Επιτροχοειδής

Επιτροχοειδής για R = 3, r = 1 και h = 1/2

Επιτροχοειδής για R = 3, r = 1 και h = 1 (επικυκλοειδής)

Επιτροχοειδής ονομάζεται η καμπύλη που διαγράφει οποιοδήποτε σταθερό σημείο (εντός ή στην περιφέρεια) κύκλου ο οποίος περιστρέφεται εφαπτόμενος εξωτερικά σε δεύτερο σταθερό κύκλο.

Μπορεί να περιγραφεί με τις εξής παραμετρικές εξισώσεις:

$x=(R+r)\cos(t)-h\cos \left({R+r \over r}t\right),\,$

$y=(R+r)\sin(t)-h\sin \left({R+r \over r}t\right)$

όπου:

• R - η ακτίνα του σταθερού κύκλου
• r - η ακτίνα του περιστρεφόμενου κύκλου
• h - η απόσταση του σημείου από το κέντρο του κύκλου ακτίνας r

Αυτές οι καμπύλες μελετήθηκαν για πρώτη φορά από τον Dürer το 1525. Διάφορες επιτροχοειδείς καμπύλες εμφανίζονται στη συλλογή τεσσάρων βιβλίων που έγραψε με τίτλο: “Εισαγωγή στις μετρήσεις με χάρακα και διαβήτη”. Σε αυτά τα βιβλία ονόμαζε τις επιτροχοειδείς καμπύλες αραχνοειδείς, καθώς οι περισσότερες είχαν το σχήμα ιστού αράχνης. Αργότερα ακολούθησαν και άλλοι σπουδαίοι μαθηματικοί, όπως ο Leibniz και ο Newton το 1686, o L’Hospital το 1690, o Bernoulli το 1725 και ο Euler το 1745. Παράδειγμα επιτροχοειδούς είναι το οβάλ σχήμα του εσωτερικού του κινητήρα Βάνκελ, ένας τύπος κινητήρα εσωτερικής καύσης που εφευρέθηκε από τον Γερμανό μηχανολόγο Φέλιξ Βάνκελ στις αρχές της δεκαετίας του '50. Οι σπειρογράφοι που χρησιμοποιούνται για κατασκευή διαφόρων γεωμετρικών σχημάτων είναι ένα άλλο παράδειγμα επιτροχοειδών (και υποτροχοειδών) καμπυλών.

Όπως, αναφέρθηκε και στον ορισμό το σημείο μπορεί να είναι στην περιφέρεια του κύκλου, εντός αυτού ή εκτός αυτού:

• Αν βρίσκεται εντός του κύκλου, δηλαδή αν h<r τότε ονομάζεται βραχεία επιτροχοειδής (curtate epitrochoid)
• Αν βρίσκεται πάνω στον κύκλο, δηλαδή αν h=r τότε ονομάζεται επικυκλοειδής (epicycloid)
• Αν βρίσκεται εκτός του κύκλου, δηλαδή αν h>r τότε ονομάζεται εκτενής επιτροχοειδής (prolate epitrochoid)

Τέλος, Ο κοχλίας του Πασκάλ είναι μία επιτροχοειδής καμπύλη όπου R=r=h