Θεμελιώδης κατάσταση

Ενεργειακά επίπεδα για ένα ηλεκτρόνιο σε ένα άτομο: θεμελιώδης κατάσταση και διεγερμένη κατάσταση. Μετά την απορρόφηση ενέργειας, ένα ηλεκτρόνιο μπορεί να μεταπηδήσει από τη θεμελιώδη κατάσταση σε μια διεγερμένη κατάσταση υψηλότερης ενέργειας.

Η θεμελιώδης κατάσταση ή βασική κατάσταση (ground state) ενός κβαντομηχανικού συστήματος είναι η στάσιμη κατάσταση του με τη χαμηλότερη ενέργεια. Η ενέργεια της θεμελιώδους κατάστασης είναι γνωστή ως ενέργεια μηδενικού σημείου του συστήματος. Μια διεγερμένη κατάσταση είναι οποιαδήποτε κατάσταση με ενέργεια μεγαλύτερη από τη θεμελιώδη κατάσταση. Στην κβαντική θεωρία πεδίου, η θεμελιώδης κατάσταση ονομάζεται συνήθως κενό.

Εάν υπάρχουν περισσότερες από μία θεμελιώδεις καταστάσεις, λέγονται εκφυλισμένες. Πολλά συστήματα έχουν εκφυλισμένες θεμελιώδεις καταστάσεις. Εκφυλισμός συμβαίνει κάθε φορά που υπάρχει ένας μοναδιαίος τελεστής που δρα μη τετριμμένα σε μια θεμελιώδη κατάσταση και μετατίθεται με την Χαμιλτονιανή του συστήματος.

Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο της θερμοδυναμικής, ένα σύστημα σε θερμοκρασία απολύτου μηδενός υπάρχει στη θεμελιώδη κατάστασή του. Επομένως, η εντροπία του καθορίζεται από τον εκφυλισμό της θεμελιώδους κατάστασης. Πολλά συστήματα, όπως ένα τέλειο κρυσταλλικό πλέγμα, έχουν μια μοναδική θεμελιώδη κατάσταση και επομένως έχουν μηδενική εντροπία στο απόλυτο μηδέν. Είναι επίσης πιθανό η υψηλότερη διεγερμένη κατάσταση να έχει θερμοκρασία απολύτου μηδενός για συστήματα που εμφανίζουν αρνητική θερμοκρασία.

Απουσία κόμβων σε μία διάσταση

Σε μία διάσταση, η θεμελιώδης κατάσταση της εξίσωσης Σρέντινγκερ μπορεί να αποδειχθεί ότι δεν έχει κόμβους.

Παραγώγιση

Θεωρήστε τη μέση ενέργεια μιας κατάστασης με έναν κόμβο στο x = 0•δηλαδή, ψ(0) = 0. Η μέση ενέργεια σε αυτήν την κατάσταση θα ήταν

$$\langle \psi |H|\psi \rangle =\int dx\,\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)|\psi (x)|^{2}\right),$$

όπου V(x) είναι το δυναμικό.

Με ολοκλήρωση κατά μέλη:

$$\int _{a}^{b}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}dx=\left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}{\frac {d\psi ^{*}}{dx}}{\frac {d\psi }{dx}}dx=\left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}dx$$

Επομένως, σε περίπτωση που $\left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{-\infty }^{\infty }=\lim _{b\to \infty }\psi ^{*}(b){\frac {d\psi }{dx}}(b)-\lim _{a\to -\infty }\psi ^{*}(a){\frac {d\psi }{dx}}(a)$ είναι ίσο με μηδέν, προκύπτει: $$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}dx={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}dx$$

Τώρα, θεωρήστε ένα μικρό διάστημα γύρω από το $x=0$; δηλαδή, $x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]$. Πάρτε μια νέα παραμορφωμένη κυματοσυνάρτηση ψ'(x) που ορίζεται ως $\psi '(x)=\psi (x)$, για $x<-\varepsilon$ και $\psi '(x)=-\psi (x)$, για $x>\varepsilon$, καθώς και σταθερά για $x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]$. Εάν το $\varepsilon$ είναι αρκετά μικρό, αυτό είναι πάντα δυνατό, έτσι ώστε το ψ'(x) να είναι συνεχές.

Υποθέτοντας ότι το $\psi (x)\approx -cx$ είναι γύρω στο $x=0$, μπορεί κανείς να γράψει $$\psi '(x)=N{\begin{cases}|\psi (x)|,&|x|>\varepsilon ,\\c\varepsilon ,&|x|\leq \varepsilon ,\end{cases}}$$ όπου $N={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\varepsilon ^{3}}}}$ είναι η νόρμα.

Σημειώστε ότι για τις πυκνότητες κινητικής ενέργειας ισχύει ${\textstyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|{\frac {d\psi '}{dx}}\right|^{2}<{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}}$ παντού λόγω της κανονικοποίησης. Πιο σημαντικά, η μέση κινητική ενέργεια μειώνεται κατά $O(\varepsilon )$ από την παραμόρφωση σε ψ'.

Τώρα, θεωρήστε τη δυναμική ενέργεια. Για σιγουριά, ας επιλέξουμε $V(x)\geq 0$. Τότε είναι σαφές ότι, εκτός του διαστήματος $x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]$, η πυκνότητα δυναμικής ενέργειας είναι μικρότερη για το ψ' επειδή $|\psi '|<|\psi |$ εκεί.

Από την άλλη πλευρά, στο διάστημα $x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]$ έχουμε $${V_{\text{avg}}^{\varepsilon }}'=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)|\psi '|^{2}={\frac {\varepsilon ^{2}|c|^{2}}{1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\varepsilon ^{3}}}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)\simeq 2\varepsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,$$ που τηρεί την τάξη $\varepsilon ^{3}$.

Ωστόσο, η συνεισφορά στην δυναμική ενέργεια από αυτήν την περιοχή για την κατάσταση ψ με έναν κόμβο είναι $$V_{\text{avg}}^{\varepsilon }=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)|\psi |^{2}=|c|^{2}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,x^{2}V(x)\simeq {\frac {2}{3}}\varepsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,$$ χαμηλότερη, αλλά ακόμα της ίδιας κατώτερης τάξης $O(\varepsilon ^{3})$ όπως για την παραμορφωμένη κατάσταση ψ', και υποδεέστερη της μείωσης της μέσης κινητικής ενέργειας. Επομένως, η δυναμική ενέργεια παραμένει αμετάβλητη μέχρι την τάξη $\varepsilon ^{2}$, αν παραμορφώσουμε την κατάσταση $\psi$ με έναν κόμβο σε μια κατάσταση ψ' χωρίς κόμβο, και η αλλαγή μπορεί να αγνοηθεί.

Μπορούμε επομένως να αφαιρέσουμε όλους τους κόμβους και να μειώσουμε την ενέργεια κατά $O(\varepsilon )$, πράγμα που υποδηλώνει ότι ψ' δεν μπορεί να είναι η θεμελιώδης κατάσταση. Έτσι, η κυματοσυνάρτηση θεμελιώδους κατάστασης δεν μπορεί να έχει κόμβο. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. (Η μέση ενέργεια μπορεί στη συνέχεια να μειωθεί περαιτέρω εξαλείφοντας τις κυματώσεις, στο απόλυτο ελάχιστο της μεταβολής.)

Συνεπαγωγή

Καθώς η θεμελιώδης κατάσταση δεν έχει κόμβους, είναι χωρικά μη εκφυλισμένη, δηλαδή δεν υπάρχουν δύο στατικές κβαντικές καταστάσεις με την ενεργειακή ιδιοτιμή της θεμελιώδους κατάστασης (ας την ονομάσουμε $E_{g}$) και την ίδια κατάσταση σπιν και επομένως θα διέφεραν μόνο στις κυματοσυναρτήσεις θέσης-χώρου τους.

Η συλλογιστική έχει με εις άτοπον απαγωγή ως εξής: Εάν η θεμελιώδης κατάσταση ήταν εκφυλισμένη, τότε θα υπήρχαν δύο ορθοκανονικές στάσιμες καταστάσεις $\left|\psi _{1}\right\rangle$ και $\left|\psi _{2}\right\rangle$ — αργότερα αναπαρίστανται από τις κυματοσυναρτήσεις μιγαδικών τιμών χώρου θέσης $\psi _{1}(x,t)=\psi _{1}(x,0)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }$ και $\psi _{2}(x,t)=\psi _{2}(x,0)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }$ — και οποιαδήποτε υπέρθεση ${\displaystyle \left|\psi _{3}\right\rangle$ :=c_{1}\left|\psi _{1}\right\rangle +c_{2}\left|\psi _{2}\right\rangle } με τους μιγαδικούς αριθμούς $c_{1},c_{2}$ να πληρούν τη συνθήκη $|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1$, το οποίο θα ήταν επίσης μια τέτοια κατάσταση, δηλαδή θα είχε την ίδια ιδιοτιμή ενέργειας $E_{g}$ και την ίδια κατάσταση σπιν.

Τώρα έστω $x_{0}$ κάποιο τυχαίο σημείο (όπου ορίζονται και οι δύο κυματοσυναρτήσεις) και ας οριστεί: $$c_{1}={\frac {\psi _{2}(x_{0},0)}{a}}$$ και $$c_{2}={\frac {-\psi _{1}(x_{0},0)}{a}}$$ με $$a={\sqrt {|\psi _{1}(x_{0},0)|^{2}+|\psi _{2}(x_{0},0)|^{2}}}>0$$ (σύμφωνα με την υπόθεση χωρίς κόμβους).

Επομένως, η κυματοσυνάρτηση χώρου-θέσης του $\left|\psi _{3}\right\rangle$ είναι $$\psi _{3}(x,t)=c_{1}\psi _{1}(x,t)+c_{2}\psi _{2}(x,t)={\frac {1}{a}}\left(\psi _{2}(x_{0},0)\cdot \psi _{1}(x,0)-\psi _{1}(x_{0},0)\cdot \psi _{2}(x,0)\right)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }.$$

Συνεπώς $$\psi _{3}(x_{0},t)={\frac {1}{a}}\left(\psi _{2}(x_{0},0)\cdot \psi _{1}(x_{0},0)-\psi _{1}(x_{0},0)\cdot \psi _{2}(x_{0},0)\right)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }=0$$ για όλα τα $t$.

Αλλά $\left\langle \psi _{3}|\psi _{3}\right\rangle =|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1$ δηλαδή, $x_{0}$ είναι ένας κόμβος της κυματοσυνάρτησης θεμελιώδους κατάστασης και αυτό έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι αυτή η κυματοσυνάρτηση δεν μπορεί να έχει κόμβο.

Σημειώστε ότι η θεμελιώδης κατάσταση θα μπορούσε να είναι εκφυλισμένη λόγω διαφορετικών καταστάσεων σπιν όπως $\left|\uparrow \right\rangle$ και $\left|\downarrow \right\rangle$, ενώ έχει την ίδια κυματοσυνάρτηση θέσης-χώρου: Οποιαδήποτε υπέρθεση αυτών των καταστάσεων θα δημιουργούσε μια μεικτή κατάσταση σπιν, αλλά θα άφηνε το χωρικό μέρος (ως κοινό παράγοντα και των δύο) αμετάβλητο.

Παραδείγματα

Αρχικές κυματοσυναρτήσεις για τις πρώτες τέσσερις καταστάσεις ενός μονοδιάστατου σωματιδίου σε ένα πλαίσιο

• Η κυματοσυνάρτηση της θεμελιώδους κατάστασης ενός σωματιδίου σε μονοδιάστατο κουτί είναι ένα ημιτονοειδές κύμα ημιπεριόδου, το οποίο μηδενίζεται στις δύο άκρες του φρέατος. Η ενέργεια του σωματιδίου δίνεται από τον τύπο ${\textstyle {\frac {h^{2}n^{2}}{8mL^{2}}}}$, όπου h είναι η σταθερά του Πλανκ, m είναι η μάζα του σωματιδίου, n είναι η ενεργειακή κατάσταση (n = 1 αντιστοιχεί στην ενέργεια θεμελιώδους κατάστασης) και L είναι το πλάτος του φρέατος.
• Η κυματοσυνάρτηση της θεμελιώδους κατάστασης ενός ατόμου υδρογόνου είναι μια σφαιρικά συμμετρική κατανομή με κέντρο τον πυρήνα, ο οποίος είναι μεγαλύτερος στο κέντρο και μειώνεται εκθετικά σε μεγαλύτερες αποστάσεις. Το ηλεκτρόνιο είναι πιο πιθανό να βρεθεί σε απόσταση από τον πυρήνα ίση με την ακτίνα Μπορ. Αυτή η συνάρτηση είναι γνωστή ως 1s ατομικό τροχιακό. Για το υδρογόνο (H), ένα ηλεκτρόνιο στη θεμελιώδη κατάσταση έχει ενέργεια −136 eV, σε σχέση με το όριο ιονισμού. Με άλλα λόγια, 13,6 eV είναι η ενέργεια που απαιτείται για να μην είναι πλέον το ηλεκτρόνιο δέσμιο με το άτομο.
• Ο ακριβής ορισμός ενός δευτερολέπτου του χρόνου από το 1997 είναι η διάρκεια των 9192631770 περιόδων της ακτινοβολίας που αντιστοιχούν στη μετάβαση μεταξύ των δύο υπέρλεπτων επιπέδων της θεμελιώδους κατάστασης του ατόμου καισίου-133 σε ηρεμία σε θερμοκρασία 0 K.

Βιβλιογραφία

• Feynman, Richard· Leighton, Robert· Sands, Matthew (1965). «see section 2-5 for energy levels, 19 for the hydrogen atom». The Feynman Lectures on Physics. 3.