιαβατική - ισοβαρής), αντιστοιχεί σε ατμομηχανές
• Υγροσκοπικός κύκλος (αδιαβατική - ισοβαρής - αδιαβατική - ισοβαρής)
• Κύκλος Scuderi (αδιαβατική - μεταβαλλόμενη πίεση και όγκος - αδιαβατική - ισόχωρη)
• Κύκλος Stirling (ισόθερμη - ισόχωρη - ισόθερμη - ισόχωρη), αντιστοιχεί στη Μηχανή Στέρλινγκ
• Κύκλος Manson (ισόθερμη - ισόχωρη - ισόθερμη - ισόχωρη και μετά αδιαβατική), αντιστοιχεί στις μηχανές Manson-Guise
• Κύκλος Stoddard (αδιαβατική - ισοβαρής - αδιαβατική - ισοβαρής), αντιστοιχεί στη Μηχανή Stoddard
• Κύκλος Brayton (αδιαβατική - ισοβαρής - αδιαβατική - ισοβαρής) ), αντιστοιχεί σε μηχανές ράμτζετ, τουρμποτζέτ, τουρμποπρόπ και τουρμποσάφτ
• Κύκλος Diesel (αδιαβατική - ισοβαρής - αδιαβατική - ισόχωρη), αντιστοιχεί στη μηχανή Diesel
• Κύκλος Otto (ισεντροπική -ισόχωρη - ισεντροπική -ισόχωρη), αντιστοιχεί στους βενζινοκινητήρες
• Κύκλος Atkinson (ισεντροπική -ισόχωρη - ισεντροπική -ισόχωρη), διαφέρει από τον κύκλο Otto στο ότι V₁ < V₄
• Κύκλος Humphrey (ισεντροπική -ισόχωρη - ισεντροπική - ισοβαρής)
• Κύκλος Lenoir (ταυτόχρονη συμπίεση και απόρριψη θερμότητας - ισόχωρη - αδιαβατική - ισοβαρής), αντιστοιχεί στις παλμικές μηχανές τζετ

Ιδανικός κύκλος

Διάγραμμα ενός ιδανικού κύκλου (η φορά είναι δεξιόστροφη, όπως φαίνεται από τα βέλη)

Ο ιδανικός κύκλος είναι απλός στην ανάλυσή του και αναπαρίσταται από ορθογώνιο παραλληλόγραμμο βρόχο σε ένα διάγραμμα πίεσης-όγκου. Συγκεκριμένα:

1. Η επάνω (A) και η κάτω (C) πλευρά του βρόχου είναι ένα ζεύγος ισοβαρών διεργασιών.
2. Η δεξιά (B) και η αριστερή (D) πλευρά είναι ένα ζεύγος ισόχωρων διεργασιών.

Εάν η ουσία που παράγει το έργο είναι ένα τέλειο αέριο, τότε η εσωτερική ενέργεια $U$ είναι συνάρτηση μόνο της θερμοκρασίας $T$ για ένα κλειστό σύστημα. Συνεπώς οι μεταβολές της $U$ ενός τέλειου αερίου που υφίσταται διάφορες διεργασίες οι οποίες συνδέουν μια αρχική κατάσταση $a$ με μια τελική $b$ δίνονται πάντοτε από τη σχέση

$\Delta U=\int _{a}^{b}C_{v}dT$

Υποθέτοντας ότι η $C_{v}$ είναι σταθερή, $\Delta U=C_{v}\Delta T$ για κάθε διεργασία τέλειου αερίου.

Με αυτές τις παραδοχές, για τις διεργασίες A και C έχουμε $W=p\Delta v$ και $Q=C_{p}\Delta T$, ενώ για τις διεργασίες B και D έχουμε $W=0$ και $Q=\Delta U=C_{v}\Delta T$.

Το συνολικό έργο που παράγεται ανά κύκλο είναι $W_{cycle}=p_{A}(v_{2}-v_{1})+p_{C}(v_{4}-v_{3})=p_{A}(v_{2}-v_{1})+p_{C}(v_{1}-v_{2})=(p_{A}-p_{C})(v_{2}-v_{1})$, που είναι ακριβώς το εμβαδό του ορθογώνιου παραλληλόγραμμου. Η συνολική ροή θερμότητας ανά κύκλο υπολογίζεται ακόμα πιο εύκολα: Καθώς $\Delta U_{cycle}=Q_{cycle}-W_{cycle}=0$, είναι $Q_{cycle}=W_{cycle}$.

Δηλαδή η συνολική ροή θερμότητας ανά κύκλο μπορεί να υπολογισθεί χωρίς να είναι γνωστές οι θερμοχωρητικότητες και οι μεταβολές θερμοκρασίας για το κάθε βήμα (πάντως αυτά τα δεδομένα θα απαιτούνταν προκειμένου να βρούμε τη θερμοδυναμική απόδοση του κύκλου).

Καταστατικές εξισώσεις και εντροπία

Εάν Z είναι μια καταστατική συνάρτηση, τότε η ισορροπία της Z παραμένει αμετάβλητη κατά τη διάρκεια μιας κυκλικής διεργασίας:

$\oint dZ=0$.

Η εντροπία είναι μια τέτοια καταστατική συνάρτηση και ορίζεται με απόλυτο τρόπο με τον 3ο νόμο της θερμοδυναμικής ως

$S=\int _{0}^{T}{dQ_{rev} \over T}$,

όπου μια αντιστρεπτή διεργασία επιλέγεται από το απόλυτο μηδέν έως την τελική κατάσταση, έτσι ώστε για μια ισόθερμη αντιστρεπτή διεργασία

$\Delta S={Q_{rev} \over T}$.

Γενικότερα, για οποιονδήποτε θερμοδυναμικό κύκλο τα σημεία της κάθε καταστάσεως του συστήματος μπορούν να συνδεθούν μεταξύ τους με αντιστρεπτες διαδρομές, έτσι ώστε

$\oint dS=\oint {dQ_{rev} \over T}=0$.

Αυτό σημαίνει ότι η συνολική μεταβολή της εντροπίας του ρευστού εργασίας σε έναν ολόκληρο κύκλο είναι μηδέν.

Δείτε επίσης

• Εντροπία
• Εναλλάκτης θερμότητας

Βιβλιογραφία

• Çengel, Yunus A., and Michael A. Boles. Thermodynamics: An Engineering Approach, 7η έκδ., McGraw-Hill, Νέα Υόρκη 2011
• Hill και Peterson: Mechanics and Thermodynamics of Propulsion, 2η έκδ., Prentice Hall, 1991