Ημίτονο και συνημίτονο

Γραφική παράσταση του ημιτόνου (κόκκινο) και του συνημιτόνου (μπλε).

Στην τριγωνομετρία, το ημίτονο της γωνίας $\varphi$ είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα, και το συνημίτονο η προσκείμενη προς την απέναντι.

Ημίτονο

Ιδιότητες
συμβολισμός	$\sin x$ ή $\mathrm {\eta \mu } (x)$
πεδίο ορισμού	$\mathbb {R}$
σύνολο τιμών	$[-1,1]$
μονοτονία	γνησίως αύξουσα στο ${\textstyle [2\kappa \pi -{\frac {\pi }{2}},2\kappa \pi +{\frac {\pi }{2}}]}$ γνησίως φθίνουσα στο ${\textstyle [2\kappa \pi +{\frac {\pi }{2}},2\kappa \pi +{\frac {3\pi }{2}}]}$
ακρότατα	ολικά μέγιστα $x=2\kappa \pi +{\tfrac {\pi }{2}}$ ολικά ελάχιστα $x=2\kappa \pi -{\tfrac {\pi }{2}}$
συμμετρία	περιττή
συνέχεια	$\mathbb {R}$
κυρτότητα	κοίλη στο $[2\kappa \pi ,2\kappa \pi +\pi ]$ κυρτή στο $[2\kappa \pi +\pi ,2\kappa \pi +2\pi ]$
παράγωγος	$\cos x$
ολοκλήρωμα	$-\cos x$
ρίζες	$x=\kappa \pi$ για $\kappa \in \mathbb {Z}$
Σχετικές συναρτήσεις
αντίστροφη	τόξο ημιτόνου

Συνημίτονο

Ιδιότητες
συμβολισμός	$\cos x$ ή $\mathrm {\sigma \upsilon \nu } (x)$
πεδίο ορισμού	$\mathbb {R}$
σύνολο τιμών	$[-1,1]$
μονοτονία	γνησίως αύξουσα στο ${\textstyle [2\kappa \pi +\pi ,2\kappa \pi +2\pi ]}$ γνησίως φθίνουσα στο ${\textstyle [2\kappa \pi ,2\kappa \pi +\pi ]}$.
ακρότατα	ολικά μέγιστα $x=2\kappa \pi$ ολικά ελάχιστα $x=2\kappa \pi +\pi$
συμμετρία	άρτια, κατακόρυφοι άξονες συμμετρίας στα $\kappa \pi$
συνέχεια	$\mathbb {R}$
κυρτότητα	κοίλη στο ${\textstyle [2\kappa \pi -{\frac {\pi }{2}},2\kappa \pi +{\frac {\pi }{2}}]}$ κυρτή στο ${\textstyle [2\kappa \pi +{\frac {\pi }{2}},2\kappa \pi +{\frac {3\pi }{2}}]}$
παράγωγος	$-\sin x$
ολοκλήρωμα	$\cos x$
ρίζες	${\textstyle x=\kappa \pi +{\frac {\pi }{2}}}$ για $\kappa \in \mathbb {Z}$
Σχετικές συναρτήσεις
αντίστροφη	τόξο συνημιτόνου

Στα μαθηματικά, το ημίτονο και το συνημίτονο είναι δύο στενά συνδεδεμένες συναρτήσεις η οποίες έχουν βασικό ρόλο σε αρκετούς κλάδους των μαθηματικών, όπως η τριγωνομετρία και η ανάλυση, και έχουν πλήθος εφαρμογών στην καθημερινή ζωή.

Στη γεωμετρία, ορίζονται ως ο λόγος των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου όπου η μία οξεία γωνία είναι $\varphi$. Η χρήση αυτών των συναρτήσεων μέσω του νόμου των ημιτόνων και του νόμου των συνημιτόνων, επιτρέπει την επίλυση του τριγώνου, δηλαδή των προσδιορισμό των μηκών των πλευρών του και των μέτρων των γωνιών του, όταν μόνο μερικά από αυτά είναι γνωστά. Με την σειρά τους αυτά έχουν πλήθος εφαρμογών στην καθημερινή ζωή, για παράδειγμα στα συστήματα πλοήγησης ή στον τριγωνισμό στην τοπογραφία. Στην φυσική, ο γεωμετρικός ορισμός χρησιμοποιείται στην ανάλυση δυνάμεων σε συνιστώσες λαμβάνοντας τις προβολές τους σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων.

Στην μαθηματική ανάλυση, το ημίτονο είναι το φανταστικό και το συνημίτονο είναι το πραγματικό μέρος της μιγαδικής εκθετικής συνάρτησης, η οποία είναι η ιδιοσυνάρτηση της παραγώγιση. Αυτό σημαίνει ότι το ημίτονο και το συνημίτονο εμφανίζονται πολλές φορές ως λύσεις διαφορικών εξισώσεων, για παράδειγμα σε διάφορα ηλεκτρικά κυκλώματα ή ηλεκτρομαγνητικές εξισώσεις. Στην ανάλυση Φουριέ, συναρτήσεις που ικανοποιούν κάποιες συνθήκες ομαλότητας μπορούν να γραφτούν ως το άθροισμα ημιτόνων/συνημιτόνων της μορφής $\sin(nx)$ ή $\cos(nx)$.

Ορισμός

(Δυναμοσειρά) Το ημίτονο και το συνημίτονο μπορούν να οριστούν για κάθε μιγαδικό αριθμό $x\in \mathbb {C}$ μέσω των δυναμοσειρών

$\sin x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}$,

$\cos x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}$,

ο οποίες συγκλίνουν απόλυτα όπως προκύπτει από το κριτήριο του λόγου.

(Εκθετική συνάρτηση) Μπορούν επίσης να οριστούν μέσω της μιγαδικής εκθετικής συνάρτησης ως

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$,

$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$.

όπου $i$ η φανταστική μονάδα.

(Διαφορική εξίσωση) Το ημίτονο είναι η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $s$ που ικανοποιεί

$s(x)+s''(x)=0$, με $s(0)=0$ και $s'(0)=1$,

και το συνημίτονο είναι η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $C$ που ικανοποιεί

$c(x)+c''(x)=0$, με $c(0)=1$ και $c'(0)=0$.

(Γεωμετρία) Στην γεωμετρία, το $\sin \varphi$ για $\varphi \in [0,\pi /2)$ είναι το μήκος της απέναντι καθέτου σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα μήκους $1$.

Για $\varphi \in (\pi /2,\pi ]$, ορίζουμε

$\sin \varphi =\sin(\pi -\varphi )$, και

$\cos \varphi =-\cos(\pi -\varphi )$

Για $\varphi <0$, ορίζουμε

$\sin \varphi =-\sin(-\varphi )$, και

$\cos \varphi =\cos(-\varphi )$.

Οι υπόλοιπες τιμές ορίζονται ώστε οι συναρτήσεις να είναι περιοδικές με περίοδο $2\pi$.

Απόδειξη ισοδυναμίας ορισμών  

(Δυν $\Leftrightarrow$ Εκθ)  

Οι αποδείξεις της ισοδυναμίας μεταξύ της δυναμοσειράς και του ορισμού μέσω της εκθετικής συνάρτησης, υπάρχουν στο λήμμα για το ημίτονο και το συνημίτονο, αντίστοιχα.

(Δ.Ε $\Leftrightarrow$ Εκθ)  

Οι αποδείξεις της ισοδυναμίας μεταξύ της διαφορικής εξίσωσης και του ορισμού μέσω της εκθετικής συνάρτησης, υπάρχουν στο λήμμα για το ημίτονο και το συνημίτονο, αντίστοιχα.

Απόδειξη  

Ο γεωμετρικός ορισμός είναι καλώς ορισμένος καθώς αν υπάρχουν δύο ορθογώνια τρίγωνα με μία οξεία γωνία ίση, τότε είναι όμοια (καθώς όλες οι γωνίες τους είναι ίσες). Επομένως, αν $\alpha$ είναι το μήκος της προσκείμενης πλευράς, $\beta$ το μήκος της απέναντι πλευράς και $\gamma$ η υποτείνουσα, τότε

${\frac {\alpha }{\alpha '}}={\frac {\beta }{\beta '}}={\frac {\gamma }{\gamma '}}=\lambda \in \mathbb {R}$.

Επομένως, στα δύο τρίγωνα οι λόγοι

${\frac {\alpha }{\gamma }}={\frac {\alpha '}{\gamma '}}\quad$ και $\quad {\frac {\beta }{\gamma }}={\frac {\beta '}{\gamma '}}$

είναι ίσοι, και επομένως το $\sin x$ εξαρτάται μόνο από την γωνία $x$ (και όχι κάποιο συγκεκριμένο ορθογώνιο τρίγωνο.

Όπως θα δούμε παρακάτω στηριζόμενοι καθαρά σε γεωμετρικές αποδείξεις, αποδεικνύουμε

• Τους τύπους για τα αθροίσματα

$\sin(x+y)=\sin x\cos y+cosx\sin y$,

$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$,

• Την Πυθαγόρεια ταυτότητα

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

• Τις ανισοτικές σχέσεις

$\sin x\leq x\leq {\frac {\sin x}{\cos x}}$.

• Τα όρια

$\lim _{h\to 0}\sin h=0\quad$ και $\quad \lim _{h\to 0}\cos h=1$,

$\lim _{h\to 0}{\frac {\sin h}{h}}=1\quad$ και $\lim _{h\to 0}{\frac {\cos h-1}{h}}=0$.

και καταλήγουμε ότι $\sin x$ και $\cos x$ είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις με $(\sin )'=\cos$ και $(\cos )'=-\sin$. Από αυτές προκύπτει ότι

$(\sin )''=(\cos )'=-\sin$

και

$(\cos )''=(-\sin )'=-\cos$,

που δίνουν τις ζητούμενες διαφορικές εξισώσεις μαζί με το γεγονός ότι $\sin 0=0$ και $\cos 0=1$.

Δύο βασικές ταυτότητες

Τύποι αθροίσματος

Θα ξεκινήσουμε με δύο τύπους για το ημίτονο και το συνημίτονο του αθροίσματος δύο γωνιών. Για κάθε $x,y\in \mathbb {R}$ ισχύει ότι

$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$,

και

$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$.

Απόδειξη μέσω της εκθετικής  

Από τον ορισμό μέσω της εκθετικής συνάρτησης έχουμε ότι

${\begin{aligned}&\sin x\cos y+\cos x\sin y\\&\quad ={\frac {1}{2i}}(e^{ix}-e^{-ix}){\frac {1}{2}}(e^{iy}+e^{-iy})+{\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix}){\frac {1}{2i}}(e^{iy}-e^{-iy})\\&\quad ={\frac {1}{4i}}{\big (}(e^{ix}e^{iy}+e^{ix}e^{-iy}-e^{-ix}e^{iy}-e^{-ix}e^{-iy})\\&\qquad \qquad +(e^{iy}e^{ix}+e^{iy}e^{-ix}-e^{-iy}e^{ix}-e^{-iy}e^{-ix}){\big )}\\&\quad ={\frac {1}{2i}}(e^{i(x+y)}-e^{-i(x+y)})\\&\quad =\sin(x+y).\end{aligned}}$.

Αντίστοιχα, για την δεύτερη σχέση έχουμε ότι

${\begin{aligned}&\cos x\cos y-\sin x\sin y\\&\quad ={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix}){\frac {1}{2}}(e^{iy}+e^{-iy})-{\frac {1}{2i}}(e^{ix}-e^{-ix}){\frac {1}{2i}}(e^{iy}-e^{-iy})\\&\quad ={\frac {1}{4}}{\big (}(e^{ix}e^{iy}-e^{ix}e^{-iy}-e^{-ix}e^{iy}+e^{-ix}e^{-iy})\\&\qquad \qquad +(e^{iy}e^{ix}+e^{iy}e^{-ix}+e^{-iy}e^{ix}+e^{-iy}e^{-ix}){\big )}\\&\quad ={\frac {1}{2}}(e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)})\\&\quad =\cos(x+y).\end{aligned}}$.

Γεωμετρική απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του αθροίσματος γωνιών.

Πυθαγόρεια τριγωνομετρική ταυτότητα

Για κάθε $x\in \mathbb {R}$ ισχύει ότι

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$.

Απόδειξη μέσω της εκθετικής (για κάθε $x\in \mathbb {C}$)  

${\begin{aligned}\cos ^{2}x+\sin ^{2}x&=\left({\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})\right)^{2}+\left({\frac {1}{2i}}(e^{ix}-e^{-ix})\right)^{2}\\&={\frac {1}{4}}\left((e^{i2x}+2+e^{-i2x})-(e^{i2x}-2+e^{-i2x})\right)\\&=1\\\end{aligned}}$

Γεωμετρική απόδειξη  

Θεωρούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με μία οξεία γωνία ίση με $x$ και υποτείνουσα ίση με $\rho$. Το μήκος της προσκείμενης πλευράς είναι ίσο με $\rho \cos x$ και της απέναντι είναι ίσο με $\rho \sin x$.

Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα σε αυτό το τρίγωνο έχουμε ότι

$\rho ^{2}\sin ^{2}x+\rho ^{2}\cos ^{2}x=\rho ^{2}$.

Απαλοίφοντας το $\rho >0$, λαμβάνουμε το ζητούμενο.

Όρια, συνέχεια, παραγωγισιμότητα

Θεώρημα —  Το ημίτονο και το συνημίτονο είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, με

$(\sin )'(x)=\cos x\quad$ και $\quad (\cos )'(x)=-\sin x$.

Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος προκύπτει εύκολα από τις ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης και τον αντίστοιχο ορισμό. στην παρακάτω υποενότητα δίνουμε γεωμετρική απόδειξη για αυτό το θεώρημα, που είναι αναγκαίο για να ολοκληρώσουμε την απόδειξη ισοδυναμίας μεταξύ του γεωμετρικού ορισμού και των υπολοίπων.

Απόδειξη μέσω εκθετικής (για κάθε $x\in \mathbb {C}$)  

$(\sin )'(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)={\frac {ie^{ix}+ie^{-ix}}{2i}}={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos x$,

και

$(\cos )'(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)={\frac {ie^{ix}-ie^{-ix}}{2}}=-{\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}=-\sin x.$.

Γεωμετρική απόδειξη

Θα ξεκινήσουμε αποδεικνύοντας την βασική ανισότητα

$\sin x\leq x\leq {\frac {\sin x}{\cos x}}$,

για κάθε $x$, για το οποίο $\sin y\geq 0$ για κάθε $y\in (0,x]$

Απόδειξη  

Σχήμα για την απόδειξη της ανισότητας $\sin x\leq x\leq {\frac {\sin x}{\cos x}}$.

Θεωρούμε το σημείο ${\rm {A}}=(\cos x,\sin x)$ και το σημείο ${\rm {B}}=(1,0)$ στον μοναδιαίο κύκλο.

Στο τρίγωνο ${\rm {OAB}}$ η βάση ${\rm {OB}}=1$ και το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτή είναι ίσο με $\sin x$. Επομένως, το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με

$({\rm {OAB}})={\frac {1}{2}}\cdot 1\cdot \sin x$.

Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα είναι ίσο με

${\frac {1}{2}}\cdot 1^{2}\cdot x={\frac {1}{2}}x$.

Έπειτα, θεωρούμε την εφαπτόμενη στο σημείο ${\rm {B}}$ και έστω ${\rm {\Gamma }}$ το σημείο τομής της με την προέκταση της ${\rm {OA}}$. Επομένως, το τρίγωνο ${\rm {OB\Gamma }}$ είναι ορθογώνιο και όμοιο με αυτό που σχηματίζει το ${\rm {A}}$ με την αρχή των αξόνων, δηλαδή

${\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {\rm {B\Gamma }}{\rm {OB}}}={\frac {\rm {B\Gamma }}{1}}$,

δηλαδή ${\rm {B\Gamma }}={\frac {\sin x}{\cos x}}$.

Το εμβαδόν αυτού του τριγώνου είναι ίσο με

${\frac {1}{2}}\cdot {\rm {OB}}\cdot {\rm {B\Gamma }}={\frac {1}{2}}\cdot 1\cdot {\frac {\sin x}{\cos x}}$.

Τέλος συνδυάζοντας τις σχέσεις των τριών εμβαδών

$({\rm {OAB}})\leq ({\overset {\frown }{\rm {OAB}}})\leq ({\rm {OB\Gamma }})$,

που δίνει την ζητούμενη σχέση.

Έπειτα θα αποδείξουμε ότι

$\lim _{x\to 0}\sin x\quad$ και $\quad \lim _{x\to 0}\cos x=1$.

Απόδειξη  

Από την ανισότητα έχουμε ότι

$\sin x\leq x$

και για $x\in [0,\pi /2)$, ισχύει ότι

$\sin x\geq 0$.

Άρα από το κριτήριο παρεμβολής,

$\lim _{x\to 0}\sin x=0$.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$.

Από τις ιδιότητες των ορίων ισχύει ότι

$\lim _{x\to 0}\sin ^{2}x={\big (}\lim _{x\to 0}\sin x{\big )}^{2}=0$.

Επομένως,

$\lim _{x\to 0}\cos ^{2}x=1-\lim _{x\to 0}\sin ^{2}x=1$.

Καθώς $\cos x>0$ για $x\in [0,\pi /2)$ έχουμε ότι

$\lim _{x\to 0}\cos x=1$.

Με αυτά τα δύο όρια μπορούμε να αποδείξουμε ότι οι συναρτήσεις είναι συνεχείς.

Θεώρημα — Το ημίτονο και το συνημίτονο είναι συνεχείς συναρτήσεις.

Απόδειξη  

Για το ημίτονο έχουμε ότι

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}\sin(x+h)&=\lim _{h\to 0}\left(\sin x\cos h+\cos x\sin h\right)\\&=\sin x\lim _{h\to 0}\cos h+\cos x\lim _{h\to 0}\sin h\\&=\sin x\cdot 1+\cos x\cdot 0\\&=\sin x.\end{aligned}}$

Αντίστοιχα, για το συνημίτονο έχουμε ότι

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}\cos(x+h)&=\lim _{h\to 0}\left(\cos x\cos h-\sin x\sin h\right)\\&=\cos x\lim _{h\to 0}\cos h-\sin x\lim _{h\to 0}\sin h\\&=\cos x\cdot 1+\sin x\cdot 0\\&=\cos x.\end{aligned}}$

Τα εξής όρια είναι πολύ χρήσιμα για να αποδείξουμε ότι το ημίτονο και το συνημίτονο είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Διαισθητικά λένε ότι το ημίτονο κοντά στο μηδέν είναι περίπου $\sin x\approx x$ και το συνημίτονο $\cos x\approx 1-x$, δηλαδή

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

και

$\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{x}}=0$.

Απόδειξη  

Από αυτή την ανισότητα προκύπτει ότι

$\cos x\leq {\frac {\sin x}{x}}\leq 1$.

Από την συνέχεια στο $\cos x$ έχουμε ότι

$\lim _{x\to 0}\cos x=1$.

Επομένως, από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε επίσης ότι

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$.

Πολλαπλασιάζοντας με $\cos x+1$ και χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ορίων ${\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{x}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{x}}\cdot {\frac {1+\cos x}{1+\cos x}}\\&=-\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos ^{2}x}{x\cdot (1+\cos x)}}\\&=-\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}\cdot {\frac {\sin x}{1+\cos x}}\\&=-\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{1+\cos x}}\\&=-1\cdot {\frac {0}{1+1}}=0.\end{aligned}}$

Τώρα μπορούμε να ολοκληρώσουμε την απόδειξη για τις παραγώγους του ημιτόνου και του συνημιτόνου.

Απόδειξη  

Για το ημίτονο έχουμε ότι

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin x}{h}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}}\\&=\sin x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\cos h-1}{h}}+\cos x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\sin h}{h}}\\&=\sin x\cdot 0+\cos x\cdot 1\\&=\cos x.\end{aligned}}$

Για το συνημίτονο έχουμε ότι

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}}\\&=\cos x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\cos h-1}{h}}-\sin x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\sin h}{h}}\\&=\cos x\cdot 0+\cos x\cdot 1\\&=-\sin x.\end{aligned}}$

Ορισμός του π

Η μαθηματική σταθερά $\pi$ μπορεί να οριστεί ως ο ελάχιστος πραγματικός θετικός αριθμός $\pi$ ώστε

$\cos {\frac {\pi }{2}}=0$.

Η ύπαρξη αυτού προκύπτει από την ιδιότητα του ελαχίστου άνω φράγματος και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

Για κάθε $n\in \mathbb {N}$ ισχύει ότι

$\cos x\leq 1-{\frac {x^{2}}{2!}}+\ldots +{\frac {x^{4n}}{(4n)!}}$,

$\cos x\geq 1-{\frac {x^{2}}{2!}}+\ldots -{\frac {x^{4n+2}}{(4n+2)!}}$,

$\sin x\leq x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\dots +{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)!}}$.

$\sin x\geq x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\dots -{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)!}}$.

Απόδειξη  

Από την σχέση

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$,

έχουμε ότι για κάθε πραγματικό $x$

$\cos x\leq 1$.

Από το θεώρημα μέσης τιμής έχουμε ότι

$\sin x-\sin 0\leq x\cdot (\cos x)$.

Θεωρούμε τις συναρτήσεις

$C_{n}(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+\ldots +{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$,

και

$S_{n}(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\dots +{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$.

Θα αποδείξουμε με την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής, ότι για κάθε $n\in \mathbb {N}$,

$(-1)^{n}\cdot (\cos x-C_{n}(x))\leq 0$,

και

$(-1)^{n}\cdot (\sin x-S_{n}(x))\geq 0$.

Από την παράγωγο πολυωνύμων, έχουμε ότι $S_{n}'(x)=C_{n}(x)$ και $C_{n}'(x)=-S_{n}(x)$.

(Βασική περίπτωση) Για $n=0$, έχουμε ότι από την σχέση $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$,

$\cos x\leq 1$.

Για να δείξουμε ότι $\sin x\leq x$ θεωρούμε την συνάρτηση

$f(x)=\sin x-x$

και

$f'(x)=\cos x-1\leq 0$,

άρα η συνάρτηση είναι φθίνουσα και

$f(x)\leq f(0)=0$,

δηλαδή

$\sin x\leq x$.

(Γενική περίπτωση) Από την υπόθεση έχουμε ότι

$\cos x\leq (-1)^{n}C_{n}$

και

$\sin x\geq (-1)^{n}S_{n}$.

Ορίζουμε την συνάρτηση

$f_{n}(x)=(-1)^{n+1}(\cos x-C_{n+1}(x))$,

$f_{n}'(x)=(-1)^{n+1}(-\sin x+S_{n})=(-1)^{n}(\sin x-S_{n})\geq 0$

Άρα το μέγιστο είναι στο $x=0$ δηλαδή

$(-1)^{n+1}(\cos x-C_{n+1}(x))\leq 0$.

Ορίζουμε την συνάρτηση

$g_{n}(x)=(-1)^{n+1}(\sin x-S_{n+1}(x))$.

Τότε

$g_{n}'(x)=(-1)^{n+1}(\cos x-C_{n+1}(x))\geq 0$.

Άρα το μέγιστο είναι στο $x=0$ δηλαδή

$(-1)^{n+1}(\sin x-S_{n+1}(x))\geq 0$

Απόδειξη ύπαρξης π  

Έχουμε ότι $\cos 0=1$. Για $x=2$ έχουμε ότι

$\cos 2\leq 1-{\frac {2^{2}}{2!}}+{\frac {2^{4}}{4!}}=1-2+{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{3}}$.

Επομένως, από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι υπάρχει $x_{0}\in (0,2)$ ώστε $\cos x_{0}=0$. Από την ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος, προκύπτει ότι υπάρχει και ελάχιστη τέτοια τιμή.

Βασικές ιδιότητες

• $\sin {\frac {\pi }{2}}=1$.

Απόδειξη  

Από την Πυθαγόρεια ταυτότητα έχουμε ότι

$\sin ^{2}{\frac {\pi }{2}}=1$.

Καθώς $\cos x>0$ στο ${\textstyle x\in (0,{\frac {\pi }{2}})}$, το $\sin$ είναι αύξουσα σε αυτό το διάστημα και άρα στο ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ έχει τοπικό μέγιστο, άρα δεν μπορεί ${\textstyle \sin {\frac {\pi }{2}}=-1}$ άρα

$\sin {\frac {\pi }{2}}=1$.

• Για κάθε $x\in \mathbb {R}$,

$\sin(x+{\frac {\pi }{2}})=\cos x\quad$ και $\quad \cos(x+{\frac {\pi }{2}})=-\sin x$.

Απόδειξη  

Επομένως,

$\sin(x+{\frac {\pi }{2}})=\sin x\cos {\frac {\pi }{2}}+\cos x\sin {\frac {\pi }{2}}=\cos x$,

$\cos(x+{\frac {\pi }{2}})=\cos x\cos {\frac {\pi }{2}}-\sin x\sin {\frac {\pi }{2}}=-\sin x$.

• $\sin \pi =0$ και $\cos \pi =-1$.

Απόδειξη  

Από τους τύπους για τα αθροίσματα γωνιών

$\sin \pi =\sin({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{2}})=2\sin {\frac {\pi }{2}}\cos {\frac {\pi }{2}}=0$.

και

$\cos \pi =\cos ^{2}{\frac {\pi }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\pi }{2}}=0-1=-1$.

• Για κάθε $x\in \mathbb {R}$,

$\sin(x+\pi )=-\sin x\quad$ και $\quad \cos(x+\pi )=-\cos x$.

Απόδειξη  

Επομένως,

$\sin(x+\pi )=\sin x\cos \pi +\cos x\sin \pi =-\sin x$,

$\cos(x+\pi )=\cos x\cos \pi -\sin x\sin \pi =-\cos x$.

• $\sin 2\pi =1$ και $\cos 2\pi =0$.

Απόδειξη  

Από τους τύπους για τα αθροίσματα γωνιών

$\sin 2\pi =\sin(\pi +\pi )=2\sin \pi \cos \pi =0$.

και

$\cos 2\pi =\cos ^{2}\pi -\sin ^{2}\pi =1-0=1$.

(Περιοδικότητα) Για κάθε $x\in \mathbb {R}$ ισχύει ότι

$\sin(x+2\pi )=\sin x\quad$ και $\quad \cos(x+2\pi )=\cos x$.

Απόδειξη  

Από τους τύπους για τα αθροίσματα έχουμε ότι

$\sin(x+2\pi )=\sin x\cos 2\pi +\cos x\sin 2\pi =\sin x\cdot 1+\cos x\cdot 0=\sin x$

και

$\cos(x+2\pi )=\cos x\cos 2\pi -\sin x\sin 2\pi =\cos x\cdot 1-\sin x\cdot 0=\cos x$.

Ιδιότητες

Βασικές ταυτότητες

• Για κάθε $x\in \mathbb {R}$, ισχύει ότι

$\sin(-x)=-\sin x$,

και

$\cos(-x)=\cos x$.

Απόδειξη  

Αυτό προκύπτει από τον ορισμό της δυναμοσειράς, καθώς η δυναμοσειρά για το ημίτονο αποτελείται μόνο από περιττές δυνάμεις, και αυτή για το συνημίτονο μόνο από άρτιες δυνάμεις. Επομένως,

$\sin(-x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(-x)^{2k+1}}{(2k+1)!}}=-\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}=-\sin x$,

$\cos(-x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(-x)^{2k}}{(2k)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}=\cos x$.

• (Πρόσημα)

• Για κάθε $\kappa \in \mathbb {Z}$, το ημίτονο είναι θετικό στα διαστήματα ${\textstyle (2\kappa \pi ,2\kappa \pi +\pi )}$ και αρνητικό στα διαστήματα ${\textstyle (2\kappa \pi +\pi ,2\kappa \pi +2\pi )}$.

• Για κάθε $\kappa \in \mathbb {Z}$, το συνημίτονο είναι θετικό στα διαστήματα ${\textstyle (2\kappa \pi -{\frac {\pi }{2}},2\kappa \pi +{\frac {\pi }{2}})}$ και αρνητική στα διαστήματα ${\textstyle (2\kappa \pi +{\frac {\pi }{2}},2\kappa \pi +{\frac {3\pi }{2}})}$.

Απόδειξη  

Γνωρίζουμε ότι οι συναρτήσεις επαναλαμάνονται κάθε διάστημα $2\pi$ τιμών, επομένως αρκεί να θεωρήσουμε το διάστημα $[-\pi ,\pi )$. Στο $[0,\pi /2)$ ισχύει ότι $\cos x>0$ από τον ορισμό του $\pi$. Από την ιδιότητα $\cos(-x)=\cos x$ έχουμε ότι $\cos x>0$ στο $(-\pi /2,\pi /2)$.

Για το υπόλοιπο διάστημα, χρησιμοποιώντας ότι $\cos(x+\pi )=-\cos x$ έχουμε ότι η συνάρτηση είναι αρνητική.

Σημείωση: Αυτά δίνουν ότι η ελάχιστη περίοδος των δύο συναρτήσεων είναι $2\pi$.

Απόδειξη  

Η ελαχιστότητα της περιόδου προκύπτει από τον ορισμό του $\pi$. Έστω ότι η ελάχιστη περίοδος είναι $T$, τότε

$\cos T=\cos({\frac {\pi }{2}}+T)=\cos {\frac {\pi }{2}}\cos T-\sin {\frac {\pi }{2}}\sin T=\cos T-\sin T$,

δηλαδή $\sin T=0$ και $\cos T=\pm 1$. Καθώς $T\in [0,\pi /2]$ πρέπει $\cos T=1$ αλλά τότε $T=\pi /2$ λόγω της ελάχιστης ιδιότητες του $\pi /2$.

Αντίστοιχα, για το ημίτονο,

$1=\sin {\frac {\pi }{2}}=\sin({\frac {\pi }{2}}+T)=\sin {\frac {\pi }{2}}\cos T+\cos {\frac {\pi }{2}}\sin T=\cos T$.

Από την ελαχιστότητα του ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$, έχουμε ότι ${\textstyle T\geq {\frac {\pi }{2}}}$.

• (Ρίζα)

• Για κάθε $\kappa \in \mathbb {Z}$, το ημίτονο έχει ρίζες στα $x=\kappa \pi$, και μόνο.
• Για κάθε $\kappa \in \mathbb {Z}$, το συνημίτονο έχει ρίζες στα ${\textstyle x=2\kappa \pi \pm {\frac {\pi }{2}}}$, και μόνο.

Απόδειξη  

Αυτό προκύπτει από την προηγούμενη ιδιότητα για τα πρόσημα και την συνέχεια των συναρτήσεων.

• (Μονοτονία)

• Για κάθε $\kappa \in \mathbb {Z}$, το ημίτονο είναι αύξουσα στα διαστήματα ${\textstyle \left[2\kappa \pi -{\frac {\pi }{2}},2\kappa \pi +{\frac {\pi }{2}}\right]}$ και φθίνουσα στα διαστήματα ${\textstyle \left[2\kappa \pi +{\frac {\pi }{2}},2\kappa \pi +{\frac {3\pi }{2}}\right]}$.
• Για κάθε $\kappa \in \mathbb {Z}$, το συνημίτονο είναι αύξουσα στα διαστήματα ${\textstyle \left[2\kappa \pi ,2\kappa \pi +\pi \right]}$ και φθίνουσα στα διαστήματα ${\textstyle \left[2\kappa \pi +\pi ,2\kappa \pi +2\pi \right]}$.

Απόδειξη  

Αυτό προκύπτει άμεσα από το γεγονός ότι

$\sin '=\cos$

και

$\cos '=-\sin$,

και τα πρόσημα για το ημίτονο και το συνημίτονο.

• (Ακρότατα)

• Το ημίτονο έχει ολικό μέγιστο στα ${\textstyle x=2\kappa \pi +{\frac {\pi }{2}}}$ και ολικό ελάχιστο στα ${\textstyle x=2\kappa \pi -{\frac {\pi }{2}}}$.
• Το συνημίτονο έχει ολικό μέγιστο στα $x=2\kappa \pi$ και ολικό ελάχιστο στα $x=2\kappa \pi +\pi$.

Απόδειξη  

Αυτό προκύπτει άμεσα από τις μονοτονίες των συναρτήσεων.

• (Κυρτότητα)

• Για κάθε $\kappa \in \mathbb {Z}$, το ημίτονο είναι κοίλη στα διαστήματα ${\textstyle \left[2\kappa \pi ,2\kappa \pi +\pi \right]}$ και κυρτή στα διαστήματα ${\textstyle \left[2\kappa \pi +\pi ,2\kappa \pi +2\pi \right]}$.
• Για κάθε $\kappa \in \mathbb {Z}$, το συνημίτονο είναι κοίλη στα διαστήματα ${\textstyle \left[2\kappa \pi -{\frac {\pi }{2}},2\kappa \pi +{\frac {\pi }{2}}\right]}$ και φθίνουσα στα διαστήματα ${\textstyle \left[2\kappa \pi +{\frac {\pi }{2}},2\kappa \pi +{\frac {3\pi }{2}}\right]}$.

Απόδειξη  

Αυτό προκύπτει άμεσα από το γεγονός ότι

$\sin ''=\cos '=-\sin$

και

$\cos ''=(-\sin )'=-\cos$,

και τα πρόσημα για το ημίτονο και το συνημίτονο.

Δείτε επίσης

• Ημίτονο
• Συνημίτονο