Ευθειογενής επιφάνεια

Ορισμός μιας ευθειογενούς επιφάνειας: κάθε σημείο βρίσκεται πάνω σε μια γραμμή

Στη γεωμετρία, μια επιφάνεια S στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο είναι ευθειογενής (ονομάζεται επίσης ρόλλος) εάν μέσω κάθε σημείου της S υπάρχει μια ευθεία που βρίσκεται πάνω στην S. Ενδεικτικά αναφέρονται το επίπεδο, η πλευρική επιφάνεια ενός κυλίνδρου ή κώνου, μια κωνική επιφάνεια με ελλειπτική διευθετούσα, το δεξιό κωνοειδές, το ελικοειδές και η αναπτυκτή εφαπτομένη μιας ομαλής καμπύλης στο χώρο.

Μια ευθειογενής επιφάνεια μπορεί να περιγραφεί ως το σύνολο των σημείων που σαρώνει μια κινούμενη ευθεία γραμμή. Επί παραδείγματι, ένας κώνος σχηματίζεται διατηρώντας ένα σημείο μιας ευθείας σταθερό, ενώ ένα άλλο σημείο κινείται κατά μήκος ενός κύκλου. Μια επιφάνεια είναι διπλά ευθειογενής αν από κάθε σημείο της περνούν δύο διαφορετικές ευθείες που βρίσκονται πάνω στην επιφάνεια. Το υπερβολικό παραβολοειδές και το υπερβολοειδές ενός φύλλου είναι διπλά ευθειογενείς επιφάνειες. Το επίπεδο είναι η μόνη επιφάνεια που περιέχει τουλάχιστον τρεις διακριτές ευθείες μέσω κάθε σημείου της ((Fuchs & Tabachnikov 2007)).

Οι ιδιότητες της ευθειογενούς ή της διπλά ευθειογενούς διατηρούνται από τις προβολικές απεικονίσεις και επομένως αποτελούν έννοιες της προβολικής γεωμετρίας. Στην αλγεβρική γεωμετρία, οι ευθειογενείς επιφάνειες θεωρούνται μερικές φορές επιφάνειες στον αφινικό ή προβολικό χώρο πάνω από ένα πεδίο, αλλά μερικές φορές θεωρούνται επίσης ως αφηρημένες αλγεβρικές επιφάνειες χωρίς ενσωμάτωση στον αφινικό ή προβολικό χώρο, οπότε η λέξη "ευθεία" νοείται ως αφινική ή προβολική ευθεία.

Ορισμός και παραμετρική αναπαράσταση

Κανονική επιφάνεια που παράγεται από δύο καμπύλες Μπεζιέ ως διευθετούσες (κόκκινο, πράσινο)

Μια επιφάνεια στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο ονομάζεται «ευθειογενής επιφάνεια » αν είναι η ένωση μιας διαφορίσιμης μονοπαραμετρικής οικογένειας γραμμών. Τυπικά, μια ευθειογενής επιφάνεια είναι μια επιφάνεια στον $\mathbb {R} ^{3}$ που περιγράφεται από μια παραμετρική αναπαράσταση της μορφής

$\quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)$

για $u$ που μεταβάλλεται σε ένα διάστημα και $v$ που κυμαίνεται στους πραγματικούς. Απαιτείται ότι $\mathbf {r} (u)\neq (0,0,0)$, και τόσο η $\mathbf {c}$ όσο και η $\mathbf {r}$ πρέπει να είναι διαφορίσιμες.

Κάθε ευθεία γραμμή $v\mapsto \mathbf {x} (u_{0},v)$ με σταθερή παράμετρο $u=u_{0}$ ονομάζεται γεννήτρια. Τα διανύσματα $\mathbf {r} (u)$ περιγράφουν τις κατευθύνσεις των γεννητριών. Η καμπύλη $u\mapsto \mathbf {c} (u)$ ονομάζεται διευθετούσα της απεικόνισης. Η διευθετούσα μπορεί να καταρρεύσει σε ένα σημείο (στην περίπτωση ενός κώνου, βλέπε παράδειγμα παρακάτω).

Η ευθειογενής επιφάνεια μπορεί εναλλακτικά να περιγραφεί ως εξής

$\quad \mathbf {x} (u,v)=(1-v)\mathbf {c} (u)+v\mathbf {d} (u)$

με τη δεύτερη ευθεία $\mathbf {d} (u)=\mathbf {c} (u)+\mathbf {r} (u)$. Για να επιστρέψουμε στην πρώτη περιγραφή ξεκινώντας με δύο μη τέμνουσες καμπύλες $\mathbf {c} (u),\mathbf {d} (u)$ ως διευθετούσες, θέτουμε $\mathbf {r} (u)=\mathbf {d} (u)-\mathbf {c} (u).$

Το γεωμετρικό σχήμα των διευθετούσων και των γεννητριών είναι φυσικά ουσιώδες για το σχήμα της γραμμικής επιφάνειας που παράγουν. Ωστόσο, οι συγκεκριμένες παραμετρικές αναπαραστάσεις τους επηρεάζουν επίσης το σχήμα της ευθειογενούς επιφάνειας.

Παραδείγματα

Ορθός κυκλικός κύλινδρος

κύλινδρος, κώνος

Ένας ορθός κυκλικός κύλινδρος δίνεται από την εξίσωση

$x^{2}+y^{2}=a^{2}.$

Μπορεί να παραμετροποιηθεί ως ακολούθως

$\mathbf {x} (u,v)=(a\cos u,a\sin u,v)$

$=(a\cos u,a\sin u,0)+v(0,0,1)$

$=(1-v)(a\cos u,a\sin u,0)+v(a\cos u,a\sin u,1).$

με

$\mathbf {c} (u)=(a\cos u,a\sin u,0),$

$\mathbf {r} (u)=(0,0,1),$

$\mathbf {d} (u)=(a\cos u,a\sin u,1).$

Ορθός κυκλικός κώνος

Ένας ορθός κυκλικός κύλινδρος δίνεται από την εξίσωση

$x^{2}+y^{2}=z^{2}.$

Η παράμετρος μπορεί να οριστεί ως εξής

$\mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,1)+v(\cos u,\sin u,1)$

$=(1-v)(\cos u,\sin u,1)+v(2\cos u,2\sin u,2).$

με

$\mathbf {c} (u)=(\cos u,\sin u,1),$

$\mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,1),$

$\mathbf {d} (u)=(2\cos u,2\sin u,2).$

Στην περίπτωση αυτή θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η κορυφή ως διευθετούσα, δηλ.

$\mathbf {c} (u)=(0,0,0)$

και

$\mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,1)$

ως διευθετούσες .

Για οποιονδήποτε κώνο μπορεί κανείς να επιλέξει την κορυφή ως κατευθυντήρια γραμμή. Αυτό δείχνει ότι η διευθετούσα μιας ευθειογενούς επιφάνειας μπορεί να εκφυλιστεί σε σημείο.

Ελικοειδές

Βλ..Ελικοειδές

Ελικοειδές

Ένα ελικοειδές μπορεί να παραμετροποιηθεί ως εξής

$\mathbf {x} (u,v)=(v\cos u,v\sin u,ku)$

$=(0,0,ku)+v(\cos u,\sin u,0)$

$=(1-v)(0,0,ku)+v(\cos u,\sin u,ku).$

Η διευθετούσα

$\mathbf {c} (u)=(0,0,ku)$

είναι ο άξονας z, οι κατευθύνσεις των γραμμών είναι

$\mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,0)$,

και η δεύτερη διευθετούσα

$\mathbf {d} (u)=(\cos u,\sin u,ku)$

είναι μια έλικα.

Κύλινδρος, κώνος και υπερβολοειδές

υπερβολοειδές ενός φύλλου για $\varphi =63^{\circ }$

Η παραμετρική αναπαράσταση

$\mathbf {x} (u,v)=(1-v)(\cos(u-\varphi ),\sin(u-\varphi ),-1)+v(\cos(u+\varphi ),\sin(u+\varphi ),1)$

έχει δύο οριζόντιους κύκλους ως διευθετούσες. Η πρόσθετη παράμετρος $\varphi$ επιτρέπει τη μεταβολή των παραμετρικών παραστάσεων των κύκλων. Για το

$\varphi =0$ προκύπτει ο κύλινδρος $x^{2}+y^{2}=1$,

$\varphi =\pi /2$ προκύπτει ο κώνος $x^{2}+y^{2}=z^{2}$,

$0<\varphi <\pi /2$ παίρνουμε ένα υπερβολοειδές ενός φύλλου με εξίσωση ${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$ και τους ημιάξονες $a=\cos \varphi ,c=\cot \varphi$.

Ένα υπερβολοειδές ενός φύλλου είναι μια διπλά ευθειογενής επιφάνεια.

Υπερβολικό παραβολοειδές

Υπερβολικό παραβολοειδές

Εάν οι δύο διευθετούσες στο (CD) είναι οι γραμμές

$\mathbf {c} (u)=(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2},\quad \mathbf {d} (u)=(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}$

παίρνει κανείς

$\mathbf {x} (u,v)=(1-v){\big (}(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2}{\big )}+v{\big (}(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}{\big )}$,

το οποίο είναι το υπερβολικό παραβολοειδές που παρεμβάλλει διγραμμικά τα 4 σημεία $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2}$.

Η επιφάνεια είναι διπλά ευθειογενής, επειδή κάθε σημείο βρίσκεται σε δύο γραμμές της επιφάνειας.

Για το παράδειγμα που φαίνεται στο διάγραμμα:

$\mathbf {a} _{1}=(0,0,0),\;\mathbf {a} _{2}=(1,0,0),\;\mathbf {b} _{1}=(0,1,0),\;\mathbf {b} _{2}=(1,1,1).$

Το υπερβολικό παραβολοειδές έχει την εξίσωση $z=xy$.

Λωρίδα Μέμπιους

Κύριο άρθρο: Λωρίδα του Μέμπιους

Λωρίδα του Μέμπιους

Η ευθειογενής επιφάνεια

$\mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)$

με

$\mathbf {c} (u)=(\cos 2u,\sin 2u,0)$ (κύκλος ως διευθετούσα),

$\mathbf {r} (u)=(\cos u\cos 2u,\cos u\sin 2u,\sin u)\quad 0\leq u<\pi ,$

περιέχει μια λωρίδα Μέμπιους.

Το διάγραμμα δείχνει τη λωρίδα του Μἐμπιους για $-0.3\leq v\leq 0.3$.

Ένας απλός υπολογισμός δείχνει $\det(\mathbf {\dot {c}} (0),\mathbf {\dot {r}} (0),\mathbf {r} (0))\neq 0$ (βλέπε επόμενη ενότητα). Συνεπώς, η δεδομένη υλοποίηση μιας λωρίδας Μέμπιους είναι μη αναπτύξιμη. Αλλά υπάρχουν αναπτύξιμες λωρίδες Μέμπιους.

Αναπτυσσόμενες επιφάνειες

Για τον προσδιορισμό του κανονικού διανύσματος σε ένα σημείο χρειάζονται οι μερικές παράγωγοι της παράστασης $\mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)$:

$\mathbf {x} _{u}=\mathbf {\dot {c}} (u)+v\mathbf {\dot {r}} (u)$,

$\mathbf {x} _{v}=\mathbf {r} (u)$.

Επομένως, το κανονικό διάνυσμα είναι

$\mathbf {n} =\mathbf {x} _{u}\times \mathbf {x} _{v}=\mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} +v(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} ).$

Δεδομένου ότι $\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} =0$ (Ένα μικτό γινόμενο με δύο ίσα διανύσματα είναι πάντα 0), το $\mathbf {r} (u_{0})$ είναι ένα εφαπτόμενο διάνυσμα σε οποιοδήποτε σημείο $\mathbf {x} (u_{0},v)$. Τα εφαπτόμενα επίπεδα κατά μήκος αυτής της ευθείας είναι όλα τα ίδια, αν $\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r}$ είναι πολλαπλάσιο του $\mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r}$. Αυτό είναι δυνατό μόνο αν τα τρία διανύσματα $\mathbf {\dot {c}} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {r}$ βρίσκονται σε ένα επίπεδο, δηλαδή αν είναι γραμμικά εξαρτημένα. Η γραμμική εξάρτηση τριών διανυσμάτων μπορεί να ελεγχθεί χρησιμοποιώντας τον προσδιοριστή των διανυσμάτων αυτών:

Τα εφαπτόμενα επίπεδα κατά μήκος της ευθείας $\mathbf {x} (u_{0},v)=\mathbf {c} (u_{0})+v\mathbf {r} (u_{0})$ είναι ίσα, αν

$\det(\mathbf {\dot {c}} (u_{0}),\mathbf {\dot {r}} (u_{0}),\mathbf {r} (u_{0}))=0$.

Μια λεία επιφάνεια με μηδενική γκαουσιανή καμπυλότητα ονομάζεται αναπτύξιμη σε επίπεδο, ή απλά αναπτύξιμη. Η προσδιοριστική συνθήκη μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη της ακόλουθης δήλωσης:

Μια ευθειογενής επιφάνεια $\mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)$ είναι αναπτύξιμη εάν και μόνο εάν

$\det(\mathbf {\dot {c}} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {r} )=0$

σε κάθε σημείο.

Οι γεννήτριες μιας οποιασδήποτε ευθειογενούς επιφάνειας συμπίπτουν με μια οικογένεια των ασυμπτωτικών γραμμών της. Για αναπτυσσόμενες επιφάνειες σχηματίζουν επίσης μια οικογένεια των γραμμών καμπυλότητας της. Μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε αναπτύξιμη επιφάνεια είναι ένας κώνος, ένας κύλινδρος ή μια επιφάνεια που σχηματίζεται από όλες τις εφαπτόμενες μιας καμπύλης χώρου.

Αναπτυκτή σύνδεση δύο ελλείψεων και η ανάπτυξή της

Η καθοριστική συνθήκη για αναπτυσσόμενες επιφάνειες χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό αριθμητικά αναπτυσσόμενων συνδέσεων μεταξύ καμπυλών χώρου (ευθείες). Το διάγραμμα δείχνει μια αναπτυσσόμενη σύνδεση μεταξύ δύο ελλειψοειδών που περιέχονται σε διαφορετικά επίπεδα (το ένα οριζόντιο, το άλλο κατακόρυφο) και την ανάπτυξή της.

Μια εντύπωση της χρήσης των αναπτύξιμων επιφανειών στο Computer Aided Design (CAD) δίνεται στο Interactive design of developable surfaces.

Μια ιστορική έρευνα για τις αξιοποιήσιμες επιφάνειες μπορεί να βρεθεί στο Αξιοποιήσιμες επιφάνειες: History and Application.

Ευθειογενείς επιφάνειες στην αλγεβρική γεωμετρία

Στην αλγεβρική γεωμετρία, οι ευθειογενείς επιφάνειες ορίστηκαν αρχικά ως προβολικές επιφάνειες στον προβολικό χώρο που περιέχουν μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από οποιοδήποτε σημείο. Αυτό συνεπάγεται αμέσως ότι υπάρχει μια προβολική ευθεία στην επιφάνεια μέσω οποιουδήποτε δεδομένου σημείου, και αυτή η συνθήκη χρησιμοποιείται τώρα συχνά ως ορισμός μιας ευθειογενούς επιφάνειας: οι ευθειογενείς επιφάνειες ορίζονται ως αφηρημένες προβολικές επιφάνειες που ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη ότι υπάρχει μια προβολική ευθεία μέσω οποιουδήποτε σημείου. Με άλλα λόγια, είναι δίρρητες με το γινόμενο μιας καμπύλης και μιας προβολικής γραμμής. Μερικές φορές μια ευθειογενής επιφάνεια ορίζεται ως μια επιφάνεια που ικανοποιεί την ισχυρότερη συνθήκη ότι έχει μια ίνα πάνω σε μια καμπύλη με ίνες που είναι προβολικές γραμμές. Αυτό αποκλείει το προβολικό επίπεδο, το οποίο έχει μια προβολική γραμμή σε κάθε σημείο, αλλά δεν μπορεί να γραφτεί ως τέτοια νηματοποίηση.

Οι ευθειογενείς επιφάνειες εμφανίζονται στην ταξινόμηση Ενρίκες των προβολικών μιγαδικών επιφανειών, επειδή κάθε αλγεβρική επιφάνεια διάστασης Κοντάιρα $-\infty$ είναι ευθειογενής επιφάνεια (ή προβολικό επίπεδο, αν χρησιμοποιηθεί ο περιοριστικός ορισμός της ευθειογενούς επιφάνειας). Κάθε ελάχιστη προβολική ευθειογενής επιφάνεια εκτός από το προβολικό επίπεδο είναι η προβολική δέσμη μιας δισδιάστατης διανυσματικής δέσμης πάνω σε κάποια καμπύλη. Οι ευθειογενείς επιφάνειες με βασική καμπύλη γένους 0 είναι οι επιφάνειες Χίρζεμπρουχ.

Ευθειογενείς επιφάνειες στην αρχιτεκτονική

Οι διπλά ευθειογενείς επιφάνειες αποτελούν έμπνευση για καμπύλες υπερβολοειδείς κατασκευές που μπορούν να κατασκευαστούν με ένα πλέγμα από ευθύγραμμα στοιχεία, δηλαδή:

• Υπερβολικο παραβολοειδές, όπως οι σέλες στέγη οροφής (saddle roofs).
• Υπερβολοειδή ενός φύλλου, όπως οι πύργοι ψύξης και ορισμένοι κάδοι απορριμμάτων.

Ο πυραυλοκινητήρας RM-81 Agena χρησιμοποιούσε ευθύγραμμα κανάλια ψύξης τα οποία ήταν τοποθετημένα σε μια ευθειογενής επιφάνεια για να σχηματίσουν το λαιμό του τμήματος του ακροφυσίου.

• 
  Υπερβολικοί πύργοι ψύξης στο σταθμό παραγωγής ενέργειας Didcot, Ηνωμένο Βασίλειο- η επιφάνεια μπορεί να είναι διπλά ευθειογενής.
• 
  Πύργος νερού με διπλή διάταξη και τοροειδή δεξαμενή, του Γιαν Μπογκουσλάφσκι στο Τσιτσάνοφ της Πολωνίας.
• 
  Ο υπερβολοειδής πύργος του λιμανιού Κόμπε, Κόμπε, Ιαπωνία, με διπλή διάταξη.
• 
  Υπερβολοειδής πύργος νερού, 1896 στο Νίζνι Νόβγκοροντ.
• 
  Το πλέγμα του πύργου Σουχόφ στη Μόσχα, τα τμήματα του οποίου είναι διπλά ευθειογενή.
• 
  Η ευθειογενης ελικοειδής σπειροειδής σκάλα μέσα στο Torrazzo της Κρεμόνα.
• 
  Εκκλησία του χωριού στο Σέλο της Σλοβενίας: τόσο η οροφή (κωνική) όσο και ο τοίχος (κυλινδρικός) είναι ευθειογενείς επιφάνειες.
• 
  Μια υπερβολική παραβολοειδής οροφή του σιδηροδρομικού σταθμού της Βαρσοβίας Οχότα στη Βαρσοβία της Πολωνίας.
• 
  Κωνικό καπέλο ευθειογενές.
• 
  Κυματοειδή κεραμίδια στέγης που διέπονται από παράλληλες γραμμές προς μία κατεύθυνση και ημιτονοειδείς προς την κάθετη κατεύθυνση.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Ζαν-Μπατίστ Μαρί Μενιέ ντε Λα Πλας
• Τρισδιάστατος χώρος
• Κοχλίας του Αρχιμήδη
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Zhou, Yayun (2010). Optimization with Ruled Surface. Logos Verlag Berlin GmbH. ISBN 978-3-8325-2616-0. 
• Edge, W. L. (30 Ιουνίου 2011). The Theory of Ruled Surfaces. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-68967-1. 
• the theory of rulled surfaces. CUP Archive. 
• McFarlane, Bob (16 Οκτωβρίου 2000). Modelling with AutoCAD 2000. Routledge. ISBN 978-1-136-07797-5. 
• Wang, Delun· Wang, Wei (11 Μαΐου 2015). Kinematic Differential Geometry and Saddle Synthesis of Linkages. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-25506-3. 
• Hazewinkel, Michiel (6 Δεκεμβρίου 2012). Encyclopaedia of Mathematics: Reaction-Diffusion Equation - Stirling Interpolation Formula. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-015-1235-0. 
• Friedman, Robert· Morgan, John W. (9 Μαρτίου 2013). Smooth Four-Manifolds and Complex Surfaces. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-03028-8. 
• Kaltofen, Erich· Watt, Stephen M. (6 Δεκεμβρίου 2012). Computers and Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4613-9647-5. 
• Friedman, Robert (6 Δεκεμβρίου 2012). Algebraic Surfaces and Holomorphic Vector Bundles. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1688-9. 
• McFarlane, Robert (2002). Modelling with AutoCAD 2002. Routledge. ISBN 978-0-7506-5611-5. 

Παραπομπές

• do Carmo, Manfredo P. (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces (1st έκδοση), Prentice-Hall, ISBN 978-0132125895 
• Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Berlin, doi:10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3 
• Beauville, Arnaud (1996), Complex algebraic surfaces, London Mathematical Society Student Texts, 34 (2nd έκδοση), Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511623936, ISBN 978-0-521-49510-3 
• Edge, W. L. (1931), The Theory of Ruled Surfaces, Cambridge University Press, https://archive.org/details/theoryofruledsur029537mbp . Review: Bulletin of the American Mathematical Society 37 (1931), 791-793,
• Fuchs, D.; Tabachnikov, Serge (2007), «16.5 There are no non-planar triply ruled surfaces», Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics, American Mathematical Society, σελ. 228, ISBN 9780821843161, https://books.google.com/books?id=IiG9AwAAQBAJ&pg=PA228 .
• Li, Ta-tsien, επιμ.. (2011), Problems and Solutions in Mathematics, 3103 (2nd έκδοση), World Scientific Publishing Company, ISBN 9789810234805, https://books.google.com/books?id=lrMOjbLhR2IC&pg=PA156 .
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd έκδοση), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8 .
• Iskovskikh, V.A. (2001), «Ruled surface», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=R/r082790 
• Sharp, John (2008), D-Forms: surprising new 3-D forms from flat curved shapes, Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230,
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0