Μετάβαση στο περιεχόμενο

Επίπεδη καµπύλη

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στα μαθηματικά, μια επίπεδη καμπύλη[1][2] είναι μια καμπύλη σε ένα επίπεδο που μπορεί να είναι ένα ευκλείδειο χώρο, ένα συγγενές επίπεδο ή ένα προβολικό επίπεδο. Οι πιο συχνά μελετώμενες περιπτώσεις είναι οι λείες επίπεδες καμπύλες (συμπεριλαμβανομένων των τμηματικά λείων επίπεδων καμπυλών) και οι αλγεβρικές επίπεδες καμπύλες. Οι επίπεδες καμπύλες περιλαμβάνουν επίσης τις καμπύλες Ζορντάν (καμπύλες που περικλείουν μια περιοχή του επιπέδου αλλά δεν χρειάζεται να είναι λείες) και τις γραφικές παραστάσεις συνεχών συναρτήσεων.

Συμβολική αναπαράσταση

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια επίπεδη καμπύλη μπορεί συχνά να αναπαρασταθεί σε καρτεσιανές συντεταγμένες με μια άρρητη εξίσωση της μορφής για κάποια συγκεκριμένη συνάρτηση f. Εάν αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί ρητά για το y ή το x - δηλαδή να ξαναγραφεί ως ή για συγκεκριμένη συνάρτηση g ή h - τότε αυτό παρέχει μια εναλλακτική, ρητή, μορφή της αναπαράστασης. Μια επίπεδη καμπύλη μπορεί επίσης συχνά να αναπαρασταθεί σε καρτεσιανές συντεταγμένες με μια παραμετρική εξίσωση της μορφής για συγκεκριμένες συναρτήσεις και

Οι επίπεδες καμπύλες μπορούν επίσης μερικές φορές να αναπαρασταθούν σε εναλλακτικά συστήματα συντεταγμένων, όπως οι πολικές συντεταγμένες που εκφράζουν τη θέση κάθε σημείου σε όρους γωνίας και απόστασης από την αρχή.

Λεία επίπεδη καμπύλη

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια λεια επίπεδη καμπύλη[3] είναι μια καμπύλη σε έναν πραγματικό Ευκλείδειο επίπεδο και είναι μια μονοδιάστατη λεία πολλαπλότητα. Αυτό σημαίνει ότι μια λεία επίπεδη καμπύλη είναι μια επίπεδη καμπύλη που «τοπικά μοιάζει με Ευθεία», με την έννοια ότι κοντά σε κάθε σημείο, μπορεί να απεικονιστεί σε μια γραμμή με μια λεία συνάρτηση. Ισοδύναμα, μια λεία επίπεδη καμπύλη μπορεί να δοθεί τοπικά από μια εξίσωση όπου είναι μια λεία συνάρτηση, και οι μερικές παράγωγοι και δεν είναι ποτέ και οι δύο 0 σε ένα σημείο της καμπύλης.

Καμπύλη αλγεβρικού επιπέδου

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια αλγεβρική επίπεδη καμπύλη[4] είναι μια καμπύλη σε ένα αφινικό ή προβολικό επίπεδο που δίνεται από μια πολυωνυμική εξίσωση όπου F είναι ένα ομογενές πολυώνυμο, στην προβολική περίπτωση).

Οι αλγεβρικές καμπύλες έχουν μελετηθεί εκτενώς από τον 18ο αιώνα.

Κάθε αλγεβρική επίπεδη καμπύλη έχει έναν βαθμό, τον βαθμό της εξίσωσης ορισμού, ο οποίος είναι ίσος, στην περίπτωση ενός αλγεβρικά κλειστού σώματος, με τον αριθμό των τομών της καμπύλης με μια ευθεία σε γενική θέση. Παραδείγματος χάριν, ο κύκλος που δίνεται από την εξίσωση έχει βαθμό 2.

Οι μη-ιδιάζουσες επίπεδες αλγεβρικές καμπύλες βαθμού 2 ονομάζονται κωνικές τομές και η προβολική τους ολοκλήρωση είναι όλες ισομορφικές με την προβολική ολοκλήρωση του κύκλου (δηλαδή η προβολική καμπύλη της εξίσωσης ). Οι επίπεδες καμπύλες 3ου βαθμού ονομάζονται κυβικές επίπεδες καμπύλες και, αν είναι μη-ιδιάζουσες, ελλειπτικές καμπύλες. Αυτές του βαθμού 4 ονομάζονται τεταρτογενείς επίπεδες καμπύλες.

Πολυάριθμα παραδείγματα επίπεδων καμπυλών παρουσιάζονται στην Συλλογή καμπυλών[5][6] και απαριθμούνται στη Λίστα καμπυλών[7]. Οι αλγεβρικές καμπύλες βαθμού 1 ή 2 παρουσιάζονται εδώ (μια αλγεβρική καμπύλη βαθμού μικρότερου από 3 περιέχεται πάντα σε ένα επίπεδο):

Όνομα Άρρητη συνάρτηση Παραμετρικές εξισώσεις Ως Συνάρτηση Διάγραμμα
Ευθεία
Κύκλος framless
Παραβολή
Έλλειψη framless
Υπερβολή
  • Meserve, Bruce E. (1983), Fundamental Concepts of Geometry, Dover Publications, ISBN 978-0-486-63415-9 
  • Miller, Charles D.· Lial, Margaret L.· Schneider, David I. (1990). Fundamentals of College Algebra (3rd έκδοση). Scott Foresman/Little. σελ. 381. ISBN 978-0-673-38638-0. 
  • Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley 
  • Olivier Faugeras and Q.T. Luong (2001). The Geometry of Multiple Images. MIT Press. ISBN 978-0-262-06220-6. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  1. «Geometry of Plane Curves - Millersville University» (PDF). 
  2. Weisstein, Eric W. «Plane Curve». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 26 Σεπτεμβρίου 2024. 
  3. «Smooth plane curves: definition». Mathematics Stack Exchange (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 26 Σεπτεμβρίου 2024. 
  4. Weisstein, Eric W. «Algebraic Curve». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 26 Σεπτεμβρίου 2024. 
  5. «Famous Curves Index - MacTutor History of Mathematics». mathshistory.st-andrews.ac.uk. Ανακτήθηκε στις 26 Σεπτεμβρίου 2024. 
  6. «Visual Dictionary of Special Plane Curves». xahlee.info. Ανακτήθηκε στις 26 Σεπτεμβρίου 2024. 
  7. Lockwood, Edward Harrington (1967). A Book of Curves. Cambridge University Press. ISBN 978-1-001-22411-4.