Θεμελιώδης ομάδα

Ο Ανρί Πουανκαρέ όρισε τη θεμελιώδη ομάδα το 1895 στην εργασία του «Analysis situs». Η έννοια προέκυψε στη θεωρία των επιφανειών Ρίμαν, στο έργο του Μπέρναρντ Ρίμαν, του Πουανκαρέ και του Φέλιξ Κλάιν. Περιγράφει τις ιδιότητες μονοδρομίας των μιγαδικών συναρτήσεων, καθώς και την παροχή μιας πλήρους τοπολογικής ταξινόμησης των κλειστών επιφανειών.

Ορισμός

Σε όλο αυτό το άρθρο, το X είναι ένας τοπολογικός χώρος. Ένα τυπικό παράδειγμα είναι μια επιφάνεια όπως αυτή που απεικονίζεται στα δεξιά. Επιπλέον, το $x_{0}$ είναι ένα σημείο στο X που ονομάζεται σημείο βάσης. (Όπως εξηγείται παρακάτω, ο ρόλος του είναι μάλλον βοηθητικός.) Η ιδέα του ορισμού της ομάδας ομοτοπίας είναι να μετρήσουμε πόσες (σε γενικές γραμμές) καμπύλες στον Χ μπορούν να παραμορφωθούν η μία στην άλλη. Ο ακριβής ορισμός εξαρτάται από την έννοια της ομοτοπίας των βρόχων, η οποία εξηγείται πρώτα.

Ομοτοπία βρόχων

Δεδομένου ενός τοπολογικού χώρου X, ένας βρόχος με βάση το $x_{0}$ ορίζεται ως μια συνεχής συνάρτηση (επίσης γνωστή ως συνεχής χάρτης)

$\gamma \colon [0,1]\to X$

έτσι ώστε το αρχικό σημείο $\gamma (0)$ και το τελικό σημείο $\gamma (1)$ να είναι και τα δύο ίσα με $x_{0}$.

Ομοτοπία βρόχων

Μια ομοτοπία είναι μια συνεχής παρεμβολή μεταξύ δύο βρόχων. Πιο συγκεκριμένα, μια ομοτοπία μεταξύ δύο βρόχων $\gamma ,\gamma '\colon [0,1]\to X$ (με βάση το ίδιο σημείο $x_{0}$) είναι ένας συνεχής χάρτης

$h\colon [0,1]\times [0,1]\to X,$

έτσι ώστε

• $h(0,t)=x_{0}$ για όλα τα $t\in [0,1],$ δηλαδή, το σημείο εκκίνησης της ομοτοπίας είναι $x_{0}$ για όλα τα t (το οποίο συχνά θεωρείται ως παράμετρος του χρόνου).
• $h(1,t)=x_{0}$ για όλα τα $t\in [0,1],$ δηλαδή, ομοίως το τελικό σημείο παραμένει στο $x_{0}$ για όλα τα t.
• $h(r,0)=\gamma (r),\,h(r,1)=\gamma '(r)$ για όλα τα $r\in [0,1]$.

Εάν υπάρχει μια τέτοια ομοτοπία h, τα $\gamma$ και $\gamma '$ λέγεται ότι είναι ομοτοπικά. Η σχέση $\gamma$ είναι ομοτοπική με την $\gamma '$ είναι μια σχέση ισοδυναμίας, έτσι ώστε να μπορεί να θεωρηθεί το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας:

$\pi _{1}(X,x_{0}):=\{{\text{all loops }}\gamma {\text{ based at }}x_{0}\}/{\text{homotopy}}$.

Το σύνολο αυτό (με τη δομή της ομάδας που περιγράφεται παρακάτω) ονομάζεται θεμελιώδης ομάδα του τοπολογικού χώρου Χ στο σημείο βάσης $x_{0}$. Ο σκοπός της εξέτασης των κλάσεων ισοδυναμίας των βρόχων μέχρι ομοτοπίας, σε αντίθεση με το σύνολο όλων των βρόχων (τον λεγόμενο χώρο βρόχων του X) είναι ότι ο τελευταίος, ενώ είναι χρήσιμος για διάφορους σκοπούς, είναι ένα μάλλον μεγάλο και δύσχρηστο αντικείμενο. Αντίθετα το παραπάνω πηλίκο είναι, σε πολλές περιπτώσεις, πιο εύχρηστο και υπολογίσιμο.

Δομή της ομάδας

Πρόσθεση βρόχων

Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, $\pi _{1}(X,x_{0})$ είναι απλώς ένα σύνολο. Γίνεται ομάδα (και επομένως αξίζει το όνομα θεμελιώδης ομάδα) χρησιμοποιώντας τη συνένωση βρόχων. Πιο συγκεκριμένα, δεδομένων δύο βρόχων $\gamma _{0},\gamma _{1}$, το γινόμενό τους ορίζεται ως ο βρόχος

$\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}\colon [0,1]\to X$

$(\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})(t)={\begin{cases}\gamma _{0}(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\\gamma _{1}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1.\end{cases}}$

Έτσι, ο βρόχος $\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}$ ακολουθεί πρώτα τον βρόχο $\gamma _{0}$ με «διπλάσια ταχύτητα» και στη συνέχεια ακολουθεί τον βρόχο $\gamma _{1}$ με «διπλάσια ταχύτητα».

Το γινόμενο δύο κλάσεων ομοτοπίας βρόχων $[\gamma _{0}]$ και $[\gamma _{1}]$ ορίζεται τότε ως $[\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}]$. Μπορεί να αποδειχθεί ότι αυτό το γινόμενο δεν εξαρτάται από την επιλογή των αντιπροσώπων και επομένως δίνει μια καλά ορισμένη πράξη στο σύνολο $\pi _{1}(X,x_{0})$. Η πράξη αυτή μετατρέπει το $\pi _{1}(X,x_{0})$ σε ομάδα. Το ουδέτερο στοιχείο της είναι ο σταθερός βρόχος, ο οποίος παραμένει στο $x_{0}$ για όλες τις χρονικές στιγμές t. Το αντίστροφο ενός βρόχου (κλάση ομοτοπίας ενός βρόχου) είναι ο ίδιος βρόχος, αλλά διανύεται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Πιο επίσημα,

$\gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t)$.

Δεδομένου τριών βασισμένων βρόχων $\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},$ το γινόμενο

$(\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})\cdot \gamma _{2}$

είναι η συνένωση αυτών των βρόχων, διατρέχοντας το $\gamma _{0}$ και στη συνέχεια το $\gamma _{1}$ με τετραπλάσια ταχύτητα, και στη συνέχεια το $\gamma _{2}$ με διπλάσια ταχύτητα. Συγκριτικά,

$\gamma _{0}\cdot (\gamma _{1}\cdot \gamma _{2})$

διασχίζει τις ίδιες διαδρομές (με την ίδια σειρά), αλλά $\gamma _{0}$ με διπλάσια ταχύτητα και $\gamma _{1},\gamma _{2}$ με τετραπλάσια ταχύτητα. Έτσι, λόγω των διαφορετικών ταχυτήτων, οι δύο διαδρομές δεν είναι ταυτόσημες. Το αξίωμα συσχετισμού

$[\gamma _{0}]\cdot \left([\gamma _{1}]\cdot [\gamma _{2}]\right)=\left([\gamma _{0}]\cdot [\gamma _{1}]\right)\cdot [\gamma _{2}]$

εξαρτάται επομένως καθοριστικά από το γεγονός ότι τα μονοπάτια εξετάζονται μέχρι την ομοτοπία. Πράγματι, και οι δύο παραπάνω συνθέσεις είναι ομοτοπικές, για παράδειγμα, στο βρόχο που διασχίζει και τους τρεις βρόχους $\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2}$ με τριπλή ταχύτητα. Το σύνολο των βασισμένων βρόχων μέχρι την ομοτοπία, εφοδιασμένο με την παραπάνω πράξη, επομένως, μετατρέπει το $\pi _{1}(X,x_{0})$ σε ομάδα.

Ένας αστρικός τομέας είναι απλά συνδεδεμένος, αφού κάθε βρόχος μπορεί να συρρικνωθεί στο κέντρο του τομέα, που συμβολίζεται με $x_{0}$.

Εξάρτηση του σημείου βάσης

Αν και η θεμελιώδης ομάδα γενικά εξαρτάται από την επιλογή του σημείου βάσης, αποδεικνύεται ότι, μέχρι τον ισομορφισμό (στην πραγματικότητα, ακόμη και μέχρι τον εσωτερικό ισομορφισμό)), η επιλογή αυτή δεν κάνει καμία διαφορά εφόσον ο χώρος X είναι συνδεδεμένος με μονοπάτια. Για χώρους συνδεδεμένους με μονοπάτια, επομένως, πολλοί συγγραφείς γράφουν $\pi _{1}(X)$ αντί για $\pi _{1}(X,x_{0}).$

Συγκεκριμένα παραδείγματα

Στην ενότητα αυτή παρατίθενται ορισμένα βασικά παραδείγματα θεμελιωδών ομάδων. Αρχικά, στον Ευκλείδειο χώρο ($\mathbb {R} ^{n}$) ή σε οποιοδήποτε κυρτό υποσύνολο του $\mathbb {R} ^{n},$ υπάρχει μόνο μία κλάση ομοτοπίας βρόχων, και η θεμελιώδης ομάδα είναι επομένως η τετριμμένη ομάδα με ένα στοιχείο. Γενικότερα, κάθε αστρική περιοχή - και ακόμα πιο γενικά, κάθε συρρικνούμενος χώρος - έχει μια τετριμμένη θεμελιώδη ομάδα. Συνεπώς, η θεμελιώδης ομάδα δεν κάνει διάκριση μεταξύ τέτοιων χώρων.

Η 2-σφαίρα

Ένας βρόχος σε μια 2-σφαίρα (η επιφάνεια μιας σφαίρας) που συστέλλεται σε ένα σημείο

Ένας χώρος που συνδέεται με μονοπάτια και του οποίου η θεμελιώδης ομάδα είναι τετριμμένη είναι απλά συνδεδεμένος. Επί παραδείγματι, η 2-σφαίρα $S^{2}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$ που απεικονίζεται στα δεξιά, καθώς επίσης και όλες οι σφαίρες υψηλότερων διαστάσεων, είναι απλά συνδεδεμένες. Το σχήμα απεικονίζει μια ομοτοπία που συστέλλει έναν συγκεκριμένο βρόχο στον σταθερό βρόχο. Αυτή η ιδέα μπορεί να προσαρμοστεί σε όλους τους βρόχους $\gamma$ έτσι ώστε να υπάρχει ένα σημείο $(x,y,z)\in S^{2}$ που δεν βρίσκεται στην εικόνα του $\gamma .$ Ωστόσο, δεδομένου ότι υπάρχουν βρόχοι τέτοιοι ώστε $\gamma ([0,1])=S^{2}$ (κατασκευασμένοι από την καμπύλη Πέανο, για παράδειγμα), μια πλήρης απόδειξη απαιτεί πιο προσεκτική ανάλυση με εργαλεία από την αλγεβρική τοπολογία, όπως το θεώρημα Σίφερτ-βαν Κάμπεν ή το θεώρημα της κυψελοειδούς προσέγγισης.

Ο κύκλος

Στοιχεία της ομάδας ομοτοπίας του κύκλου

Ο κύκλος (επίσης γνωστός ως 1-σφαίρα)

$S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}$

δεν είναι απλά συνδεδεμένο. Αντίθετα, κάθε κλάση ομοτοπίας αποτελείται από όλους τους βρόχους που περιελίσσονται γύρω από τον κύκλο έναν δεδομένο αριθμό φορών (ο οποίος μπορεί να είναι θετικός ή αρνητικός, ανάλογα με την κατεύθυνση της περιέλιξης). Το γινόμενο ενός βρόχου που περιελίσσεται γύρω από m φορές και ενός άλλου που περιελίσσεται γύρω από n φορές είναι ένας βρόχος που περιελίσσεται γύρω από m + n φορές. Επομένως, η θεμελιώδης ομάδα του κύκλου είναι ισομορφική με την $(\mathbb {Z} ,+),$ την προσθετική ομάδα των ακεραίων. Το γεγονός αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δώσει αποδείξεις του θεωρήματος σταθερού σημείου του Μπρούβερ και του θεωρήματος Μπόρσουκ-Ούλαμ στη διάσταση 2.

Το σχήμα οκτώ

Η θεμελιώδης ομάδα του σχήματος οκτώ είναι η ελεύθερη ομάδα με δύο γεννήτριες a και b.

Η θεμελιώδης ομάδα του Ρόδου (τοπολογία) είναι η ελεύθερη ομάδα σε δύο γράμματα. Η ιδέα για να το αποδείξουμε αυτό είναι η εξής: επιλέγοντας ως βασικό σημείο το σημείο όπου συναντώνται οι δύο κύκλοι (με μαύρη διαγράμμιση στην εικόνα δεξιά), κάθε βρόχος $\gamma$ μπορεί να αναλυθεί ως εξής

$\gamma =a^{n_{1}}b^{m_{1}}\cdots a^{n_{k}}b^{m_{k}}$

όπου a και b είναι οι δύο βρόχοι που περιελίσσονται γύρω από κάθε μισό του σχήματος όπως απεικονίζεται, και οι εκθέτες $n_{1},\dots ,n_{k},m_{1},\dots ,m_{k}$ είναι ακέραιοι αριθμοί. Σε αντίθεση με την $\pi _{1}(S^{1}),$ η θεμελιώδης ομάδα του σχήματος οκτώ δεν είναι μη αβελιανή: οι δύο τρόποι σύνθεσης των a και b δεν είναι ομότοποι μεταξύ τους:

$[a]\cdot [b]\neq [b]\cdot [a].$

Γενικότερα, η θεμελιώδης ομάδα ενός ρόδου (τοπολογία) (μπουκέτο από r κύκλους) είναι η ελεύθερη ομάδα στα r γράμματα.

Η θεμελιώδης ομάδα ενός σφηνοειδούς αθροίσματος δύο συνδεδεμένων χώρων X και Y μπορεί να υπολογιστεί ως το ελεύθερο γινόμενο των επιμέρους θεμελιωδών ομάδων:

$\pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).$

Αυτό γενικεύει τις παραπάνω παρατηρήσεις, αφού το σχήμα οκτώ είναι το άθροισμα δύο κύκλων.

Η θεμελιώδης ομάδα του επιπέδου με διάτρηση σε n σημεία είναι επίσης η ελεύθερη ομάδα με n γεννήτριες. Η i-η γεννήτρια είναι η κλάση του βρόχου που περνάει γύρω από το i-οστό τρυπητό χωρίς να περνάει γύρω από άλλα τρυπήματα.

Γραφήματα

Η θεμελιώδης ομάδα μπορεί να οριστεί και για διακριτές δομές. Ειδικότερα, ας θεωρήσουμε ένα συνδεδεμένο γράφημα G = (V, E) με μια καθορισμένη κορυφή v₀ στο V. Οι βρόχοι στο G είναι οι κύκλοι που ξεκινούν και τελειώνουν στο v₀. Έστω T ένα δένδρο που εκτείνεται στο G. Κάθε απλός βρόχος στο G περιέχει ακριβώς μια ακμή στο E \ T- κάθε βρόχος στο G είναι μια συνένωση τέτοιων απλών βρόχων. Επομένως, η θεμελιώδης ομάδα ενός γραφήματος είναι μια ελεύθερη ομάδα, στην οποία ο αριθμός των γεννητριών είναι ακριβώς ο αριθμός των ακμών στο E \ T. Ο αριθμός αυτός ισούται με |E| − |V| + 1.

Παραδείγματος χάριν, ας υποθέσουμε ότι το G έχει 16 κορυφές τοποθετημένες σε 4 σειρές των 4 κορυφών η κάθε μία, με ακμές που συνδέουν κορυφές που είναι γειτονικές οριζόντια ή κάθετα. Τότε το G έχει συνολικά 24 ακμές και ο αριθμός των ακμών σε κάθε δένδρο είναι 16 - 1 = 15, οπότε η θεμελιώδης ομάδα του G είναι η ελεύθερη ομάδα με 9 γεννήτριες. Σημειώστε ότι το G έχει 9 «τρύπες», παρόμοια με ένα μπουκέτο 9 κύκλων, το οποίο έχει την ίδια θεμελιώδη ομάδα.

Ομάδες κόμβων

Ένας κόμπος τριφυλλιού.

Οι ομάδες κόμβων είναι εξ ορισμού η θεμελιώδης ομάδα του συμπληρώματος ενός κόμβου $K$ ενσωματωμένου στο $\mathbb {R} ^{3}.$ Για παράδειγμα, η ομάδα κόμβων του κόμβου τριφυλλιού είναι γνωστό ότι είναι η ομάδα πλεξούδας $B_{3},$ η οποία δίνει ένα άλλο παράδειγμα μη-αβελιανής θεμελιώδους ομάδας. Η παρουσίαση Wirtinger περιγράφει ρητά τις ομάδες κόμβων με όρους γεννητριών και σχέσεων με βάση ένα διάγραμμα του κόμβου. Επομένως, οι ομάδες κόμβων έχουν κάποια χρήση στη θεωρία κόμβων για τη διάκριση μεταξύ κόμβων: αν η $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)$ δεν είναι ισομορφική με κάποια άλλη ομάδα κόμβων $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K')$ ενός άλλου κόμβου $K'$, τότε η $K$ δεν μπορεί να μετασχηματιστεί στην $K'$. Έτσι, ο κόμβος τρίφυλλου δεν μπορεί να μετασχηματιστεί συνεχώς στον κύκλο (επίσης γνωστός ως μη κόμβος), αφού ο τελευταίος έχει ομάδα κόμβων $\mathbb {Z}$. Υπάρχουν, ωστόσο, κόμβοι που δεν μπορούν να παραμορφωθούν μεταξύ τους, αλλά έχουν ισομορφικές ομάδες κόμβων.

Προσανατολισμένες επιφάνειες

Η θεμελιώδης ομάδα μιας προσανατολισμένης επιφάνειας γένους n μπορεί να υπολογιστεί ως προς τις γεννήτριες και τις σχέσεις ως εξής

$\left\langle A_{1},B_{1},\ldots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .$

Αυτό περιλαμβάνει τον τόρο, που είναι η περίπτωση του γένους 1, του οποίου η θεμελιώδης ομάδα είναι

$\left\langle A_{1},B_{1}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\right.\right\rangle \cong \mathbb {Z} ^{2}.$

Τοπολογικές ομάδες

Η θεμελιώδης ομάδα μιας τοπολογικής ομάδας X (σε σχέση με το σημείο βάσης που είναι το ουδέτερο στοιχείο) είναι πάντα αντιμεταθετική. Ειδικότερα, η θεμελιώδης ομάδα μιας ομάδας Λι είναι αντιμεταθετική. Στην πραγματικότητα, η δομή της ομάδας στην X προικίζει την $\pi _{1}(X)$ με μια άλλη δομή ομάδας: δεδομένων δύο βρόχων $\gamma$ και $\gamma '$ στην X, ένας άλλος βρόχος $\gamma \star \gamma '$ μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας τον πολλαπλασιασμό της ομάδας στην X:

$(\gamma \star \gamma ')(x)=\gamma (x)\cdot \gamma '(x).$

Αυτή η δυαδική πράξη $\star$ στο σύνολο όλων των βρόχων είναι εκ των προτέρων ανεξάρτητη από αυτήν που περιγράφεται παραπάνω. Ωστόσο, το επιχείρημα Έκμαν-Χίλτον δείχνει ότι στην πραγματικότητα συμφωνεί με την παραπάνω συνένωση βρόχων, και επιπλέον ότι η προκύπτουσα δομή ομάδας είναι αβελιανή.

Μια επιθεώρηση της απόδειξης δείχνει ότι, γενικότερα, η $\pi _{1}(X)$ είναι αβελιανή για κάθε H-χώρο X, δηλαδή, ο πολλαπλασιασμός δεν χρειάζεται να έχει αντίστροφο, ούτε να είναι συνειρμικός. Επί παραδείγματι, αυτό δείχνει ότι η θεμελιώδης ομάδα ενός χώρου βρόχων ενός άλλου τοπολογικού χώρου Y, $X=\Omega (Y),$ είναι αβελιανή. Σχετικές ιδέες οδηγούν στον υπολογισμό της συνομολογίας μιας ομάδας ΛΙ από τον Χάιντς Χοφ.

Functoriality

Αν $f\colon X\to Y$ είναι μια συνεχής απεικόνιση, $x_{0}\in X$ και $y_{0}\in Y$ με $f(x_{0})=y_{0},$ τότε κάθε βρόχος στο $X$ με σημείο βάσης $x_{0}$ μπορεί να συνθέσει με το $f$ για να δώσει ένα βρόχο στο $Y$ με σημείο βάσης $y_{0}.$ Η πράξη αυτή είναι συμβατή με τη σχέση ισοδυναμίας ομοτοπίας και με τη σύνθεση βρόχων. Ο ομομορφισμός της ομάδας που προκύπτει, που ονομάζεται επαγόμενος ομομορφισμός, γράφεται ως $\pi (f)$ ή, πιο συχνά,

$f_{*}\colon \pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0}).$

Αυτή η απεικόνιση από συνεχείς χάρτες σε ομομορφισμούς ομάδων είναι συμβατή με τη σύνθεση χαρτών και μορφισμών ταυτότητας. Στην ορολογία της θεωρίας κατηγοριών, ο σχηματισμός της συσχέτισης ενός τοπολογικού χώρου με τη θεμελιώδη ομάδα του είναι επομένως ένας συναρτητής

${\begin{aligned}\pi _{1}\colon \mathbf {Top} _{*}&\to \mathbf {Grp} \\(X,x_{0})&\mapsto \pi _{1}(X,x_{0})\end{aligned}}$

από την κατηγορία των τοπολογικών χώρων μαζί με ένα σημείο βάσης στην κατηγορία των ομάδων. Αποδεικνύεται ότι αυτός ο συναρτητής δεν διακρίνει χάρτες που είναι ομοτοπικοί ως προς το σημείο βάσης: αν $f,g:X\to Y$ είναι συνεχής απεικόνιση, με $f(x_{0})=g(x_{0})=y_{0}$, και f και g είναι ομοτοπικές σε σχέση με {x₀}, τότε f_∗ = g_∗. Ως συνέπεια, δύο ομοτοπικά ισοδύναμοι χώροι συνδεδεμένοι με μονοπάτια έχουν ισόμορφες θεμελιώδεις ομάδες:

$X\simeq Y\implies \pi _{1}(X,x_{0})\cong \pi _{1}(Y,y_{0}).$

Επί παραδείγματι, η συμπερίληψη του κύκλου στο διάτρητο επίπεδο

$S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$

είναι μια ομοτοπική ισοδυναμία και επομένως προκύπτει ένας ισομορφισμός των θεμελιωδών ομάδων τους.

Ο τελεστής θεμελιωδών ομάδων μετατρέπει τα προϊόντα σε προϊόντα και τα συμπαράγωγα σε συμπαράγωγα. Δηλαδή, αν οι X και Y είναι συνδεδεμένες με μονοπάτια, τότε

$\pi _{1}(X\times Y,(x_{0},y_{0}))\cong \pi _{1}(X,x_{0})\times \pi _{1}(Y,y_{0})$

και αν είναι επίσης τοπικά συσταλτά, τότε

$\pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).$

(Στον τελευταίο τύπο, το $\vee$ δηλώνει το άθροισμα σφήνας των αιχμηρών τοπολογικών χώρων και το $*$ το ελεύθερο γινόμενο των ομάδων.) Ο τελευταίος τύπος είναι μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος Σίφερτ-βαν Κάμπεν, το οποίο δηλώνει ότι ο συναρτηστής θεμελιώδους ομάδας μεταφέρει τα pushouts κατά μήκος των εγκλεισμάτων σε pushouts.

Αφηρημένα αποτελέσματα

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ο υπολογισμός της θεμελιώδους ομάδας ακόμη και σχετικά απλών τοπολογικών χώρων τείνει να μην είναι εντελώς τετριμμένος, αλλά απαιτεί κάποιες μεθόδους αλγεβρικής τοπολογίας.

Σχέση με την πρώτη ομάδα ομολογίας

Η αβελιανοποίηση της θεμελιώδους ομάδας μπορεί να ταυτιστεί με την πρώτη ομάδα ομολογίας του χώρου.

Μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος του Χούρεβιτς υποστηρίζει ότι η πρώτη ιδιάζουσα ομολογική ομάδα $H_{1}(X)$ είναι, στην καθομιλουμένη, η πλησιέστερη προσέγγιση της θεμελιώδους ομάδας μέσω μιας αβελιανής ομάδας. Πιο αναλυτικά, η αντιστοίχιση της κλάσης ομοτοπίας κάθε βρόχου στην κλάση ομολογίας του βρόχου δίνει έναν ομομορφισμό ομάδας

$\pi _{1}(X)\to H_{1}(X)$

από τη θεμελιώδη ομάδα ενός τοπολογικού χώρου X στην πρώτη ιδιάζουσα ομάδα ομολογίας του $H_{1}(X).$ Αυτός ο ομομορφισμός δεν είναι γενικά ισομορφισμός, καθώς η θεμελιώδης ομάδα μπορεί να είναι μη αβελιανή, αλλά η ομάδα ομολογίας είναι, εξ ορισμού, πάντα αβελιανή. Αυτή η διαφορά είναι, ωστόσο, η μόνη: αν η X είναι συνδεδεμένη με μονοπάτια, αυτός ο ομομορφισμός είναι επιφανειακός και ο πυρήνας του είναι η υποομάδα αντιμεταθετών της θεμελιώδους ομάδας, οπότε η $H_{1}(X)$ είναι ισομορφική με την αβελιανοποίηση της θεμελιώδους ομάδας.

Συγκόλληση τοπολογικών χώρων

Γενικεύοντας την παραπάνω δήλωση, για μια οικογένεια χώρων συνδεδεμένων με μονοπάτια $X_{i},$ η θεμελιώδης ομάδα ${\textstyle \pi _{1}\left(\bigvee _{i\in I}X_{i}\right)}$ είναι το ελεύθερο γινόμενο των θεμελιωδών ομάδων των $X_{i}.$ Το γεγονός αυτό είναι μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος Σέιφερτ-βαν Κάμπεν, το οποίο επιτρέπει τον υπολογισμό, γενικότερα, των θεμελιωδών ομάδων χώρων που έχουν συγκολληθεί από άλλους χώρους. Παραδείγματος χάριν, η 2-σφαίρα $S^{2}$ μπορεί να προκύψει από την επικόλληση δύο αντιγράφων ελαφρώς επικαλυπτόμενων ημισφαιρών κατά μήκος μιας γειτονιάς του ισημερινού. Σε αυτή την περίπτωση το θεώρημα δίνει ότι $\pi _{1}(S^{2})$ είναι τετριμμένο, αφού οι δύο ημισφαίρες είναι συσταλτές και επομένως έχουν τετριμμένη θεμελιώδη ομάδα. Οι θεμελιώδεις ομάδες των επιφανειών, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, μπορούν επίσης να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας αυτό το θεώρημα.

Στην ορολογία της θεωρίας κατηγοριών, το θεώρημα μπορεί να διατυπωθεί συνοπτικά λέγοντας ότι ο συναρτηστής της θεμελιώδους ομάδας μεταφέρει τα pushouts (στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων) κατά μήκος των εγκλεισμάτων σε pushouts (στην κατηγορία των ομάδων).

Κάλυψη

Η απεικόνιση $\mathbb {R} \times [0,1]\to S^{1}\times [0,1]$ είναι μια κάλυψη: η προεικόνιση του U (με γκρι χρώμα) είναι μια διαχωριστική ένωση αντιγράφων του U. Επιπλέον, είναι μια καθολική κάλυψη αφού $\mathbb {R} \times [0,1]$ είναι συσταλτή και επομένως απλά συνδεδεμένη.

Δεδομένου ενός τοπολογικού χώρου B, μιας συνεχής απεικόνισης

$f:E\to B$

καλείται καλυπτικός ή Ε καλείται καλυπτικός χώρος του Β αν κάθε σημείο b στο Β δέχεται μια ανοικτή γειτονιά U τέτοια ώστε να υπάρχει ομοιομορφισμός μεταξύ της προεικόνισης του U και μιας διαζευκτικής ένωσης αντιγράφων του U (με δείκτη κάποιο σύνολο Ι),

$\varphi :\bigsqcup _{i\in I}U\to f^{-1}(U)$

με τέτοιο τρόπο ώστε $\pi \circ \varphi$ να είναι η τυπική προβολή του χάρτη $\bigsqcup _{i\in I}U\to U.$

καθολική κάλυψη

Μια κάλυψη ονομάζεται καθολική κάλυψη αν το E είναι, εκτός από την προηγούμενη συνθήκη, απλά συνδεδεμένο. Είναι καθολική με την έννοια ότι όλες οι άλλες καλύψεις μπορούν να κατασκευαστούν με κατάλληλο προσδιορισμό των σημείων στο E. Γνωρίζοντας μια καθολική κάλυψη

$p:{\widetilde {X}}\to X$

ενός τοπολογικού χώρου X είναι χρήσιμη για την κατανόηση της θεμελιώδους ομάδας του με διάφορους τρόπους: πρώτον, η $\pi _{1}(X)$ ταυτίζεται με την ομάδα των μετασχηματισμών καταστρώματος, δηλ, την ομάδα των ομοιομορφισμών $\varphi :{\widetilde {X}}\to {\widetilde {X}}$ που αντιμετατίθενται με την απεικόνιση στον X, δηλαδή, $p\circ \varphi =p.$ Μια άλλη σχέση με τη θεμελιώδη ομάδα είναι ότι η $\pi _{1}(X,x)$ μπορεί να ταυτιστεί με την ίνα $p^{-1}(x).$ Επί παραδείγματι, η απεικόνιση

$p:\mathbb {R} \to S^{1},\,t\mapsto \exp(2\pi it)$

(ή, ισοδύναμα, $\pi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,\ t\mapsto [t]$) είναι μια καθολική κάλυψη. Οι μετασχηματισμοί καταστρώματος είναι οι χάρτες $t\mapsto t+n$ για $n\in \mathbb {Z} .$ Αυτό είναι σύμφωνο με την ταύτιση $p^{-1}(1)=\mathbb {Z} ,$ ειδικότερα αυτό αποδεικνύει τον παραπάνω ισχυρισμό $\pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} .$

Οποιοσδήποτε συνδεδεμένος με μονοπάτια, τοπικά συνδεδεμένος με μονοπάτια και τοπικά απλά συνδεδεμένος τοπολογικός χώρος X δέχεται μια καθολική κάλυψη. Μια αφηρημένη κατασκευή προχωρά αναλογικά με τη θεμελιώδη ομάδα, λαμβάνοντας ζεύγη (x, γ), όπου x είναι ένα σημείο στο X και γ είναι μια κλάση ομοτοπίας των μονοπατιών από το x₀ στο x. Το πέρασμα από έναν τοπολογικό χώρο στην καθολική του κάλυψη μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατανόηση της γεωμετρίας του Χ. Για παράδειγμα, το θεώρημα ομογενοποίησης δείχνει ότι κάθε απλά συνδεδεμένη επιφάνεια Ρίμαν είναι (ισομορφική με) είτε την $S^{2},$ $\mathbb {C} ,$ είτε το άνω ημιεπίπεδο. Οι γενικές επιφάνειες Ρίμαν προκύπτουν στη συνέχεια ως πηλίκα δράσεων ομάδων σε αυτές τις τρεις επιφάνειες.

Το πηλίκο μιας ελεύθερης δράσης μιας διακριτής ομάδας G σε έναν απλά συνδεδεμένο χώρο Y έχει θεμελιώδη ομάδα

$\pi _{1}(Y/G)\cong G.$

Ως παράδειγμα, ο πραγματικός n-διάστατος πραγματικός προβολικός χώρος $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ προκύπτει ως το πηλίκο της n-διάστατης μοναδιαίας σφαίρας $S^{n}$ από την αντιποδική δράση της ομάδας $\mathbb {Z} /2$ που στέλνει το $x\in S^{n}$ στο $-x.$ Καθώς η $S^{n}$ είναι απλά συνδεδεμένη για n ≥ 2, είναι ένα καθολικό κάλυμμα της $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ σε αυτές τις περιπτώσεις, το οποίο συνεπάγεται $\pi _{1}(\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n})\cong \mathbb {Z} /2$ για n ≥ 2.

Ομάδες Λι

Έστω G μια συνδεδεμένη, απλά συνδεδεμένη συμπαγής ομάδα Λί, επί παραδείγματι, η ειδική μοναδιαία ομάδα SU(n), και έστω Γ μια πεπερασμένη υποομάδα της G. Τότε ο ομογενής χώρος X = G/Γ έχει θεμελιώδη ομάδα Γ, η οποία δρα με δεξιό πολλαπλασιασμό στον καθολικό χώρο κάλυψης G. Μεταξύ των πολλών παραλλαγών αυτής της κατασκευής, μία από τις σημαντικότερες δίνεται από τους τοπικά συμμετρικούς χώρους X = Γ \G/K, όπου

• G είναι μια μη συμπαγής απλά συνδεδεμένη, συνδεδεμένη ομάδα Λί (συχνά ημιπλή),
• K είναι μια μέγιστη συμπαγής υποομάδα της G
• Γ είναι μια διακριτή μετρήσιμη υποομάδα ελεύθερη στρέψης της G.

Σε αυτή την περίπτωση η θεμελιώδης ομάδα είναι Γ και ο καθολικός χώρος κάλυψης G/K είναι στην πραγματικότητα συσταλτός (με την αποσύνθεση Καρτάν για τις ομάδες Λι).

Ως παράδειγμα, ας πάρουμε G = SL(2, R), K = SO(2) και Γ οποιαδήποτε υποομάδα συγγένειας ελεύθερη στρέψης της modular ομάδας SL(2, Z).

Από τη ρητή υλοποίηση, προκύπτει επίσης ότι ο καθολικός χώρος κάλυψης μιας συνδεδεμένης με μονοπάτια τοπολογικής ομάδας H είναι και πάλι μια συνδεδεμένη με μονοπάτια τοπολογική ομάδα G. Επιπλέον, ο χάρτης κάλυψης είναι ένας συνεχής ανοικτός ομομορφισμός της G προς την H με πυρήνα Γ, μια κλειστή διακριτή κανονική υποομάδα της G:

$1\to \Gamma \to G\to H\to 1.$

Εφόσον η G είναι μια συνδεδεμένη ομάδα με συνεχή δράση μέσω σύζευξης σε μια διακριτή ομάδα Γ, πρέπει να δρα τετριμμένα, οπότε η Γ πρέπει να είναι μια υποομάδα του κέντρου της G. Ειδικότερα, π₁(H) = Γ είναι μια αβελιανή ομάδα- αυτό μπορεί επίσης εύκολα να φανεί άμεσα χωρίς τη χρήση χώρων κάλυψης. Η ομάδα G ονομάζεται καθολική ομάδα κάλυψης του H.

Όπως υποδηλώνει η καθολική ομάδα κάλυψης, υπάρχει μια αναλογία μεταξύ της θεμελιώδους ομάδας μιας τοπολογικής ομάδας και του κέντρου μιας ομάδας- αυτό αναλύεται στο Πλέγμα των ομάδων καλύψεως.

Νήματα

Τα νημάτα παρέχουν ένα πολύ ισχυρό μέσο για τον υπολογισμό ομάδων ομοτοπίας. Ένα νήμα f το λεγόμενο ολικό διάστημα, και ο βασικός χώρος B έχει, ειδικότερα, την ιδιότητα ότι όλα τα νήματα του $f^{-1}(b)$ είναι ομοτοπικά ισοδύναμα και επομένως δεν μπορούν να διακριθούν χρησιμοποιώντας θεμελιώδεις ομάδες (και ανώτερες ομάδες ομοτοπίας), υπό την προϋπόθεση ότι ο Bείναι συνδεδεμένος με μονοπάτια [16].[16] Επομένως, ο χώρος E μπορεί να θεωρηθεί ως ένα «διαστρεβλωμένο γινόμενο» του βασικού χώρου B και του νήματος $F=f^{-1}(b).$ Η μεγάλη σημασία των νημάτων για τον υπολογισμό των ομάδων ομοτοπίας προέρχεται από μια μακρά ακριβή ακολουθία

$\dots \to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(E)$

υπό την προϋπόθεση ότι η B είναι συνδεδεμένη με μονοπάτια. Ο όρος $\pi _{2}(B)$ είναι η δεύτερη ομάδα ομοτοπίας της B, η οποία ορίζεται ως το σύνολο των τάξεων ομοτοπίας των χαρτών από την $S^{2}$ στην B, σε άμεση αναλογία με τον ορισμό της $\pi _{1}.$

Αν η E τυχαίνει να είναι συνδεδεμένη με μονοπάτια και απλά συνδεδεμένη, αυτή η ακολουθία ανάγεται σε έναν ισομορφισμό

$\pi _{1}(B)\cong \pi _{0}(F)$

το οποίο γενικεύει το παραπάνω γεγονός σχετικά με την καθολική κάλυψη (η οποία ισοδυναμεί με την περίπτωση όπου η ίνα F είναι επίσης διακριτή). Αν αντίθετα η F συμβαίνει να είναι συνδεδεμένη και απλά συνδεδεμένη, ανάγεται σε έναν ισομορφισμό

$\pi _{1}(E)\cong \pi _{1}(B).$

Επιπλέον, η ακολουθία μπορεί να συνεχιστεί στα αριστερά με τις ανώτερες ομάδες ομοτοπίας $\pi _{n}$ των τριών χώρων, γεγονός που δίνει κάποια πρόσβαση στον υπολογισμό τέτοιων ομάδων με τον ίδιο τρόπο.

Ομάδα διαδρομής ενός βασικού σχήματος

Όταν ο τοπολογικός χώρος είναι ομοιομορφικός με ένα σύµπλοκο, η θεµελιώδης οµάδα του µπορεί να περιγραφεί ρητά σε όρους γεννητριών και σχέσεων.

Αν το Χ είναι ένα συνδεδεμένο σύμπλοκο, ένα μονοπάτι ακμών στο Χ ορίζεται ως μια αλυσίδα κορυφών που συνδέονται με ακμές στο Χ. Δύο μονοπάτια ακμών λέγονται ισοδύναμα ακμών αν το ένα μπορεί να προκύψει από το άλλο με διαδοχική εναλλαγή μεταξύ μιας ακμής και των δύο απέναντι ακμών ενός τριγώνου στο X. Αν v είναι μια σταθερή κορυφή στο X, ένας βρόχος ακμών στο v είναι ένα μονοπάτι ακμών που αρχίζει και τελειώνει στο v. Η ομάδα ακμών-μονοπατιών E(X, v) ορίζεται ως το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας ακμών των ακμών-μονοπατιών στο v, με το γινόμενο και το αντίστροφο να ορίζονται από τη συνένωση και την αντιστροφή των ακμών-μονοπατιών.

Η ομάδα ακμών-διαδρομών είναι φυσικά ισομορφική με την π₁(|X |, v), τη θεμελιώδη ομάδα της γεωμετρικής υλοποίησης |X | του X. Δεδομένου ότι εξαρτάται μόνο από το 2-σκελετό X² του X(δηλαδή τις κορυφές, τις ακμές και τα τρίγωνα του X), οι ομάδες π₁(|X |,v) και π₁(|X²|, v) είναι ισόμορφες.

Η ομάδα ακμών-διαδρομών μπορεί να περιγραφεί ρητά με όρους γεννητριών και σχέσεων. Εάν το T είναι ένα μέγιστο δένδρο στο 1-σκελετό του X, τότε η E(X, v) είναι κανονικά ισομορφική με την ομάδα με γεννήτριες (τα προσανατολισμένα μονοπάτια ακμών του X που δεν εμφανίζονται στο T) και σχέσεις (οι ισοδυναμίες ακμών που αντιστοιχούν σε τρίγωνα του X). Ένα παρόμοιο αποτέλεσμα ισχύει αν το T αντικατασταθεί από οποιοδήποτε απλά συνδεδεμένο -ιδιαίτερα συρρικνούμενο- υποσύμπλεγμα του X. Αυτό δίνει συχνά έναν πρακτικό τρόπο υπολογισμού θεμελιωδών ομάδων και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξει ότι κάθε πεπερασμένα παρουσιαζόμενη ομάδα προκύπτει ως η θεμελιώδης ομάδα ενός πεπερασμένου απλοϊκού συμπλέγματος. Είναι επίσης μία από τις κλασικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται για τις τοπολογικές επιφάνειες, οι οποίες ταξινομούνται με βάση τις θεμελιώδεις ομάδες τους.

Ο καθολικός χώρος κάλυψης ενός πεπερασμένου συνδεδεμένου απλουστευτικού συμπλέγματος X μπορεί επίσης να περιγραφεί απευθείας ως απλουστευτικό σύμπλεγμα χρησιμοποιώντας μονοπάτια ακμών. Οι κορυφές του είναι ζεύγη (w,γ) όπου w είναι μια κορυφή του X και γ είναι μια κλάση ισοδυναμίας ακμών των μονοπατιών από το v στο w.

Τα k-σύμπλοκα που περιέχουν το (w,γ) αντιστοιχούν φυσικά στα k-σύμπλοκα που περιέχουν το w. Κάθε νέα κορυφή u του k-σύμπλοκου δίνει μια ακμή wu και, επομένως, με συνένωση, ένα νέο μονοπάτι γ_u από το v στο u. Τα σημεία (w,γ) και (u, γ_u) είναι οι κορυφές του «μεταφερόμενου» απλού συστήματος στον καθολικό χώρο κάλυψης. Η ομάδα ακμών-μονοπατιών δρα φυσικά με συνένωση, διατηρώντας την απλοϊκή δομή, και το πηλίκο του χώρου είναι απλώς X.

Είναι γνωστό ότι η μέθοδος αυτή μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της θεμελιώδους ομάδας ενός αυθαίρετου τοπολογικού χώρου. Αυτό ήταν αναμφίβολα γνωστό στους Εντουάρντ Τσεχ και Ζαν Λερέ και εμφανίστηκε ρητά ως παρατήρηση σε μια εργασία του Αντρέ Βέιλ . Διάφοροι άλλοι συγγραφείς, όπως ο Λορέντζο Καλάμπι, ο Γου Γουέν-τσουν και ο Νοντάρ Μπερικάσβιλι, έχουν επίσης δημοσιεύσει αποδείξεις. Στην απλούστερη περίπτωση ενός συμπαγούς χώρου X με μια πεπερασμένη ανοικτή κάλυψη στην οποία όλες οι μη κενές πεπερασμένες τομές των ανοικτών συνόλων στην κάλυψη είναι συσταλτές, η θεμελιώδης ομάδα μπορεί να ταυτιστεί με την ομάδα ακμών-διαδρομών του απλοϊκού συμπλέγματος που αντιστοιχεί στο νεύρο της κάλυψης.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Αντίστροφη συνάρτηση
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Διαφορική γεωμετρία
• Γεωμετρική τοπολογία
• Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Ευκλείδειος χώρος
• Ντάνιελ Γκόρενσταϊν
• Θεωρία ομάδων
• Συνάρτηση μάζας πιθανότητας
• Τοπολογικός χώρος
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Δισδιάστατος χώρος

Βιβλιογραφία

• Stillwell, John (25 Μαρτίου 1993). Classical Topology and Combinatorial Group Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97970-0. 
• Stix, Jakob (10 Ιανουαρίου 2012). The Arithmetic of Fundamental Groups: PIA 2010. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-23905-2. 
• Lima, Elon Lages (22 Ιουλίου 2003). Fundamental Groups and Covering Spaces. CRC Press. ISBN 978-1-4398-6416-6. 
• Schneps, Leila (21 Ιουλίου 2003). Galois Groups and Fundamental Groups. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80831-6. 
• Matveev, Sergeĭ Vladimirovich (2006). Lectures on Algebraic Topology. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-023-4. 
• Dieck, Tammo tom (2008). Algebraic Topology. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-048-7. 
• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. 
• Danilov, V. I.· Shokurov, V. V. (17 Μαρτίου 1998). Algebraic Geometry I: Algebraic Curves, Algebraic Manifolds and Schemes. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-63705-9. 
• Harpe, Pierre de la (15 Σεπτεμβρίου 2000). Topics in Geometric Group Theory. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-31721-2. 

Παραπομπές

• Adams, John Frank (1978), Infinite loop spaces, Annals of Mathematics Studies, 90, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08207-3, https://archive.org/details/infiniteloopspac0000adam 
• Brown, Ronald (2006), Topology and Groupoids, Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8, http://pages.bangor.ac.uk/~mas010/topgpds.html 
• Bump, Daniel (2013), Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics, 225 (2nd έκδοση), Springer, doi:10.1007/978-1-4614-8024-2, ISBN 978-1-4614-8023-5 
• Crowell, Richard H.; Fox, Ralph (1963), Introduction to Knot Theory, Springer 
• El Zein, Fouad; Suciu, Alexander I.; Tosun, Meral; Uludağ, Muhammed; Yuzvinsky, Sergey (2010), Arrangements, Local Systems and Singularities: CIMPA Summer School, Galatasaray University, Istanbul, 2007, ISBN 978-3-0346-0208-2 
• Forster, Otto (1981), Lectures on Riemann Surfaces, ISBN 0-387-90617-7 
• Fulton, William (1995), Algebraic Topology: A First Course, Springer, ISBN 9780387943275, https://archive.org/details/algebraictopolog00fult 
• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999), Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics, 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1 
• Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, σελ. xviii+327, see Exp. V, IX, X, ISBN 978-2-85629-141-2 
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd έκδοση), Springer, ISBN 978-3319134666 
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html 
• Peter Hilton and Shaun Wylie, Homology Theory, Cambridge University Press (1967) [warning: these authors use contrahomology for cohomology]
• Humphreys, James E. (2004), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 9780387901084 
• Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, ISBN 0-387-90052-7 
• Maunder, C. R. F. (January 1996), Algebraic Topology, Dover Publications, ISBN 0-486-69131-4 
• Massey, William S. (1991), A Basic Course in Algebraic Topology, Springer, ISBN 038797430X 
• May, J. Peter (1999), A Concise Course in Algebraic Topology, ISBN 9780226511832 
• Deane Montgomery and Leo Zippin, Topological Transformation Groups, Interscience Publishers (1955)
• Munkres, James R. (2000), Topology, en:Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2 
• Rotman, Joseph (1998-07-22), An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1, https://archive.org/details/introductiontoal0000rotm 
• Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry, a concise dictionary, Berlin/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3 
• Seifert, Herbert; Threlfall, William (1980), A Textbook of Topology, en:Academic Press, ISBN 0-12-634850-2, https://archive.org/details/seifertthrelfall0000seif 
• Singer, Isadore. M.; Thorpe, J. A. (1976-12-10), Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, ISBN 0-387-90202-3 
• Spanier, Edwin H. (1989), Algebraic Topology, Springer, ISBN 0-387-94426-5 
• Strom, Jeffrey (2011), Modern Classical Homotopy Theory, AMS, ISBN 9780821852866 

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0