Θαυμαστό θεώρημα

Συνέπεια του θεωρήματος Egregium είναι ότι η Γη δεν μπορεί να απεικονιστεί σε χάρτη χωρίς παραμόρφωση. Η Μερκατορική προβολή διατηρεί τις γωνίες αλλά δεν διατηρεί την έκταση, εξ ου και η τεράστια παραμόρφωση της Ανταρκτικής.

Το Θαυμαστό θεώρημα του Γκάους είναι ένα σημαντικό αποτέλεσμα της διαφορικής γεωμετρίας, το οποίο αποδείχθηκε από τον Καρλ Φρίντριχ Γκάους το 1827 και αφορά την καμπυλότητα των επιφανειών. Το θεώρημα δηλώνει ότι η καμπυλότητα του Γκάους μπορεί να προσδιοριστεί εξ ολοκλήρου με τη μέτρηση γωνιών, αποστάσεων και των ρυθμών τους σε μια επιφάνεια, χωρίς αναφορά στον ιδιαίτερο τρόπο με τον οποίο η επιφάνεια ενσωματώνεται στον περιβάλλοντα τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο. Με άλλα λόγια, η γκαουσιανή καμπυλότητα μιας επιφάνειας δεν αλλάζει αν λυγίσει κανείς την επιφάνεια χωρίς να την τεντώσει. Συνεπώς, η καμπυλότητα του Γκάους είναι ένα εγγενές αναλλοίωτο μιας επιφάνειας.

Ο Γκάους παρουσίασε το θεώρημα με αυτόν τον τρόπο (μεταφρασμένο από τα λατινικά):

Επομένως, το ακόλουθο αξιοσημείωτο θεώρημα προκύπτει από μόνο του από τον παραπάνω τύπο: Αν μια καμπυλωτή επιφάνεια αναπτυχθεί πάνω σε οποιαδήποτε άλλη επιφάνεια, το μέτρο της καμπυλότητας σε κάθε σημείο παραμένει αμετάβλητο.

Στη σύγχρονη μαθηματική ορολογία, το θεώρημα μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

Η γκαουσιανή καμπυλότητα μιας επιφάνειας είναι αμετάβλητη υπό τοπική ισομετρία.

Η αρχική δήλωση του θαυμαστού θεωρήματος του Γκάους, μεταφρασμένο από τα λατινικά στα αγγλικά..

Βασικές εφαρμογές

Κινούμενη εικόνα που δείχνει την παραμόρφωση ενός ελικοειδούς σε κατενοειδές. Η παραμόρφωση επιτυγχάνεται με κάμψη χωρίς τέντωμα. Κατά τη διάρκεια της διαδικασίας, η γκαουσιανή καμπυλότητα της επιφάνειας σε κάθε σημείο παραμένει σταθερή.

Μια σφαίρα ακτίνας R έχει σταθερή καμπυλότητα Γκάους η οποία είναι ίση με 1/R². Την ίδια στιγμή, ένα επίπεδο έχει μηδενική καμπυλότητα Γκάους. Ως επακόλουθο του Θαυμαστού θεωρήματος, ένα κομμάτι χαρτί δεν μπορεί να καμφθεί πάνω σε μια σφαίρα χωρίς να τσαλακωθεί. Αντίστροφα, η επιφάνεια μιας σφαίρας δεν μπορεί να ξεδιπλωθεί πάνω σε ένα επίπεδο χωρίς να παραμορφωθούν οι αποστάσεις. Αν κάποιος πατούσε πάνω σε ένα άδειο κέλυφος αυγού, οι άκρες του πρέπει να διασπαστούν κατά τη διαστολή προτού ισοπεδωθούν. Μαθηματικά, μια σφαίρα και ένα επίπεδο δεν είναι ισομετρικά, ούτε καν τοπικά. Το γεγονός αυτό είναι σημαντικό για τη χαρτογραφία: συνεπάγεται ότι κανένας επίπεδος (επίπεδος) χάρτης της Γης δεν μπορεί να είναι τέλειος, ακόμη και για ένα τμήμα της γήινης επιφάνειας. Έτσι, κάθε χαρτογραφική προβολή αναγκαστικά παραμορφώνει τουλάχιστον κάποιες αποστάσεις.

Το κατενοειδές και το ελικοειδές είναι δύο πολύ διαφορετικές επιφάνειες. Παρ' όλα αυτά, κάθε μία από αυτές μπορεί να κάμπτεται συνεχώς στην άλλη: είναι τοπικά ισομετρικές. Από το Θαυμαστό Θεώρημα προκύπτει ότι υπό αυτή την κάμψη η καμπυλότητα Γκάους σε οποιαδήποτε δύο αντίστοιχα σημεία του κατενοειδούς και του ελικοειδούς είναι πάντα η ίδια. Έτσι, η ισομετρία είναι απλώς κάμψη και συστροφή μιας επιφάνειας χωρίς εσωτερικό τσαλάκωμα ή σχίσιμο, με άλλα λόγια χωρίς επιπλέον τάση, συμπίεση ή διάτμηση.

Μια εφαρμογή του θεωρήματος παρατηρείται όταν ένα επίπεδο αντικείμενο κάμπτεται ή καμπυλώνεται κάπως κατά μήκος μιας γραμμής, δημιουργώντας δυσκαμψία στην κάθετη διεύθυνση. Αυτό το φαινόμενο είναι πρακτική χρήση στις κατασκευές, καθώς και σε μια κοινή στρατηγική για την κατανάλωση πίτσας: Ένα επίπεδο κομμάτι πίτσας μπορεί να θεωρηθεί ως μια επιφάνεια με σταθερή γκαουσιανή καμπυλότητα 0. Η ήπια κάμψη ενός κομματιού διατηρεί αυτή την καμπυλότητα κατά προσέγγιση (υποθέτοντας ότι η καμπυλότητα είναι κατά προσέγγιση μια τοπική ισομετρία). Αν μια φέτα καμπυλωθεί οριζόντια κατά μήκος μιας ακτίνας, δημιουργούνται μη μηδενικές κύριες καμπυλότητες κατά μήκος της καμπυλότητας, πράγμα που σημαίνει ότι η άλλη κύρια καμπυλότητα σε αυτά τα σημεία πρέπει να είναι μηδέν. Αυτό δημιουργεί ακαμψία στη διεύθυνση κάθετα στην πτύχωση, ένα επιθυμητό χαρακτηριστικό για την κατανάλωση πίτσας, καθώς διατηρεί το σχήμα της για αρκετό χρονικό διάστημα ώστε να καταναλωθεί χωρίς ζημιά. Η ίδια αρχή χρησιμοποιείται για την ενίσχυση κυματοειδών υλικών, όπως το κυματοειδές χαρτόνι και η κυματοειδής γαλβανισμένη λαμαρίνα, καθώς και ορισμένες μορφές Τσιπς.

Παραγωγή

Όπως έχει ήδη αναφερθεί, ο ίδιος ο Γκάους μπόρεσε να προσδιορίσει αυτό το θεώρημα μόνο μετά από μακροχρόνιους υπολογισμούς. Αργότερα, κατέστη δυνατό να απλοποιηθούν σημαντικά οι υπολογισμοί αυτοί. Για παράδειγμα, ισχύει ο τύπος του Μπριόσι:

$K={\frac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\left({\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}\right)$

Όπου $E$, $F$ και $G$ είναι οι συντελεστές της πρώτης θεμελιώδους μορφής ως προς μια παραμετροποίηση $(u,v)\mapsto \varphi (u,v)$. Οι όροι $E_{u}$, $F_{uv}$ κ.λπ. συμβολίζουν την πρώτη και τη δεύτερη μερική παράγωγο σύμφωνα με τις παραμέτρους $u$ και $v$, με τις οποίες παραμετροποιείται η συγκεκριμένη επιφάνεια. Ο τύπος αυτός αποδεικνύεται με την εφαρμογή του ορισμού της καμπυλότητας του Γκάους, του τύπου πολλαπλασιασμού των προσδιοριστών και μιας εξελιγμένης αναπαράστασης των ανώτερων παραγώγων του διανύσματος θέσης της επιφάνειας με συντελεστές της πρώτης θεμελιώδους μορφής.

Το Θαυμαστό Θεώρημα προκύπτει από αυτό ως συνέπεια.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Βαθμωτό πεδίο
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Καμπύλη Μπεζιέ
• Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Τρισδιάστατος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση

Βιβλιογραφία

• Gray, mary (29 Δεκεμβρίου 1997). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Second Edition. CRC Press. ISBN 978-0-8493-7164-6. 
• Callahan, James J. (9 Μαρτίου 2013). The Geometry of Spacetime: An Introduction to Special and General Relativity. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-6736-0. 
• Stoker, J. J. (9 Σεπτεμβρίου 2011). Differential Geometry. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-16547-8. 
• Academy, British (9 Μαρτίου 2006). The Arguments of Time. OUP/British Academy. ISBN 978-0-19-726346-4. 
• Sochi, Taha (14 Σεπτεμβρίου 2022). Introduction to Differential Geometry of Space Curves and Surfaces. Taha Sochi. 
• Abbena, Elsa· Salamon, Simon (6 Σεπτεμβρίου 2017). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. CRC Press. ISBN 978-1-4200-1031-2. 
• Bronstein, Alexander M.· Bronstein, Michael M. (18 Σεπτεμβρίου 2008). Numerical Geometry of Non-Rigid Shapes. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-73301-2. 
• Zeidler, Eberhard (3 Σεπτεμβρίου 2008). Quantum Field Theory II: Quantum Electrodynamics: A Bridge between Mathematicians and Physicists. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-85377-0. 
• Woodward, Lyndon· Bolton, John (2019). A First Course in Differential Geometry: Surfaces in Euclidean Space. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-42493-6. 
• Montiel, Sebasti n· Ros, Antonio (18 Νοεμβρίου 2024). Curves and Surfaces: Second Edition. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-7902-2. 

Παραπομπές

• Roth, S. H. Martin; Diezi, Patrick; Gross, Markus H. (September 2001), «Ray Tracing Triangular Bezier Patches», Computer Graphics Forum 20 (3): 422–432, doi:10.1111/1467-8659.00535 
• Roth, S.H.M.; Diezi, P.; Gross, M.H. (2000), «Triangular Bezier clipping», Proceedings of the Eighth Pacific Conference on Computer Graphics and Applications (PCCGA-00), IEEE Computer Society, doi:10.1109/pccga.2000.883971 
• Yang, Xunnian; Zheng, Jianmin (April 2012), «Shape aware normal interpolation for curved surface shading from polyhedral approximation», The Visual Computer 29 (3): 189–201, doi:10.1007/s00371-012-0715-y 
• Schwarz, Michael; Stamminger, Marc (2006), «Pixel-shader-based curved triangles», SIGGRAPH '06: ACM SIGGRAPH 2006 Research posters, ACM Press, doi:10.1145/1179622.1179680, http://www.mpi-inf.mpg.de/~mschwarz/papers/pscurvedtris-sig06.pdf, ανακτήθηκε στις 2025-03-31 
• Barrera, Tony; Hast, Anders; Bengtsson, Ewert, «Surface Construction with Near Least Square Acceleration based on Vertex Normals on Triangular Meshes», στο: Ollila, Mark, επιμ., SIGRAD 2002, σελ. 43–48, https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:968852/FULLTEXT01.pdf#page=49 
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd έκδοση), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8 .
• Iskovskikh, V.A. (2001), «Ruled surface», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=R/r082790 
• Sharp, John (2008), D-Forms: surprising new 3-D forms from flat curved shapes, Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230,
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0