Ευκλείδειο σώμα

Στα μαθηματικά, ένα ευκλείδειο σώμα είναι ένα διατεταγμένο σώμα K για το οποίο κάθε μη αρνητικό στοιχείο είναι τετράγωνο: δηλαδή, x ≥ 0 στο K συνεπάγεται x = y² για κάποιο y στοK.

Οι κατασκευάσιμοι αριθμοί σχηματίζουν ένα ευκλείδειο σώμα. Είναι το μικρότερο ευκλείδειο σώμα, καθώς κάθε ευκλείδειο σώμα το περιέχει ως διατεταγμένο υποσώμα. Με άλλα λόγια, οι κατασκευάσιμοι αριθμοί αποτελούν την Ευκλείδεια Κλειστότητα των ρητών αριθμών.

Ιδιότητες

• Κάθε Ευκλείδειο σώμα είναι ένα διατεταγμένο Πυθαγόρειο σώμα, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει.
• Αν το E/F είναι μια πεπερασμένη επέκταση, και το E είναι ευκλείδειο, τότε και το F είναι. Αυτό το «θεώρημα του going-down» είναι συνέπεια του θεωρήματος των Ντίλερ-Ντρες.

Παραδείγματα

• Οι πραγματικοί κατασκευάσιμοι αριθμοί, εκείνα τα (προσημασμένα) μήκη που μπορούν να κατασκευαστούν από ένα ρητό τμήμα με κατασκευές με χάρακα και πυξίδα, σχηματίζουν ένα ευκλείδειο σώμα.

Κάθε πραγματικό κλειστό σώμα είναι ευκλείδειο σώμα. Τα ακόλουθα παραδείγματα είναι επίσης πραγματικά κλειστά σώματα.

• Οι πραγματικοί αριθμοί $\mathbb {R}$ με τις συνήθεις πράξεις και την ταξινόμηση σχηματίζουν ένα ευκλείδειο σώμα.
• Το σώμα των πραγματικών αλγεβρικών αριθμών $\mathbb {R} \cap \mathbb {\overline {Q}}$ είναι ένα Ευκλείδειο σώμα.
• Το σώμα των υπερπραγματικών αριθμών είναι ευκλείδειο σώμα.

Αντιπαραδείγματα

• Οι ρητοί αριθμοί $\mathbb {Q}$ με τις συνήθεις πράξεις και τη διάταξη δεν σχηματίζουν ένα ευκλείδειο σώμα. Επί παραδείγματι, το 2 δεν είναι τετράγωνο στο $\mathbb {Q}$ αφού η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητη. Σύμφωνα με το παραπάνω αποτέλεσμα του θεωρήματος going-down, κανένα αλγεβρικό σώμα αριθμών δεν μπορεί να είναι ευκλείδειο.
• Οι μιγαδικοί αριθμοί $\mathbb {C}$ δεν αποτελούν ένα ευκλείδειο σώμα αφού δεν μπορεί να τους δοθεί η δομή ενός διατεταγμένου σώματος.

Ευκλείδεια κλειστότητα

Η Ευκλείδεια Κλειστότητα ενός διατεταγμένου σώματος K είναι μια επέκταση του K στη τετραγωνική κλειστότητα του K η οποία είναι μέγιστη ως προς το να είναι ένα διατεταγμένο σώμα με τάξη που επεκτείνει αυτή του K. Είναι επίσης το μικρότερο υποσώμα της αλγεβρικής κλειστότητας του K που είναι ευκλείδειο σώμα και είναι διατεταγμένη επέκταση του K.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Διδιάστατος χώρος
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Υπερβολική γεωμετρία
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Διάσταση Κρουλ
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση

Βιβλιογραφία

• Simon, Barry (8 Μαρτίου 2015). P(0)2 Euclidean (Quantum) Field Theory. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-6875-9. 
• Haba, Zbigniew (29 Μαΐου 2023). Lectures on Quantum Field Theory and Functional Integration. Springer Nature. ISBN 978-3-031-30712-6. 
• Fernandez, Roberto· Fröhlich, Jürg (14 Μαρτίου 2013). Random Walks, Critical Phenomena, and Triviality in Quantum Field Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-02866-7. 
• Streit, L. (9 Μαρτίου 2013). Many Degrees of Freedom in Field Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4615-8924-2. 
• Felsager, Bjoern (9 Ιανουαρίου 1998). Geometry, Particles, and Fields. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-98267-0. 
• Bonora, Loriano (4 Μαΐου 2023). Fermions and Anomalies in Quantum Field Theories. Springer Nature. ISBN 978-3-031-21928-3. 
• Alvarez-Gaumé, Luis· Vázquez-Mozo, Miguel A. (26 Νοεμβρίου 2011). An Invitation to Quantum Field Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-23727-0. 
• Fradkin, E. S.· Palchik, Mark Ya (14 Μαρτίου 2013). Conformal Quantum Field Theory in D-dimensions. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-015-8757-0. 
• Shifman, Mikhail A. (1999). ITEP Lectures in Particle Physics and Field Theory. World Scientific. ISBN 978-981-02-2640-4. 
• Shifman, Mikhail (28 Απριλίου 2022). Advanced Topics in Quantum Field Theory: A Lecture Course. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-84042-2. 

Παραπομπές

• Efrat, Ido (2006). Valuations, orderings, and Milnor K-theory. Mathematical Surveys and Monographs. 124. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4041-X. Zbl 1103.12002. 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023. 
• Martin, George E. (1998). Geometric Constructions. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98276-0. Zbl 0890.51015. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• Elman, Richard; Lam, T. Y. (1972), «Quadratic forms over formally real fields and pythagorean fields», American Journal of Mathematics 94 (4): 1155–1194, doi:10.2307/2373568, ISSN 0002-9327 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.
• Theodor Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 81, ISSN 0072-7830). Springer, Berlin u. a. 1957.
• Bartel Leendert van der Waerden: Algebra (= Heidelberger Taschenbücher. Bd. 12) Band 1. 8. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1971, ISBN 3-540-03561-3.
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973), Symmetric Bilinear Forms, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 73, en:Springer-Verlag, ISBN 3-540-06009-X,  
• Rajwade, A. R. (1993), Squares, London Mathematical Society Lecture Note Series, 171, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42668-5,  

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0