Επιφάνεια εκ περιστροφής

Ένα τμήμα της καμπύλης x = 2 + cos(z) περιστρεφόμενο γύρω από τον άξονα -zs

Ένας τόρος ως ένα τετράγωνο που περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα παράλληλο σε μία από τις διαγωνίους του.

Μια επιφάνεια εκ περιστροφής είναι μια επιφάνεια στον Ευκλείδειο χώρο που δημιουργείται με την περιστροφή μιας καμπύλης (της γενέτειρας) κατά μία πλήρη περιστροφή γύρω από έναν άξονα περιστροφής (που συνήθως δεν τέμνει τη γενέτειρα, εκτός από τα ακραία σημεία της). Ο όγκος που οριοθετείται από την επιφάνεια που δημιουργείται από αυτή την περιστροφή είναι το στερεό της περιστροφής.

Παραδείγματα επιφανειών εκ περιστροφής που δημιουργούνται από μια ευθεία γραμμή είναι οι κυλινδρικές και οι κωνικές επιφάνειες, ανάλογα με το αν η ευθεία είναι παράλληλη με τον άξονα ή όχι. Ένας κύκλος που περιστρέφεται γύρω από οποιαδήποτε διάμετρο δημιουργεί μια σφαίρα της οποίας είναι τότε ένας μεγάλος κύκλος, και αν ο κύκλος περιστραφεί γύρω από έναν άξονα που δεν τέμνει το εσωτερικό του κύκλου, τότε δημιουργεί έναν τόρο που δεν τέμνει τον εαυτό του (δακτυλιοειδής τόρος).

Ιδιότητες

Οι τομές της επιφάνειας εκ περιστροφής που γίνονται από επίπεδα που διέρχονται από τον άξονα ονομάζονται μεσημβρινές τομές. Κάθε μεσημβρινή τομή μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι η γενέτειρα στο επίπεδο που καθορίζεται από αυτήν και τον άξονα.

Τα τμήματα της επιφάνειας εκ περιστροφής που γίνονται από επίπεδα κάθετα στον άξονα είναι κύκλοι.

Ορισμένες ειδικές περιπτώσεις υπερβολοειδών (Μονόχωνο και δίχωνο) και ελλειπτικών παραβολοειδών είναι επιφάνειες περιστροφής. Αυτές μπορούν να αναγνωριστούν ως εκείνες οι τετραγωνικές επιφάνειες των οποίων όλες οι διατομές κάθετες στον άξονα είναι κυκλικές.

Τύποι υπολογισμού εμβαδού

Αν η καμπύλη περιγράφεται από τις παραμετρικές συναρτήσεις x(t), y(t), με t να κυμαίνεται σε κάποιο διάστημα [a,b], και ο άξονας περιστροφής είναι ο y-άξονας, τότε το εμβαδόν της επιφάνειας A_y δίνεται από το ολοκλήρωμα

$A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,$

υπό την προϋπόθεση ότι x'(t) δεν είναι ποτέ αρνητική μεταξύ των τελικών σημείων a και b. Αυτός ο τύπος είναι το ισοδύναμο του μαθηματικού θεωρήματος του Πάππου για το κεντροειδές. Η ποσότητα

${\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt$

προέρχεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα και αντιπροσωπεύει ένα μικρό τμήμα του τόξου της καμπύλης, όπως στον τύπο του μήκους τόξου. Η ποσότητα 2πx(t) είναι η διαδρομή (το κεντροειδές) αυτού του μικρού τμήματος, όπως απαιτείται από το θεώρημα του Πάππου.

Ομοίως, όταν ο άξονας περιστροφής είναι ο x-άξονας και υπό την προϋπόθεση ότι y(t) δεν είναι ποτέ αρνητικός, το εμβαδόν δίνεται από τη σχέση

$A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.$

Αν η συνεχής καμπύλη περιγράφεται από τη συνάρτηση y = f(x), a ≤ x ≤ b, τότε το ολοκλήρωμα γίνεται

$A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx$

για την περιστροφή γύρω από τον άξονα x, και

$A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx$

για περιστροφή γύρω από τον άξονα y (υπό την προϋπόθεση a' ≥ 0). Αυτά προκύπτουν από τον παραπάνω τύπο.

Αυτό μπορεί επίσης να προκύψει από την ολοκλήρωση πολλαπλών μεταβλητών. Εάν μια επίπεδη καμπύλη δίνεται από τη σχέση $\langle x(t),y(t)\rangle$ τότε η αντίστοιχη επιφάνεια εκ περιστροφής της όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα x έχει καρτεσιανές συντεταγμένες που δίνονται από τη σχέση

$\mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle$ with $0\leq \theta \leq 2\pi$.

Τότε το εμβαδόν της επιφάνειας δίνεται από το επιφανειακό ολοκλήρωμα

$A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.$

Ο υπολογισμός των μερικών παραγώγων δίνει

${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\left\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\right\rangle ,$ ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\rangle$

και υπολογίζοντας το Διανυσματικό γινόμενο προκύπτει

${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle =y\left\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle$

όπου χρησιμοποιήθηκε η τριγωνομετρική ταυτότητα $\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$. Με αυτό το Διανυσματικό γινόμενο, έχουμε

${\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}$

όπου χρησιμοποιήθηκε και πάλι η ίδια τριγωνομετρική ταυτότητα. Η παραγωγή για μια επιφάνεια που προκύπτει με περιστροφή γύρω από τον άξονα y είναι παρόμοια.

Επί παραδείγματι, η σφαιρική επιφάνεια με μοναδιαία ακτίνα παράγεται από την καμπύλη y(t) = sin(t), x(t) = cos(t) όταν το t κυμαίνεται στο [0,π]. Το εμβαδόν της είναι επομένως

${\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}$

Για την περίπτωση της σφαιρικής καμπύλης με ακτίνα r, y(x) = √r² − x² περιστρεφόμενη γύρω από τον άξονα x-axis ${\begin{aligned}A&=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}$

Μια ελάχιστη επιφάνεια εκ περιστροφής είναι η επιφάνεια εκ περιστροφής της καμπύλης μεταξύ δύο συγκεκριμένων σημείων που ελαχιστοποιεί το εμβαδόν της επιφάνειας. Ένα βασικό πρόβλημα στον λογισμό των μεταβολών είναι η εύρεση της καμπύλης μεταξύ δύο σημείων που παράγει αυτή την ελάχιστη επιφάνεια εκ περιστροφής.

Υπάρχουν μόνο δύο ελάχιστες επιφάνειες εκ περιστροφής (επιφάνειες εκ περιστροφής που είναι επίσης ελάχιστες επιφάνειες): το επίπεδο και το κατενοειδές.

Εκφράσεις συντεταγμένων

Μια επιφάνεια εκ περιστροφής που δίνεται από την περιστροφή μιας καμπύλης που περιγράφεται από την $y=f(x)$ γύρω από τον άξονα x μπορεί να περιγραφεί πιο απλά από την $y^{2}+z^{2}=f(x)^{2}$. Αυτό δίνει την παραμετροποίηση ως προς $x$ και $\theta$ ως $(x,f(x)\cos(\theta ),f(x)\sin(\theta ))$. Αν αντ' αυτού περιστρέψουμε την καμπύλη γύρω από τον άξονα y, τότε η καμπύλη περιγράφεται από τη σχέση $y=f({\sqrt {x^{2}+z^{2}}})$, οπότε προκύπτει η έκφραση $(x\cos(\theta ),f(x),x\sin(\theta ))$ ως προς τις παραμέτρους $x$ και $\theta$.

Εάν τα x και y ορίζονται ως προς μια παράμετρο $t$, τότε έχουμε μια παραμετροποίηση ως προς $t$ και $\theta$. Αν $x$ και $y$ είναι συναρτήσεις του $t$, τότε η επιφάνεια εκ περιστροφής που προκύπτει από την περιστροφή της καμπύλης γύρω από τον άξονα x περιγράφεται από την $(x(t),y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ))$, και η επιφάνεια εκ περιστροφής που προκύπτει από την περιστροφή της καμπύλης γύρω από τον άξονα y περιγράφεται από την $(x(t)\cos(\theta ),y(t),x(t)\sin(\theta ))$.

Γεωδαισιακές

Οι μεσημβρινοί είναι πάντα γεωδαισιακές σε μια επιφάνεια εκ περιστροφής. Οι άλλες γεωδαισιακές διέπονται από τη σχέση του Κλαιρό.

Τοροειδής

Ένα τοροειδές που παράγεται από ένα τετράγωνο

Μια επιφάνεια εκ περιστροφής με μια οπή, όπου ο άξονας περιστροφής δεν τέμνει την επιφάνεια, ονομάζεται τοροειδές . Παραδείγματος χάριν, όταν ένα ορθογώνιο περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα παράλληλο σε μια από τις ακμές του, τότε παράγεται ένας κοίλος δακτύλιος τετραγωνικής διατομής. Εάν το περιστρεφόμενο σχήμα είναι κύκλος, τότε το αντικείμενο ονομάζεται τόρος.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Gray, mary (29 Δεκεμβρίου 1997). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Second Edition. CRC Press. ISBN 978-0-8493-7164-6. 
• Abbena, Elsa· Salamon, Simon (21 Ιουνίου 2006). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Third Edition. CRC Press. ISBN 978-1-58488-448-4. 
• Protter, Murray H.· Protter, Philip E. (1988). Calculus with Analytic Geometry. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-86720-093-5. 
• Eisenhart, Luther Pfahler (1 Ιανουαρίου 2004). A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-43820-7. 
• Krivoshapko, S. N.· Ivanov, V. N. (25 Φεβρουαρίου 2015). Encyclopedia of Analytical Surfaces. Springer. ISBN 978-3-319-11773-7. 
• Valiron, Georges (1986). The Classical Differential Geometry of Curves and Surfaces. Math Sci Press. ISBN 978-0-915692-39-2. 
• Sūgakkai, Nihon (1993). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. MIT Press. ISBN 978-0-262-59020-4. 
• Waldo, Clarence Abiathar (1895). A Manual of Descriptive Geometry, with Numerous Problems. D.C. Heath and Company. 
• Low, David Allan (1887). Text-book on Practical Solid Or Descriptive Geometry. Longmans, Green, and Company. 
• Watson, William (1873). A Course in Descriptive Geometry. 

Παραπομπές

• Anton, Howard; Bivens, Irl C.; Davis, Stephen (2016), Calculus: Early Transcendentals (11th έκδοση), John Wiley & Sons, ISBN 978-1-118-88382-2 
• Apostol, Tom M. (1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd έκδοση), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1, https://archive.org/details/calculus01apos 
• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-41129-1 . In particular chapters III and IV.
• Burton, David M. (2011), The History of Mathematics: An Introduction (7th έκδοση), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6 
• Cajori, Florian (1929), A History Of Mathematical Notations Volume II, Open Court Publishing, ISBN 978-0-486-67766-8, https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/page/247 
• Dahlquist, Germund; Björck, Åke (2008), «Chapter 5: Numerical Integration», Numerical Methods in Scientific Computing, Volume I, Philadelphia: SIAM, http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html 
• Feller, William (1966), An introduction to probability theory and its applications, John Wiley & Sons, https://archive.org/details/introductiontopr02fell_0 
• Sharma, R. R.; Zohuri, Bahman (1977). «A general method for an accurate evaluation of exponential integrals E₁(x), x>0». J. Comput. Phys. 25 (2): 199–204. doi:10.1016/0021-9991(77)90022-5. Bibcode: 1977JCoPh..25..199S. 
• Kölbig, K. S. (1983). «On the integral exp(−μt)t^ν−1log^mt dt». Math. Comput. 41 (163): 171–182. doi:10.1090/S0025-5718-1983-0701632-1. 
• Milgram, M. S. (1985). «The generalized integro-exponential function». Mathematics of Computation 44 (170): 443–458. doi:10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4. . 
• Misra, Rama Dhar; Born, M. (1940). «On the Stability of Crystal Lattices. II». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 36 (2): 173. doi:10.1017/S030500410001714X. Bibcode: 1940PCPS...36..173M. 
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1988). «On the evaluation of generalized exponential integrals E_ν(x)». J. Comput. Phys. 78 (2): 278–287. doi:10.1016/0021-9991(88)90050-2. Bibcode: 1988JCoPh..78..278C. 
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1990). «Recent results for generalized exponential integrals». Computer Math. Applic. 19 (5): 21–29. doi:10.1016/0898-1221(90)90098-5. https://www.openaccessrepository.it/record/135675. 
• MacLeod, Allan J. (2002). «The efficient computation of some generalised exponential integrals». J. Comput. Appl. Math. 148 (2): 363–374. doi:10.1016/S0377-0427(02)00556-3. Bibcode: 2002JCoAM.148..363M. 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0