Εξίσωση Όιλερ–Τρικόμι

Στα μαθηματικά, η εξίσωση Όιλερ–Τρικόμι είναι μία γραμμική μερική διαφορική εξίσωση, χρήσιμη στην μελέτη της διηχητικής ροής. Πήρε το όνομά της απ' τους Λέοναρντ Όιλερ και Φρανσέσκο Τζιάκομο Τρικόμι.

$u_{xx}+xu_{yy}=0.\,$

Είναι ελλειπτική στο ημιεπίπεδο x > 0, παραβολική στο x = 0 και υπερβολική στο ημιεπίπεδο x < 0. Οι χαρακτηριστικές της εξισώσεις είναι

$xdx^{2}+dy^{2}=0$

που έχουν ολοκλήρωμα

$y\pm {\frac {2}{3}}x^{3/2}=C$

όπου C είναι μια σταθερά της ολοκλήρωσης. Οι χαρακτηριστικές αποτελούν δύο οικογένειες ημικυβικών παραβολών, με ακμές στη γραμμή x = 0, οι καμπύλες ορίζονται στη δεξιά πλευρά του y-άξονα.

Ιδιαίτερες λύσεις

Ιδιαίτερες λύσεις για την εξίσωση Όιλερ–Τρικόμι αποτελούν οι

• $u=Axy+Bx+Cy+D$
• $u=A(3y^{2}+x^{3})+B(y^{3}+x^{3}y)+C(6xy^{2}+x^{4}),$

όπου A, B, C, D είναι τυχαίες σταθερές.

Η εξίσωση Όιλερ–Τρικόμι είναι μια περιοριστική μορφή της εξίσωσης του Τσάπλιγκιν.

Βιβλιογραφία

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, 2002.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Tricomi and Generalized Tricomi Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.