Επιφανειακό ολοκλήρωμα

Ο ορισμός του επιφανειακού ολοκληρώματος βασίζεται στη διάσπαση της επιφάνειας σε μικρά επιφανειακά στοιχεία.

Στα μαθηματικά, ιδίως στον πολυμεταβλητό λογισμό, το επιφανειακό ολοκλήρωμα είναι μια γενίκευση των πολλαπλών ολοκληρωμάτων για ολοκλήρωση σε επιφάνειες. Μπορεί να θεωρηθεί ως το ανάλογο του διπλού ολοκληρώματος του γραμμικού ολοκληρώματος. Δεδομένης μιας επιφάνειας, μπορεί κανείς να ολοκληρώσει πάνω στην επιφάνεια αυτή ένα κλιμακωτό πεδίο (δηλαδή μια συνάρτηση θέσης που επιστρέφει ένα κλιμάκιο ως τιμή) ή ένα Βαθμωτό πεδίο (δηλαδή μια συνάρτηση που επιστρέφει ένα διάνυσμα ως τιμή). Εάν μια περιοχή R δεν είναι επίπεδη, τότε ονομάζεται επιφάνεια, όπως φαίνεται στην εικόνα.

Τα επιφανειακά ολοκληρώματα έχουν εφαρμογές στη φυσική, ιδίως στις κλασικές θεωρίες του ηλεκτρομαγνητισμού και της μηχανικής των ρευστών.

Απεικόνιση ενός μεμονωμένου επιφανειακού στοιχείου. Τα στοιχεία αυτά γίνονται απειροελάχιστα μικρά, με τη διαδικασία περιορισμού, ώστε να προσεγγίζουν την επιφάνεια.

Επιφανειακά ολοκληρώματα βαθμωτών πεδίων

Ας υποθέσουμε ότι f είναι ένα βαθμωτό, διανυσματικό ή τανυστικό πεδίο που ορίζεται σε μια επιφάνεια S. Για να βρούμε έναν ρητό τύπο για το επιφανειακό ολοκλήρωμα του f πάνω στην S, πρέπει να παραμετροποιήσουμε την S ορίζοντας ένα σύστημα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων στην S, όπως το γεωγραφικό πλάτος και μήκος σε μια σφαίρα. Έστω μια τέτοια παραμετροποίηση r'(s, t), όπου (s, t) μεταβάλλεται σε κάποια περιοχή T στο επίπεδο. Τότε, το επιφανειακό ολοκλήρωμα δίνεται από τη σχέση

$\iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t$

όπου η έκφραση μεταξύ των ράβδων στη δεξιά πλευρά είναι το μέγεθος του διασταυρούμενου γινομένου των μερικών παραγώγων της r(s, t), και είναι γνωστή ως το επιφανειακό στοιχείο (το οποίο, για παράδειγμα, θα έδινε μια μικρότερη τιμή κοντά στους πόλους μιας σφαίρας, όπου οι γραμμές γεωγραφικού μήκους συγκλίνουν πιο δραματικά και οι συντεταγμένες πλάτους είναι πιο συμπαγείς). Το επιφανειακό ολοκλήρωμα μπορεί επίσης να εκφραστεί στην ισοδύναμη μορφή

$\iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t$

όπου g είναι ο προσδιοριστής της πρώτης θεμελιώδους μορφής της επιφανειακής απεικόνισης r(s, t).

Επί παραδείγματι, αν θέλουμε να βρούμε το εμβαδόν της γραφικής παράστασης κάποιας κλιμακωτής συνάρτησης, ας πούμε z = f(x, y), έχουμε

$A=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

όπου r = (x, y, z) = (x, y, f(x, y)). Έτσι ώστε ${\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))$, και ${\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))$. Οπότε,

${\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}$

ο οποίος είναι ο τυπικός τύπος για το εμβαδόν μιας επιφάνειας που περιγράφεται με αυτόν τον τρόπο. Μπορεί κανείς να αναγνωρίσει το διάνυσμα στην προτελευταία γραμμή παραπάνω ως το κανονικό διάνυσμα της επιφάνειας.

Εξαιτίας της παρουσίας του διασταυρούμενου γινομένου, οι παραπάνω τύποι λειτουργούν μόνο για επιφάνειες ενσωματωμένες στον τρισδιάστατο χώρο.

Αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως ολοκλήρωση μιας μορφής όγκου του Ρίμαν πάνω στην παραμετροποιημένη επιφάνεια, όπου ο μετρικός τανυστής δίνεται από την πρώτη θεμελιώδη μορφή της επιφάνειας.

Επιφανειακά ολοκληρώματα διανυσματικών πεδίων

Μια καμπύλη επιφάνεια $S$ με διανυσματικό πεδίο $\mathbf {F}$ που διέρχεται από αυτήν. Τα κόκκινα βέλη (διανύσματα) αναπαριστούν το μέγεθος και την κατεύθυνση του πεδίου σε διάφορα σημεία της επιφάνειας

Επιφάνεια διαιρεμένη σε μικρά τμήματα $dS=du\,dv$ με παραμετροποίηση της επιφάνειας $[u(\mathbf {x} ),v(\mathbf {x} )]$

Η ροή μέσω κάθε επιθέματος ισούται με την κανονική (κάθετη) συνιστώσα του πεδίου $F_{n}(\mathbf {x} )=F(\mathbf {x} )\cos \theta$ στη θέση του επιθέματος $\mathbf {x}$ πολλαπλασιασμένη με την επιφάνεια $dS$. Η κανονική συνιστώσα ισούται με το εσωτερικό γινόμενο του $\mathbf {F} (\mathbf {x} )$ με το μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα $\mathbf {n} (\mathbf {x} )$ (μπλε βέλη)

Η συνολική ροή μέσω της επιφάνειας βρίσκεται με την πρόσθεση $\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \;dS$ για κάθε κηλίδα. Στο όριο που τα μπαλώματα γίνονται απειροελάχιστα μικρά, αυτό είναι το επιφανειακό ολοκλήρωμα
${\textstyle \int _{S}\mathbf {F\cdot n} \;dS}$

Ας θεωρήσουμε ένα διανυσματικό πεδίο v' σε μια επιφάνεια S, δηλαδή για κάθε r = (x, y, z) στην S, το v(r) είναι ένα διάνυσμα.

Το ολοκλήρωμα του v στο S ορίστηκε στην προηγούμενη ενότητα. Ας υποθέσουμε τώρα ότι επιθυμούμε να ολοκληρώσουμε μόνο το την κανονική συνιστώσα του διανυσματικού πεδίου πάνω στην επιφάνεια, με αποτέλεσμα να προκύπτει ένα κλιμάκιο, που συνήθως ονομάζεται ροή που διέρχεται από την επιφάνεια. Ας υποθέσουμε για παράδειγμα ότι έχουμε ένα ρευστό που ρέει μέσα από το S, έτσι ώστε το v(r) να καθορίζει την ταχύτητα του ρευστού στο r. Η ροή ορίζεται ως η ποσότητα του ρευστού που διαρρέει το S ανά μονάδα χρόνου.

Αυτή η απεικόνιση υποδηλώνει ότι αν το διανυσματικό πεδίο εφάπτεται στο S σε κάθε σημείο, τότε η ροή είναι μηδενική, επειδή το ρευστό ρέει απλώς παράλληλα στο S και ούτε μέσα ούτε έξω. Αυτό συνεπάγεται επίσης ότι αν το v δεν ρέει μόνο κατά μήκος του S, δηλαδή αν το v έχει και εφαπτομενική και κανονική συνιστώσα, τότε μόνο η κανονική συνιστώσα συμβάλλει στη ροή. Με βάση αυτό το συλλογισμό, για να βρούμε τη ροή, πρέπει να πάρουμε το εσωτερικό γινόμενο του v με τη μοναδιαία επιφανειακή κανονική n στο S σε κάθε σημείο, το οποίο θα μας δώσει ένα βαθμωτό πεδίο, και να ολοκληρώσουμε το λαμβανόμενο πεδίο όπως παραπάνω. Με άλλα λόγια, πρέπει να ολοκληρώσουμε το v ως προς το διανυσματικό στοιχείο της επιφάνειας $\mathrm {d} \mathbf {s} ={\mathbf {n} }\mathrm {d} s$, το οποίο είναι το διάνυσμα κάθετο στο S στο συγκεκριμένο σημείο, του οποίου το μέγεθος είναι $\mathrm {d} s=\|\mathrm {d} {\mathbf {s} }\|.$

Βρίσκουμε τον τύπο

${\begin{aligned}\iint _{S}{\mathbf {v} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {s} }&=\iint _{S}\left({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} }\right)\,\mathrm {d} s\\&{}=\iint _{T}\left({\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot {{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}} \over \left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|}\right)\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\\&{}=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}$

Το διασταυρούμενο γινόμενο στη δεξιά πλευρά αυτής της έκφρασης είναι μια (όχι απαραίτητα μονοσήμαντη) επιφανειακή κανονική που καθορίζεται από την παραμετροποίηση.

Αυτός ο τύπος ορίζει το ολοκλήρωμα στα αριστερά (προσέξτε την τελεία και τον διανυσματικό συμβολισμό για το στοιχείο της επιφάνειας).

Μπορούμε επίσης να το ερμηνεύσουμε αυτό ως μια ειδική περίπτωση ολοκλήρωσης 2-μορφών, όπου ταυτίζουμε το διανυσματικό πεδίο με μια 1-μορφή, και στη συνέχεια ολοκληρώνουμε το δυϊκό Χοτζ του πάνω στην επιφάνεια. Αυτό είναι ισοδύναμο με την ολοκλήρωση $\left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {n} \right\rangle \mathrm {d} S$ πάνω στην βυθισμένη επιφάνεια, όπου $\mathrm {d} S$ είναι η επαγόμενη μορφή όγκου στην επιφάνεια, που λαμβάνεται από τον εσωτερικό πολλαπλασιασμό της μετρικής Ρίμαν του περιβάλλοντος χώρου με την προς τα έξω κανονική της επιφάνειας.

Επιφανειακά ολοκληρώματα διαφορικών 2-μορφών

Έστω

$f=\mathrm {d} x\mathrm {d} y\,f_{z}+\mathrm {d} y\mathrm {d} z\,f_{x}+\mathrm {d} z\mathrm {d} x\,f_{y}$

είναι μια διαφορική 2-μορφή που ορίζεται σε μια επιφάνεια S, και έστω

$\mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))$

να είναι μια παραμετροποίηση του S που διατηρεί τον προσανατολισμό με $(s,t)$ στο D. Αλλάζοντας συντεταγμένες από $(x,y)$ σε $(s,t)$, οι διαφορικές μορφές μετασχηματίζονται ως εξής

$\mathrm {d} x={\frac {\partial x}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial x}{\partial t}}\mathrm {d} t$

$\mathrm {d} y={\frac {\partial y}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial y}{\partial t}}\mathrm {d} t$

Έτσι $\mathrm {d} x\mathrm {d} y$ μετασχηματίζεται σε ${\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\mathrm {d} s\mathrm {d} t$, όπου ${\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}$ συμβολίζει την Ορίζουσα της Ιακωβιανής της συνάρτησης μετάβασης από $(s,t)$ σε $(x,y)$. Ο μετασχηματισμός των άλλων μορφών είναι παρόμοιος.

Τότε, το επιφανειακό ολοκλήρωμα της f στο S δίνεται από τη σχέση

$\iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t$

όπου

${\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right)$

είναι το επιφανειακό στοιχείο που είναι κάθετο στο S.

Ας σημειώσουμε ότι το επιφανειακό ολοκλήρωμα αυτής της 2-μορφής είναι το ίδιο με το επιφανειακό ολοκλήρωμα του διανυσματικού πεδίου που έχει ως συνιστώσες $f_{x}$, $f_{y}$ και $f_{z}$.

Θεωρήματα που αφορούν επιφανειακά ολοκληρώματα

Διάφορα χρήσιμα αποτελέσματα για επιφανειακά ολοκληρώματα μπορούν να προκύψουν με τη χρήση της διαφορικής γεωμετρίας και του διανυσματικού λογισμού, όπως το θεώρημα της απόκλισης, της μαγνητικής ροής και η γενίκευσή του, το θεώρημα του Στόκες.

Εξάρτηση από την παραμετροποίηση

Ας σημειωθεί ότι ορίσαμε το επιφανειακό ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας μια παραμετροποίηση της επιφάνειας S. Γνωρίζουμε ότι μια δεδομένη επιφάνεια μπορεί να έχει πολλές παραμετροποιήσεις. Παραδείγματος χάριν, αν μετακινήσουμε τις θέσεις του Βόρειου και του Νότιου Πόλου σε μια σφαίρα, το γεωγραφικό πλάτος και το γεωγραφικό μήκος αλλάζουν για όλα τα σημεία της σφαίρας. Ένα φυσικό ερώτημα είναι τότε αν ο ορισμός του επιφανειακού ολοκληρώματος εξαρτάται από την επιλεγμένη παραμετροποίηση. Για ολοκληρώματα βαθμωτών πεδίων, η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι απλή- η τιμή του επιφανειακού ολοκληρώματος θα είναι η ίδια ανεξάρτητα από την παραμετροποίηση που θα χρησιμοποιηθεί.

Για ολοκληρώματα διανυσματικών πεδίων, τα πράγματα είναι πιο περίπλοκα διότι εμπλέκεται η επιφανειακή κανονική. Μπορεί να αποδειχθεί ότι δεδοµένων δύο παραµετροποιήσεων της ίδιας επιφάνειας, των οποίων οι επιφανειακές κανονικές δείχνουν προς την ίδια κατεύθυνση, λαµβάνεται η ίδια τιµή για το επιφανειακό ολοκλήρωµα και µε τις δύο παραµετροποιήσεις. Εάν, ωστόσο, οι κανονικές αυτών των παραμετροποιήσεων έχουν αντίθετες κατευθύνσεις, η τιμή του επιφανειακού ολοκληρώματος που λαμβάνεται με τη μία παραμετροποίηση είναι η αρνητική της τιμής που λαμβάνεται μέσω της άλλης παραμετροποίησης. Προκύπτει ότι δεδομένης μιας επιφάνειας, δεν χρειάζεται να επιμείνουμε σε κάποια μοναδική παραμετροποίηση, αλλά, όταν ολοκληρώνουμε διανυσματικά πεδία, πρέπει να αποφασίσουμε εκ των προτέρων προς ποια κατεύθυνση θα δείχνει η κανονική και στη συνέχεια να επιλέξουμε οποιαδήποτε παραμετροποίηση είναι συνεπής με αυτή την κατεύθυνση.

Ένα άλλο θέμα είναι ότι μερικές φορές οι επιφάνειες δεν έχουν παραμετροποιήσεις που να καλύπτουν ολόκληρη την επιφάνεια. Η προφανής λύση είναι τότε να χωρίσουμε αυτή την επιφάνεια σε διάφορα κομμάτια, να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα επιφάνειας σε κάθε κομμάτι και στη συνέχεια να τα προσθέσουμε όλα μαζί. Πράγματι, έτσι λειτουργούν τα πράγματα, αλλά όταν ολοκληρώνουμε διανυσματικά πεδία, πρέπει και πάλι να προσέξουμε πώς θα επιλέξουμε το διάνυσμα κανονικού σημείου για κάθε κομμάτι της επιφάνειας, έτσι ώστε όταν τα κομμάτια συναρμολογηθούν, τα αποτελέσματα να είναι συνεπή. Για τον κύλινδρο, αυτό σημαίνει ότι αν αποφασίσουμε ότι για την πλαϊνή περιοχή η κανονική θα δείχνει έξω από το σώμα, τότε για τα πάνω και κάτω κυκλικά τμήματα, η κανονική πρέπει να δείχνει επίσης έξω από το σώμα.

Τέλος, υπάρχουν επιφάνειες που δεν δέχονται μια επιφανειακή κανονική σε κάθε σημείο με συνεπή αποτελέσματα (για παράδειγμα, η λωρίδα Möbius). Αν μια τέτοια επιφάνεια χωριστεί σε κομμάτια, σε κάθε κομμάτι επιλεγεί μια παραμετροποίηση και η αντίστοιχη επιφανειακή κανονική, και τα κομμάτια συναρμολογηθούν ξανά, θα διαπιστώσουμε ότι τα κανονικά διανύσματα που προέρχονται από διαφορετικά κομμάτια δεν μπορούν να συμβιβαστούν. Αυτό σημαίνει ότι σε μια συγκεκριμένη διασταύρωση μεταξύ δύο κομματιών, θα έχουμε κανονικά διανύσματα που θα δείχνουν προς αντίθετες κατευθύνσεις. Μια τέτοια επιφάνεια λέγεται μη προσανατολισμένη, και σε αυτού του είδους τις επιφάνειες δεν μπορούμε να μιλάμε για ολοκλήρωση διανυσματικών πεδίων.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Real Functions of Several Variables - Surface... Bookboon. ISBN 978-87-7681-259-1. 
• Leathem, J. G. (26 Μαρτίου 2015). Volume and Surface Integrals Used in Physics. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-49381-0. 
• Ida, Nathan (1 Αυγούστου 2007). Engineering Electromagnetics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-20156-6. 
• Widder, David V. (23 Μαΐου 2012). Advanced Calculus: Second Edition. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13466-6. 
• Telford, W. M.· Geldart, L. P. (26 Οκτωβρίου 1990). Applied Geophysics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-33938-4. 
• Report of the Electrical Conference at Philadelphia in Sept. 1884. U.S. Government Printing Office. 1886. 
• Sharma, A. K. (2004). Advanced Analysis-Ii. Discovery Publishing House. ISBN 978-81-7141-830-5. 
• Cybellium. Mastering Calculus. Cybellium Ltd. ISBN 979-8-8662-4208-5. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-05382-9. 
• Walck, Scott N. (31 Ιανουαρίου 2023). Learn Physics with Functional Programming: A Hands-on Guide to Exploring Physics with Haskell. No Starch Press. ISBN 978-1-7185-0166-9. 

Παραπομπές

• Anton, Howard; Bivens, Irl C.; Davis, Stephen (2016), Calculus: Early Transcendentals (11th έκδοση), John Wiley & Sons, ISBN 978-1-118-88382-2 
• Apostol, Tom M. (1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd έκδοση), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1, https://archive.org/details/calculus01apos 
• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-41129-1 . In particular chapters III and IV.
• Burton, David M. (2011), The History of Mathematics: An Introduction (7th έκδοση), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6 
• Cajori, Florian (1929), A History Of Mathematical Notations Volume II, Open Court Publishing, ISBN 978-0-486-67766-8, https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/page/247 
• Dahlquist, Germund; Björck, Åke (2008), «Chapter 5: Numerical Integration», Numerical Methods in Scientific Computing, Volume I, Philadelphia: SIAM, http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html 
• Feller, William (1966), An introduction to probability theory and its applications, John Wiley & Sons, https://archive.org/details/introductiontopr02fell_0 
• Sharma, R. R.; Zohuri, Bahman (1977). «A general method for an accurate evaluation of exponential integrals E₁(x), x>0». J. Comput. Phys. 25 (2): 199–204. doi:10.1016/0021-9991(77)90022-5. Bibcode: 1977JCoPh..25..199S. 
• Kölbig, K. S. (1983). «On the integral exp(−μt)t^ν−1log^mt dt». Math. Comput. 41 (163): 171–182. doi:10.1090/S0025-5718-1983-0701632-1. 
• Milgram, M. S. (1985). «The generalized integro-exponential function». Mathematics of Computation 44 (170): 443–458. doi:10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4. . 
• Misra, Rama Dhar; Born, M. (1940). «On the Stability of Crystal Lattices. II». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 36 (2): 173. doi:10.1017/S030500410001714X. Bibcode: 1940PCPS...36..173M. 
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1988). «On the evaluation of generalized exponential integrals E_ν(x)». J. Comput. Phys. 78 (2): 278–287. doi:10.1016/0021-9991(88)90050-2. Bibcode: 1988JCoPh..78..278C. 
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1990). «Recent results for generalized exponential integrals». Computer Math. Applic. 19 (5): 21–29. doi:10.1016/0898-1221(90)90098-5. https://www.openaccessrepository.it/record/135675. 
• MacLeod, Allan J. (2002). «The efficient computation of some generalised exponential integrals». J. Comput. Appl. Math. 148 (2): 363–374. doi:10.1016/S0377-0427(02)00556-3. Bibcode: 2002JCoAM.148..363M. 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0