Επικρατούσα τιμή
Στη στατιστική, η επικρατούσα τιμή είναι η τιμή που εμφανίζεται συχνότερα σε ένα σύνολο τιμών δεδομένων[1]. Εάν η X είναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, η λειτουργία είναι η τιμή x στην οποία η συνάρτηση μάζας πιθανότητας παίρνει τη μέγιστη τιμή της (δηλαδή, x=argmaxxi P(X = xi)). Με άλλα λόγια, είναι η τιμή που είναι πιο πιθανό να δειγματοληπτηθεί.
Όπως ο στατιστικός μέσος όρος και η διάμεσος, η επικρατούσα τιμή είναι ένας τρόπος έκφρασης, σε έναν (συνήθως) ενιαίο αριθμό, σημαντικών πληροφοριών σχετικά με μια τυχαία μεταβλητή ή έναν πληθυσμό. Η αριθμητική τιμή της επικρατούσας τιμής είναι η ίδια με εκείνη του μέσου όρου και της διαμέσου σε μια κανονική κατανομή, ενώ μπορεί να είναι πολύ διαφορετική σε πολύ στρεβλές κατανομές.
Η επικρατούσα τιμή δεν είναι απαραίτητα μοναδικός σε μια δεδομένη διακριτή κατανομή, καθώς η συνάρτηση μάζας πιθανότητας μπορεί να λάβει την ίδια μέγιστη τιμή σε διάφορα σημεία x1, x2, κλπ. Η πιο ακραία περίπτωση εμφανίζεται στις ομοιόμορφες κατανομές, όπου όλες οι τιμές εμφανίζονται εξίσου συχνά.
Ως επικρατούσα τιμή μιας συνεχούς κατανομής πιθανότητας θεωρείται συχνά κάθε τιμή x στην οποία η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας έχει τοπικά μέγιστη τιμή.[2] Όταν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας συνεχούς κατανομής έχει πολλαπλά τοπικά μέγιστα, συνηθίζεται να αναφέρονται όλα τα τοπικά μέγιστα ως επικρατούσες τιμές της κατανομής, οπότε κάθε κορυφή είναι επικρατούσα τιμή. Μια τέτοια συνεχής κατανομή ονομάζεται πολύτροπη σε αντίθεση με την μονοτροπική τιμή).
Στις συμμετρικές μονοτροπικές κατανομές, όπως η κανονική κατανομή, η μέση τιμή (αν ορίζεται), η διάμεσος και η επικρατούσα τιμή συμπίπτουν. Για δείγματα, εάν είναι γνωστό ότι προέρχονται από συμμετρική μονοτροπική κατανομή, η μέση τιμή του δείγματος μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως εκτίμηση της επικρατούσας τιμής πληθυσμού.
Επικρατούσα τιμή ενός δείγματος
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Η επικρατούσα τιμή ενός δείγματος είναι το στοιχείο που εμφανίζεται συχνότερα στη συλλογή. Παραδείγματος χάριν, ο επικρατούσα τιμή του δείγματος [1, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 12, 12, 17] είναι 6. Δεδομένου του καταλόγου δεδομένων [1, 1, 2, 4, 4] ο επικρατούσα τιμή του δεν είναι μοναδική. Ένα σύνολο δεδομένων, σε μια τέτοια περίπτωση, λέγεται ότι είναι διτροπικό, ενώ ένα σύνολο με περισσότερους από δύο τρόπους μπορεί να περιγραφεί ως πολύτροπο.
Σε ένα δείγμα από μια συνεχή κατανομή, όπως [0,935..., 1,211..., 2,430..., 3,668..., 3,874...], η έννοια είναι άχρηστη στην ακατέργαστη μορφή της, καθώς καμία τιμή δεν θα είναι ακριβώς ίδια, οπότε κάθε τιμή θα εμφανίζεται ακριβώς μία φορά. Προκειμένου να εκτιμηθεί ο η επικρατούσα τιμή της υποκείμενης κατανομής, η συνήθης πρακτική είναι η διακριτοποίηση των δεδομένων με την ανάθεση τιμών συχνότητας σε διαστήματα ίσης απόστασης, όπως για την κατασκευή ενός ιστογράμματος, αντικαθιστώντας ουσιαστικά τις τιμές από τα μέσα σημεία των διαστημάτων στα οποία αντιστοιχούν. Η επικρατούσα τιμή είναι τότε η τιμή στην οποία το ιστόγραμμα φτάνει στην κορυφή του. Για δείγματα μικρού ή μεσαίου μεγέθους, το αποτέλεσμα αυτής της διαδικασίας είναι ευαίσθητο στην επιλογή του πλάτους των διαστημάτων, εάν επιλεγεί πολύ στενό ή πολύ ευρύ- συνήθως θα πρέπει να έχουμε ένα σημαντικό κλάσμα των δεδομένων συγκεντρωμένο σε σχετικά μικρό αριθμό διαστημάτων (5 έως 10), ενώ το κλάσμα των δεδομένων που πέφτει εκτός αυτών των διαστημάτων είναι επίσης σημαντικό. Μια εναλλακτική προσέγγιση είναι η εκτίμηση πυκνότητας πυρήνα, η οποία ουσιαστικά θολώνει τα σημειακά δείγματα για να παράγει μια συνεχή εκτίμηση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας, η οποία μπορεί να παρέχει μια εκτίμηση της επικρατούσας τιμής.
Το ακόλουθο παράδειγμα κώδικα MATLAB (ή Octave) υπολογίζει τον τρόπο λειτουργίας ενός δείγματος:
X = sort(x); % x είναι ένα σύνολο δεδομένων με διανύσματα στηλών
indices = find(diff([X, realmax]) > 0); % δείκτες όπου οι επαναλαμβανόμενες τιμές αλλάζουν
[modeL,i] = max (diff([0, indices])); % μεγαλύτερο μήκος παραμονής επαναλαμβανόμενων τιμών
mode = X(indices(i));
Ο αλγόριθμος απαιτεί ως πρώτο βήμα την ταξινόμηση του δείγματος σε αύξουσα σειρά. Στη συνέχεια υπολογίζει τη διακριτή παράγωγο του ταξινομημένου καταλόγου και βρίσκει τους δείκτες όπου η παράγωγος αυτή είναι θετική. Στη συνέχεια υπολογίζει τη διακριτή παράγωγο αυτού του συνόλου δεικτών, εντοπίζει το μέγιστο αυτής της παραγώγου των δεικτών και τέλος αξιολογεί το ταξινομημένο δείγμα στο σημείο όπου εμφανίζεται αυτό το μέγιστο, το οποίο αντιστοιχεί στο τελευταίο μέλος της έκτασης των επαναλαμβανόμενων τιμών.
Σύγκριση του μέσου όρου, της διάμεσου και της Επικρατούσας τιμής
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Βλ. επίσης: Μέση τιμή και διάμεσος

| Τύπος | Περιγραφή | Παράδειγμα | Αποτέλεσμα |
|---|---|---|---|
| Μέση τιμή | θροισμα των τιμών ενός συνόλου δεδομένων διαιρούμενο με τον αριθμό των τιμών | (1+2+2+3+4+7+9) / 7 | 4 |
| Διάμεσος | Μέση τιμή που διαχωρίζει το μεγαλύτερο και το μικρότερο μισό ενός συνόλου δεδομένων | 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 | 3 |
| Επικρατούσα τιμή | Πιο συχνή τιμή σε ένα σύνολο δεδομένων | 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 | 2 |
Χρήση
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Σε αντίθεση με τον μέσο όρο και τη διάμεσο, η έννοια του τρόπου λειτουργίας έχει επίσης νόημα για «ονομαστικά δεδομένα» (δηλαδή, δεν αποτελούνται από αριθμητικές τιμές στην περίπτωση του μέσου όρου ή ακόμη και από διατεταγμένες τιμές στην περίπτωση της διάμεσου). Παραδείγματος χάριν, λαμβάνοντας ένα δείγμα κορεατικών οικογενειακών ονομάτων, μπορεί κανείς να διαπιστώσει ότι το «Kim» εμφανίζεται συχνότερα από οποιοδήποτε άλλο όνομα. Τότε το «Kim» θα ήταν η επικρατούσα τιμή του δείγματος. Σε οποιοδήποτε σύστημα ψηφοφορίας όπου η πλειονότητα καθορίζει τη νίκη, μια ενιαία τυπική τιμή καθορίζει τον νικητή, ενώ ένα αποτέλεσμα πολύτροπο θα απαιτούσε να λάβει χώρα κάποια διαδικασία ισοπαλίας.
Σε αντίθεση με τη διάμεσο, η έννοια του τρόπου λειτουργίας έχει νόημα για οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή που λαμβάνει τιμές από έναν διανυσματικό χώρο, συμπεριλαμβανομένων των πραγματικών αριθμών (ένας μονοδιάστατος διανυσματικός χώρος) και των ακεραίων αριθμών (οι οποίοι μπορούν να θεωρηθούν ενσωματωμένοι στους πραγματικούς αριθμούς). Επί παραδείγματι, μια κατανομή σημείων στο επίπεδο θα έχει τυπικά μια μέση τιμή και μία επικρατούσα τιμή , αλλά η έννοια της διαμέσου δεν ισχύει. Η διάμεσος έχει νόημα όταν υπάρχει γραμμική σειρά στις πιθανές τιμές. Γενικεύσεις της έννοιας της διαμέσου σε χώρους υψηλότερων διαστάσεων είναι η γεωμετρική διάμεσος και το κεντρικό σημείο.
Μοναδικότητα και καθορισμός
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Σε ορισμένες κατανομές πιθανοτήτων, η αναμενόμενη τιμή μπορεί να είναι άπειρη ή απροσδιόριστη, αλλά αν είναι ορισμένη, είναι μοναδική. Η μέση τιμή ενός (πεπερασμένου) δείγματος είναι πάντα ορισμένη. Η διάμεσος είναι η τιμή που είναι τέτοια ώστε τα κλάσματα που δεν την υπερβαίνουν και δεν την υπολείπονται είναι το καθένα τουλάχιστον 1/2. Δεν είναι απαραίτητα μοναδική, αλλά ποτέ δεν είναι άπειρη ή εντελώς απροσδιόριστη. Για ένα δείγμα δεδομένων είναι η «μέση» τιμή όταν ο κατάλογος των τιμών διατάσσεται κατά αύξουσα τιμή, όπου συνήθως για έναν κατάλογο ζυγού μήκους λαμβάνεται ο αριθμητικός μέσος όρος των δύο τιμών που βρίσκονται πιο κοντά στη «μέση». Τέλος, όπως ειπώθηκε προηγουμένως, ο τρόπος δεν είναι απαραίτητα μοναδικός. Ορισμένες παθολογικές κατανομές (για παράδειγμα, η κατανομή Κάντορ) δεν έχουν καθόλου καθορισμένο τρόπο.[4] Για ένα πεπερασμένο δείγμα δεδομένων, ο τρόπος είναι μία (ή περισσότερες) από τις τιμές του δείγματος.
Ιδιότητες
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Υποθέτοντας ότι είναι καθορισμένες και για λόγους απλότητας μοναδικές, οι ακόλουθες είναι μερικές από τις πιο ενδιαφέρουσες ιδιότητες.
- Και οι τρεις μετρήσεις έχουν την ακόλουθη ιδιότητα: Εάν η τυχαία μεταβλητή (ή κάθε τιμή από το δείγμα) υποβληθεί στον γραμμικό ή συγγενή μετασχηματισμό, ο οποίος αντικαθιστά το X με aX + b, το ίδιο ισχύει και για τη μέση τιμή, τη διάμεσο και την μονοεπικρατούσα τιμή.
- Εκτός από εξαιρετικά μικρά δείγματα, η επικρατούσα τιμή είναι ανεπηρέαστη από «ακραίες τιμές» (όπως περιστασιακές, σπάνιες, ψευδείς πειραματικές μετρήσεις). Η διάμεσος είναι επίσης πολύ ανθεκτική στην παρουσία ακραίων τιμών, ενώ ο μέσος όρος είναι μάλλον ευαίσθητος.
- Στις συνεχείς μονότροπες κατανομές η διάμεσος βρίσκεται συχνά μεταξύ του μέσου όρου και της επικρατούσας τιμής , περίπου στο ένα τρίτο της διαδρομής από τον μέσο όρο στον τρόπο. Σε έναν τύπο, median ≈ (2 × mean + mode)/3. Αυτός ο κανόνας, που οφείλεται στον Καρλ Πίρσον, εφαρμόζεται συχνά σε ελαφρώς μη συμμετρικές κατανομές που μοιάζουν με κανονική κατανομή, αλλά δεν ισχύει πάντα και γενικά τα τρία στατιστικά στοιχεία μπορούν να εμφανίζονται με οποιαδήποτε σειρά.[5][6]
- Για μονότροπες κατανομές, ο τρόπος βρίσκεται εντός √3 τυπικών αποκλίσεων του μέσου όρου και η μέση τετραγωνική απόκλιση γύρω από την επικρατούσα τιμή είναι μεταξύ της τυπικής απόκλισης και του διπλάσιου της τυπικής απόκλισης.[7]
Παράδειγμα ασύμμετρης κατανομής
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Ένα παράδειγμα ασύμμετρης κατανομής είναι ο προσωπικός πλούτος: Λίγοι άνθρωποι είναι πολύ πλούσιοι, αλλά μεταξύ αυτών κάποιοι είναι εξαιρετικά πλούσιοι. Ωστόσο, πολλοί είναι μάλλον φτωχοί.

Μια γνωστή κατηγορία κατανομών που μπορεί να είναι αυθαίρετα λοξή, είναι η κατανομή log-κανονική. Προκύπτει από το μετασχηματισμό μιας τυχαίας μεταβλητής X που έχει κανονική κατανομή σε τυχαία μεταβλητή Y' = eX. Τότε ο λογάριθμος της τυχαίας μεταβλητής Y έχει κανονική κατανομή, εξ ου και το όνομα.
Θεωρώντας ότι η μέση τιμή μ του X είναι 0, η διάμεσος του Y θα είναι 1, ανεξάρτητα από την τυπική απόκλιση σ του X . Αυτό συμβαίνει επειδή το X έχει συμμετρική κατανομή, οπότε η διάμεσος του είναι επίσης 0. Ο μετασχηματισμός από το X στο Y είναι μονοτονικός και έτσι βρίσκουμε τη διάμεσο e0 = 1 για το Y.
Όταν η X έχει τυπική απόκλιση σ = 0,25, η κατανομή της Y είναι ασθενώς λοξή. Χρησιμοποιώντας τους τύπους για τη λογαριθμοκανονική κατανομή, βρίσκουμε:
Πράγματι, η διάμεσος βρίσκεται περίπου στο ένα τρίτο της διαδρομής από τη μέση τιμή προς τον τρόπο λειτουργίας.
Όταν X έχει μεγαλύτερη τυπική απόκλιση, σ = 1, η κατανομή της Y είναι έντονα λοξή. Τώρα
Εδώ, ο κανόνας του Πίρσον αποτυγχάνει.
Μονότροπες κατανομές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Μπορεί να αποδειχθεί για μια μονότροπη κατανομή ότι η διάμεσος και η μέση τιμή βρίσκονται εντός (3/5)1/2 ≈ 0,7746 τυπικών αποκλίσεων μεταξύ τους.[8] Σε σύμβολα,
όπου είναι η απόλυτη τιμή.
Μια παρόμοια σχέση ισχύει μεταξύ της διάμεσου και της επικρατούσας τιμής : βρίσκονται σε απόσταση 31/2 ≈ 1,732 τυπικών αποκλίσεων η μία από την άλλη:
Ιστορία
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Ο όρος mode προέρχεται από τον Καρλ Πίρσον το 1895[9].
Ο Πίρσον χρησιμοποιεί τον όρο mode (Επικρατούσα τιμή) εναλλακτικά με τον όρο μέγιστη συντεταγμένη. Σε μια υποσημείωση αναφέρει: «Βρήκα ότι είναι βολικό να χρησιμοποιώ τον όρο "mode"[10] (επικρατούσα τιμή) για την "abscissa" (τετριμμένη) που αντιστοιχεί στην κανονική της μέγιστης συχνότητας».
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
- Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
- Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
- Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
- Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
- Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
- Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
- Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
- Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
Δείτε επίσης
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
- Κατανομή t-Student
- Κανονική κατανομή
- Αλγεβρική θεωρία αριθμών
- Διαφορική γεωμετρία
- Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
- Στατιστικός πληθυσμός
- Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
- Ευκλείδειος χώρος
- Τετραγωνική ρίζα
- Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
- Εφαρμοσμένα μαθηματικά
- Ειδική σχετικότητα
- Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
- Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
- Αλγεβρική γεωμετρία
- Μιγαδικός αριθμός
- Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
- Τυπική απόκλιση
Βιβλιογραφία
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Wells, Ashley (28 Ιανουαρίου 2019). Statistics: An Introduction Using R. Scientific e-Resources. ISBN 978-1-83947-334-0.
- Demidenko, Eugene (22 Αυγούστου 2023). M-statistics: Optimal Statistical Inference for a Small Sample. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-89179-6.
- Kelley, Truman Lee (1947). Fundamentals of Statistics. Harvard University Press. ISBN 978-0-674-33000-9.
- Russo, Riccardo (2003). Statistics for the Behavioural Sciences: An Introduction. Psychology Press. ISBN 978-1-84169-319-4.
- Warner, Rebecca M. (14 Ιανουαρίου 2020). Applied Statistics I: Basic Bivariate Techniques. SAGE Publications. ISBN 978-1-5063-5282-4.
- Coelho, Carlos A. (2024). Statistical Modeling and Applications: Multivariate, Heavy-Tailed, Skewed Distributions and Mixture Modeling, Volume 2. Springer Nature. ISBN 978-3-031-69622-0.
- Steinberg, Wendy J. (2008). Statistics Alive!. SAGE. ISBN 978-1-4129-5657-4.
- Jr, Edward T. Vieira (9 Μαρτίου 2017). Introduction to Real World Statistics: With Step-By-Step SPSS Instructions. Taylor & Francis. ISBN 978-1-351-86981-2.
- Acock, Alan C. (3 Σεπτεμβρίου 2008). A Gentle Introduction to Stata, Second Edition. Stata Press. ISBN 978-1-59718-043-6.
- Hahs-Vaughn, Debbie L.· Lomax, Richard (3 Φεβρουαρίου 2020). An Introduction to Statistical Concepts. Routledge. ISBN 978-1-317-22873-8.
- Ben-Zvi, Dani· Makar, Katie (24 Δεκεμβρίου 2015). The Teaching and Learning of Statistics: International Perspectives. Springer. ISBN 978-3-319-23470-0.
- Whittier, Nancy E.· Wildhagen, Tina (6 Αυγούστου 2024). Statistics for Social Understanding: A Problems-Based Approach. Rowman & Littlefield. ISBN 978-1-5381-7594-1.
- J.K, Sharma (2019). Business Statistics, 5th Edition. Vikas Publishing House. ISBN 978-93-5338-727-3.
Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ Damodar N. Gujarati. Essentials of Econometrics. McGraw-Hill Irwin. 3rd edition, 2006: p. 110.
- ↑ Zhang, C; Mapes, BE; Soden, BJ (2003). «Bimodality in tropical water vapour». Q. J. R. Meteorol. Soc. 129 (594): 2847–2866. doi:. Bibcode: 2003QJRMS.129.2847Z.
- ↑ «AP Statistics Review - Density Curves and the Normal Distributions». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2 Απριλίου 2015. Ανακτήθηκε στις 16 Μαρτίου 2015.
- ↑ Morrison, Kent (23 Ιουλίου 1998). «Random Walks with Decreasing Steps» (PDF). Department of Mathematics, California Polytechnic State University. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 2 Δεκεμβρίου 2015. Ανακτήθηκε στις 16 Φεβρουαρίου 2007.
- ↑ «Relationship between the mean, median, mode, and standard deviation in a unimodal distribution».
- ↑ Hippel, Paul T. von (2005). «Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule». Journal of Statistics Education 13 (2). doi:. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2008-10-14. https://web.archive.org/web/20081014045349/http://www.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.html. Ανακτήθηκε στις 2025-02-23.
- ↑ Bottomley, H. (2004). «Maximum distance between the mode and the mean of a unimodal distribution». Unpublished Preprint. http://www.se16.info/hgb/mode.pdf.
- ↑ Basu, Sanjib; Dasgupta, Anirban (1997). «The mean, median, and mode of unimodal distributions: a characterization». Theory of Probability & Its Applications 41 (2): 210–223. doi:.
- ↑ Pearson, Karl (1895). «Contributions to the Mathematical Theory of Evolution. II. Skew Variation in Homogeneous Material». Philosophical Transactions of the Royal Society of London A 186: 343–414. doi:. Bibcode: 1895RSPTA.186..343P. https://zenodo.org/record/1432104.
- ↑ «Mode - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 22 Φεβρουαρίου 2025.
- Achiezer (Akhiezer), N.I. (2013) [1956]. Theory of approximation. Μτφρ. Hyman, C.J. Dover. ISBN 978-0-486-15313-1. OCLC 1067500225.
- Timan, A.F. (2014) [1963]. Theory of approximation of functions of a real variable. International Series in Pure and Applied Mathematics. 34. Elsevier. ISBN 978-1-4831-8481-4.
- Hastings, Jr., C. (2015) [1955]. Approximations for Digital Computers. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-7559-7.
- Hart, J.F.· Cheney, E.W.· Lawson, C.L.· Maehly, H.J.· Mesztenyi, C.K.· Rice, Jr., J.R.· Thacher, H.C.· Witzgall, C. (1968). Computer Approximations. Wiley. OCLC 0471356301.
- Fox, L.· Parker, I.B. (1968). Chebyshev Polynomials in Numerical Analysis. Oxford mathematical handbooks. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-859614-1. OCLC 9036207.
- Press, WH· Teukolsky, S.A.· Vetterling, W.T.· Flannery, B.P. (2007). «§5.8 Chebyshev Approximation». Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
- Cody, Jr., W.J.· Waite, W. (1980). Software Manual for the Elementary Functions. Prentice-Hall. ISBN 0-13-822064-6. OCLC 654695035.
- Remes (Remez), E. (1934). «Sur le calcul effectif des polynomes d'approximation de Tschebyschef» (στα γαλλικά). C. R. Acad. Sci. 199: 337–340. https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3151h/f337.item.
- Steffens, K.-G. (2006). The History of Approximation Theory: From Euler to Bernstein,. Birkhauser. doi:10.1007/0-8176-4475-X. ISBN 0-8176-4353-2.
- Erdélyi, T. (2008). «Extensions of the Bloch-Pólya theorem on the number of distinct real zeros of polynomials». Journal de théorie des nombres de Bordeaux 20: 281–7. http://www.numdam.org/item/10.5802/jtnb.627.pdf.
- Erdélyi, T. (2009). «The Remez inequality for linear combinations of shifted Gaussians». Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 146: 523–530. doi:.
- Trefethen, L.N. (2020). Approximation theory and approximation practice. SIAM. ISBN 978-1-61197-594-9. Ch. 1–6 of 2013 edition
Πηγές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0
- Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9
- Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7
- Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0.
- Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4.
- Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ
- Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0