Επίλυση εξισώσεων

{\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}

Ο τετραγωνικός τύπος, η συμβολική λύση της τετραγωνικής εξίσωσης

ax 2 + bx + c = 0

Στα μαθηματικά, ο όρος επίλυση εξισώσεων^[1] σημαίνει την εύρεση των λύσεων μιας εξίσωσης, οι οποίες είναι οι τιμές (αριθμοί, συναρτήσεις, σύνολα κ.λπ.) που πληρούν τη συνθήκη που δηλώνεται από την εξίσωση. Τυπικά, αυτή αποτελείται από δύο εκφράσεις που συνδέονται με ένα σύμβολο ισότητας. Κατά την αναζήτηση μιας λύσης, μία ή περισσότερες μεταβλητές ορίζονται ως άγνωστοι. Η λύση είναι μια ανάθεση τιμών στις άγνωστες μεταβλητές, που καθιστά την ισότητα της εξίσωσης αληθή. Με άλλα λόγια, η λύση είναι μια τιμή ή μια συλλογή τιμών (μία για κάθε άγνωστο) τέτοια ώστε, όταν αντικατασταθούν οι άγνωστοι, η εξίσωση να γίνει ισότητα. Η λύση μιας εξίσωσης ονομάζεται συχνά ρίζα της εξίσωσης, ιδίως αλλά όχι μόνο για πολυωνυμικές εξισώσεις. Το σύνολο όλων των λύσεων μιας εξίσωσης είναι το σύνολο των λύσεών της.

Μια εξίσωση μπορεί να επιλυθεί είτε αριθμητικά είτε συμβολικά. Η αριθμητική επίλυση μιας εξίσωσης σημαίνει ότι μόνο αριθμοί γίνονται δεκτοί ως λύσεις. Η συμβολική επίλυση μιας εξίσωσης σημαίνει ότι μπορούν να χρησιμοποιηθούν εκφράσεις για την αναπαράσταση των λύσεων.

Επί παραδείγματι, η εξίσωση $x + y = 2 x - 1$ επιλύεται για τον άγνωστο $x$ ^[2] με την έκφραση $x = y + 1$ , διότι αντικαθιστώντας $y + 1$ με $x$ στην εξίσωση προκύπτει $(y + 1) + y = 2(y + 1) - 1$ , μια αληθής δήλωση. Είναι επίσης δυνατό να θεωρήσουμε τη μεταβλητή $y$ ως τον άγνωστο, και τότε η εξίσωση λύνεται με $y = x - 1$ . Ή $x$ και $y$ μπορούν και οι δύο να θεωρηθούν ως άγνωστοι, και τότε υπάρχουν πολλές λύσεις στην εξίσωση- μια συμβολική λύση είναι $(x, y) = (a + 1, a)$ , όπου η μεταβλητή $a$ μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Η υλοποίηση μιας συμβολικής λύσης με συγκεκριμένους αριθμούς δίνει μια αριθμητική λύση, για παράδειγμα, $a = 0$ δίνει $(x, y) = (1, 0)$ (δηλαδή $x = 1, y = 0$ ), και $a = 1$ δίνει $(x, y) = (2, 1)$ .

Η διάκριση μεταξύ γνωστών μεταβλητών και άγνωστων μεταβλητών γίνεται γενικά στη διατύπωση του προβλήματος, με φράσεις όπως «μια εξίσωση “στο” $x$ και $y$ », ή «λύστε “για” $x$ και $y$ », οι οποίες υποδεικνύουν τους αγνώστους, εδώ $x$ και $y$ . Ωστόσο, είναι σύνηθες να διατηρούμε τα $x$ , $y$ , $z$ , ... για να δηλώσουμε τους αγνώστους και να χρησιμοποιούμε τα $a$ , $b$ , $c$ , ... για να δηλώσουμε τις γνωστές μεταβλητές, οι οποίες συχνά ονομάζονται παράμετροι. Αυτό συμβαίνει συνήθως όταν εξετάζουμε πολυωνυμικές εξισώσεις^[3], όπως οι τετραγωνικές εξισώσεις. Ωστόσο, για ορισμένα προβλήματα, όλες οι μεταβλητές μπορούν να αναλάβουν οποιονδήποτε ρόλο.

Περιλήψεις

Μια γενική μορφή μιας εξίσωσης είναι:

f\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)=c,

όπου $f$ είναι μια συνάρτηση, $x 1, ..., x n$ είναι οι άγνωστοι και $c$ είναι μια σταθερά. Οι λύσεις της είναι τα στοιχεία της αντίστροφης εικόνας (ίνα)

f^{-1}(c)={\bigl \{}(a_{1},\dots ,a_{n})\in D\mid f\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)=c{\bigr \}},

όπου $D$ είναι το πεδίο της συνάρτησης $f$ . Το σύνολο των λύσεων μπορεί να είναι το κενό σύνολο (δεν υπάρχουν λύσεις), ένα μονοσύνολο (υπάρχει ακριβώς μία λύση), πεπερασμένο ή άπειρο (υπάρχουν άπειρες λύσεις).

Παραδείγματος χάριν, μια εξίσωση όπως

3x+2y=21z,

με αγνώστους $x, y$ και $z$ , μπορεί να τεθεί στην παραπάνω μορφή αφαιρώντας $21 z$ και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης, ώστε να προκύψει

3x+2y-21z=0

Σε αυτή τη συγκεκριμένη περίπτωση δεν υπάρχει μόνο μία λύση, αλλά ένα άπειρο σύνολο λύσεων, το οποίο μπορεί να γραφτεί με τη χρήση του συμβολισμού του κατασκευαστή συνόλων ως εξής

{\bigl \{}(x,y,z)\mid 3x+2y-21z=0{\bigr \}}.

Μια συγκεκριμένη λύση είναι $x = 0, y = 0, z = 0$ . Δύο άλλες λύσεις είναι $x = 3, y = 6, z = 1$ , και $x = 8, y = 9, z = 2$ . Υπάρχει ένα μοναδικό επίπεδο στον τρισδιάστατο χώρο που διέρχεται από τα τρία σημεία με αυτές τις συντεταγμένες, και το επίπεδο αυτό είναι το σύνολο όλων των σημείων των οποίων οι συντεταγμένες είναι λύσεις της εξίσωσης.

Σύνολα λύσεων

Το σύνολο λύσεων ενός δεδομένου συνόλου εξισώσεων ή ανισοτήτων είναι το σύνολο όλων των λύσεών του, όπου λύση είναι μια πλειάδα τιμών, μία για κάθε άγνωστο, που ικανοποιεί όλες τις εξισώσεις ή ανισότητες. Εάν το σύνολο λύσεων είναι κενό, τότε δεν υπάρχουν τιμές των αγνώστων που να ικανοποιούν ταυτόχρονα όλες τις εξισώσεις και ανισότητες.

Για ένα απλό παράδειγμα, ας θεωρήσουμε την εξίσωση

x^{2}=2.

Η εξίσωση αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως μια διοφαντική εξίσωση, δηλαδή μια εξίσωση για την οποία αναζητούνται μόνο ακέραιες λύσεις. Στην περίπτωση αυτή, το σύνολο λύσεων είναι το κενό σύνολο, αφού το 2 δεν είναι το τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού. Ωστόσο, αν αναζητήσει κανείς πραγματικές λύσεις, υπάρχουν δύο λύσεις, √2 και –√2; - με άλλα λόγια, το σύνολο των λύσεων είναι ${\sqrt 2, - \sqrt 2}$ .

Όταν σε μια εξίσωση περιέχονται πολλοί άγνωστοι και όταν έχουμε πολλές εξισώσεις με περισσότερους αγνώστους από ό,τι εξισώσεις, το σύνολο των λύσεων είναι συχνά άπειρο. Στην περίπτωση αυτή, οι λύσεις δεν μπορούν να απαριθμηθούν. Για την αναπαράστασή τους, είναι συχνά χρήσιμη μια παραμετροποίηση, η οποία συνίσταται στην έκφραση των λύσεων ως προς ορισμένους από τους αγνώστους ή τις βοηθητικές μεταβλητές. Αυτό είναι πάντα δυνατό όταν όλες οι εξισώσεις είναι γραμμικές.

Τέτοια άπειρα σύνολα λύσεων μπορούν φυσικά να ερμηνευθούν ως γεωμετρικά σχήματα, όπως γραμμές, καμπύλες (βλέπε εικόνα), επίπεδα και γενικότερα αλγεβρικές ποικιλίες ή πολλαπλές. Ειδικότερα, η αλγεβρική γεωμετρία μπορεί να θεωρηθεί ως η μελέτη των συνόλων λύσεων των αλγεβρικών εξισώσεων.

Μέθοδοι επίλυσης

Οι μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων εξαρτώνται γενικά από τον τύπο της εξίσωσης, τόσο από το είδος των εκφράσεων στην εξίσωση όσο και από το είδος των τιμών που μπορούν να λάβουν οι άγνωστοι. Η ποικιλία στους τύπους των εξισώσεων είναι μεγάλη, το ίδιο και οι αντίστοιχες μέθοδοι. Παρακάτω αναφέρονται μόνο μερικοί συγκεκριμένοι τύποι.

Γενικά, δεδομένης μιας κατηγορίας εξισώσεων, μπορεί να μην υπάρχει γνωστή συστηματική μέθοδος (αλγόριθμος) που να εγγυάται ότι θα λειτουργήσει. Αυτό μπορεί να οφείλεται στην έλλειψη μαθηματικών γνώσεων- ορισμένα προβλήματα λύθηκαν μόνο μετά από προσπάθειες αιώνων. Αλλά αυτό αντικατοπτρίζει επίσης ότι, γενικά, δεν μπορεί να υπάρχει τέτοια μέθοδος: ορισμένα προβλήματα είναι γνωστό ότι δεν επιλύονται με αλγόριθμο, όπως το δέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ, το οποίο αποδείχθηκε άλυτο το 1970.

Για αρκετές κατηγορίες εξισώσεων έχουν βρεθεί αλγόριθμοι για την επίλυσή τους, μερικοί από τους οποίους έχουν υλοποιηθεί και ενσωματωθεί σε συστήματα άλγεβρας υπολογιστών, αλλά συχνά δεν απαιτούν πιο εξελιγμένη τεχνολογία από μολύβι και χαρτί. Σε ορισμένες άλλες περιπτώσεις, είναι γνωστές ευρετικές μέθοδοι οι οποίες είναι συχνά επιτυχείς αλλά δεν είναι εγγυημένο ότι θα οδηγήσουν στην επιτυχία.

Δοκιμή και σφάλμα, εμπνευσμένη εικασία

Εάν το σύνολο λύσεων μιας εξίσωσης περιορίζεται σε ένα πεπερασμένο σύνολο (όπως συμβαίνει με εξισώσεις στην μοδιακή αριθμητική, για παράδειγμα), ή μπορεί να περιοριστεί σε έναν πεπερασμένο αριθμό δυνατοτήτων (όπως συμβαίνει με ορισμένες διοφαντικές εξισώσεις), το σύνολο λύσεων μπορεί να βρεθεί δοκιμάζοντας κάθε μία από τις πιθανές τιμές (υποψήφιες λύσεις). Ενδέχεται, ωστόσο, ο αριθμός των δυνατοτήτων που πρέπει να εξεταστούν, αν και πεπερασμένος, να είναι τόσο μεγάλος ώστε η εξαντλητική αναζήτηση να μην είναι πρακτικά εφικτή- αυτό αποτελεί, στην πραγματικότητα, απαίτηση για ισχυρές μεθόδους κρυπτογράφησης.

Όπως συμβαίνει με όλα τα είδη επίλυσης προβλημάτων, η δοκιμή και το λάθος μπορεί μερικές φορές να δώσουν μια λύση, ιδίως όταν η μορφή της εξίσωσης ή η ομοιότητά της με μια άλλη εξίσωση με γνωστή λύση μπορεί να οδηγήσει σε μια «εμπνευσμένη εικασία» για τη λύση. Εάν μια εικασία, όταν δοκιμαστεί, αποτύχει να αποτελέσει λύση, η εξέταση του τρόπου με τον οποίο αποτυγχάνει μπορεί να οδηγήσει σε μια τροποποιημένη εικασία.

Στοιχειώδης άλγεβρα

Εξισώσεις που περιλαμβάνουν απλές γραμμικές ή ρητές συναρτήσεις ενός μοναδικού αγνώστου πραγματικής τιμής, π.χ. $x$ , όπως

8x+7=4x+35\quad {\text{ή}}\quad {\frac {4x+9}{3x+4}}=2\,,

μπορούν να επιλυθούν με τις μεθόδους της στοιχειώδους άλγεβρας.

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Μικρότερα συστήματα γραμμικών εξισώσεων μπορούν να επιλυθούν ομοίως με μεθόδους της στοιχειώδους άλγεβρας. Για την επίλυση μεγαλύτερων συστημάτων χρησιμοποιούνται αλγόριθμοι που βασίζονται στη γραμμική άλγεβρα. Βλέπε Γκαουσιανή απαλοιφή και αριθμητική επίλυση γραμμικών συστημάτων.

Πολυωνυμικές εξισώσεις

Κύριο άρθρο: Επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων

Πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού έως και τέσσερα μπορούν να επιλυθούν με ακρίβεια χρησιμοποιώντας αλγεβρικές μεθόδους, από τις οποίες ο τετραγωνικός τύπος είναι το απλούστερο παράδειγμα. Οι πολυωνυμικές εξισώσεις με βαθμό πέντε ή μεγαλύτερο απαιτούν γενικά αριθμητικές μεθόδους (βλ. παρακάτω) ή ειδικές συναρτήσεις, όπως οι ρίζες Μπρινγκ, αν και ορισμένες ειδικές περιπτώσεις μπορεί να επιλύονται αλγεβρικά, λόγου χάριν

4x^{5}-x^{3}-3=0

(χρησιμοποιώντας το θεώρημα της ρητής ρίζας), και

x^{6}-5x^{3}+6=0\,,

(με τη χρήση της αντικατάστασης $x = z 1 ⁄ 3$ η οποία το απλοποιεί σε τετραγωνική εξίσωση στο $z$ ).

Αντίστροφες συναρτήσεις

Στην απλή περίπτωση μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, ας πούμε, $h (x)$ μπορούμε να λύσουμε μια εξίσωση της μορφής $h (x) = c$ για κάποια σταθερά $c$ εξετάζοντας αυτό που είναι γνωστό ως αντίστροφη συνάρτηση της $h$ .

Δεδομένης μιας συνάρτησης $h : A \to B$ η αντίστροφη συνάρτηση, η οποία συμβολίζεται με $h -1$ και ορίζεται ως $h -1 : B \to A$ είναι μια συνάρτηση τέτοια ώστε

h^{-1}{\bigl (}h(x){\bigr )}=h{\bigl (}h^{-1}(x){\bigr )}=x\,.

Τώρα, αν εφαρμόσουμε την αντίστροφη συνάρτηση και στις δύο πλευρές της $h (x) = c$ }, όπου $c$ είναι μια σταθερή τιμή στο $B$ , έχουμε

{\begin{aligned}h^{-1}{\bigl (}h(x){\bigr )}&=h^{-1}(c)\\x&=h^{-1}(c)\\\end{aligned}}

και έχουμε βρει τη λύση της εξίσωσης. Ωστόσο, ανάλογα με τη συνάρτηση, η αντίστροφη μπορεί να είναι δύσκολο να οριστεί ή μπορεί να μην είναι συνάρτηση σε όλο το σύνολο $B$ (μόνο σε κάποιο υποσύνολο), και να έχει πολλές τιμές σε κάποιο σημείο.

Αν αρκεί μόνο μία λύση, αντί για το πλήρες σύνολο λύσεων, είναι στην πραγματικότητα αρκετό αν μόνο η συναρτησιακή ταυτότητα

h\left(h^{-1}(x)\right)=x

κατέχει. Για παράδειγμα, η προβολή $π 1 : R 2 \to R$ που ορίζεται από την $π 1 (x, y) = x$ δεν έχει μετα-αντίστροφο, αλλά έχει ένα προ-αντίστροφο $π -1 1$ που ορίζεται από την $π -1 1 (x) = (x, 0)$ . Πράγματι, η εξίσωση $π 1 (x, y) = c$ επιλύεται από τη σχέση

(x,y)=\pi _{1}^{-1}(c)=(c,0).

Παραδείγματα αντίστροφων συναρτήσεων είναι η $n$ th ρίζα (αντίστροφη του $x n$ ), ο λογάριθμος (αντίστροφος του $a x$ ), οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις και η συνάρτηση W του Λαμπέρ (αντίστροφη του $xe x$ ).

Παραγοντοποίηση

Εάν η αριστερή έκφραση μιας εξίσωσης $P = 0$ μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως $P = QR$ το σύνολο λύσεων της αρχικής λύσης αποτελείται από την ένωση των συνόλων λύσεων των δύο εξισώσεων $Q = 0$ και $R = 0$ . Παραδείγματος χάριν, η εξίσωση

\tan x+\cot x=2

μπορεί να ξαναγραφεί, χρησιμοποιώντας την ταυτότητα $tan x cot x = 1$ ως εξής

{\frac {\tan ^{2}x-2\tan x+1}{\tan x}}=0,

που μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε

{\frac {\left(\tan x-1\right)^{2}}{\tan x}}=0.

Οι λύσεις είναι επομένως οι λύσεις της εξίσωσης $tan x = 1$ , και συνεπώς είναι το σύνολο

x={\tfrac {\pi }{4}}+k\pi ,\quad k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots .

Αριθμητικές μέθοδοι

Με πιο περίπλοκες εξισώσεις σε πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς, οι απλές μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων μπορεί να αποτύχουν. Συχνά, αλγόριθμοι εύρεσης ρίζας, όπως η μέθοδος Νεύτωνα-Ράφσον, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση μιας αριθμητικής λύσης σε μια εξίσωση, η οποία, για ορισμένες εφαρμογές, μπορεί να είναι απολύτως επαρκής για την επίλυση κάποιου προβλήματος. Υπάρχουν επίσης αριθμητικές μέθοδοι για συστήματα γραμμικών εξισώσεων.

Εξισώσεις πινάκων

Οι εξισώσεις που περιλαμβάνουν πίνακες και διανύσματα πραγματικών αριθμών μπορούν συχνά να επιλυθούν με τη χρήση μεθόδων από τη γραμμική άλγεβρα.

Διαφορικές εξισώσεις

Υπάρχει ένα τεράστιο σύνολο μεθόδων για την επίλυση διαφόρων ειδών διαφορικών εξισώσεων,^[4] τόσο αριθμητικά όσο και αναλυτικά. Μια συγκεκριμένη κατηγορία προβλημάτων που μπορεί να θεωρηθεί ότι ανήκει σε αυτή την κατηγορία είναι η ολοκλήρωση και οι αναλυτικές μέθοδοι για την επίλυση αυτού του είδους προβλημάτων ονομάζονται πλέον συμβολική ολοκλήρωση (symbolic integration). Οι λύσεις των διαφορικών εξισώσεων μπορεί να είναι άρρητές ή ρητές.^[5]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Nazareth, John L. (17 Μαΐου 2006). Differentiable Optimization and Equation Solving: A Treatise on Algorithmic Science and the Karmarkar Revolution. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-21788-8.
Gurvits, Leonid (2011). Randomization, Relaxation, and Complexity in Polynomial Equation Solving: Banff International Research Station Workshop on Randomization, Relaxation, and Complexity, February 28--March 5, 2010, Banff, Ontario, Canada. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-5228-6.
Mushtaq, Dr Aabid (1 Ιανουαρίου 2015). A SOLUTION FOR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION: SOLVING TECHNIQUES AND APPLICATIONS. Horizon Books ( A Division of Ignited Minds Edutech P Ltd). ISBN 978-93-84044-79-4.
Arrigo, Daniel (28 Οκτωβρίου 2022). Analytical Methods for Solving Nonlinear Partial Differential Equations. Springer Nature. ISBN 978-3-031-17069-0.
Zhu, Jianping (1994). Solving Partial Differential Equations on Parallel Computers. World Scientific. ISBN 978-981-02-1578-1.
Groth, Randall E. (10 Αυγούστου 2012). Teaching Mathematics in Grades 6 - 12: Developing Research-Based Instructional Practices. SAGE Publications. ISBN 978-1-4522-5602-3.
Sandall, Barbara R.· Olson, Melfried (2 Σεπτεμβρίου 2008). Algebra II Practice Book, Grades 7 - 8. Mark Twain Media. ISBN 978-1-58037-753-9.
Torrence, Bruce F.· Torrence, Eve A. (29 Ιανουαρίου 2009). The Student's Introduction to MATHEMATICA ®: A Handbook for Precalculus, Calculus, and Linear Algebra. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-47373-6.
Wagner, Sigrid· Kieran, Carolyn (7 Δεκεμβρίου 2018). Research Issues in the Learning and Teaching of Algebra: the Research Agenda for Mathematics Education, Volume 4. Routledge. ISBN 978-1-135-43421-2.

Παραπομπές

↑ «Στιγμές από την ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο» (PDF).
↑ Khmelevskiĭ, I︠U︡riĭ Ilʹich (1976). Equations in Free Semigroups. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3007-9.
↑ Κουρόπουλος, Γιώργος (3 Φεβρουαρίου 2016). Προσδιορισμός ριζικών σε εκτοβάθμιες πολυωνυμικές εξισώσεις υπό προϋποθέσεις. Γιώργος Κουρόπουλος.
↑ Μενής, Ιωάννης (1 Ιανουαρίου 2018). Θεωρητική Μηχανική. ΔΩΡΕΑΝ.
↑ Dennis G. Zill (15 Μαρτίου 2012). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.

Östmyren, Einar (15 Μαρτίου 2018). New simple ways to solve equations: How to solve equations by mental arithmetic, which strengthens the capacity for thinking and improves the memory. BoD - Books on Demand. ISBN 978-91-7699-768-0.
Kinsey, Laura Christine (1993). Topology of Surfaces. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0899-0. ISBN 0-387-94102-9.
Needham, Tristan (2021). Visual Differential Geometry and Forms. Princeton. ISBN 0-691-20370-9.
Stillwell, John (1992). Geometry of Surfaces. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0929-4. ISBN 0-387-97743-0.
Definitions and examples of quadrilaterals and Definition and properties of tetragons from Mathopenref
A (dynamic) Hierarchical Quadrilateral Tree at Dynamic Geometry Sketches
An extended classification of quadrilaterals Αρχειοθετήθηκε 2019-12-30 στο Wayback Machine. at Dynamic Math Learning Homepage Αρχειοθετήθηκε 2018-08-25 στο Wayback Machine.
Luiz, Atílio; Richter, Bruce (2014), «Remarks on a conjecture of Barát and Tóth», Electronic Journal of Combinatorics 21 (1): P1.57, doi:10.37236/3396, http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v21i1p57 .

Πηγές

Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0
Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9
Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7
Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0.
Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4.
Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ
Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0

[1] «Στιγμές από την ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο» (PDF).

[2] Khmelevskiĭ, I︠U︡riĭ Ilʹich (1976). Equations in Free Semigroups. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3007-9.

[3] Κουρόπουλος, Γιώργος (3 Φεβρουαρίου 2016). Προσδιορισμός ριζικών σε εκτοβάθμιες πολυωνυμικές εξισώσεις υπό προϋποθέσεις. Γιώργος Κουρόπουλος.

[4] Μενής, Ιωάννης (1 Ιανουαρίου 2018). Θεωρητική Μηχανική. ΔΩΡΕΑΝ.

[Zill2012-5] Dennis G. Zill (15 Μαρτίου 2012). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]