Ενδομορφισμός

Στα μαθηματικά, ο ενδομορφισμός^[1]^[2] είναι ένας μορφισμός από ένα μαθηματικό αντικείμενο προς τον εαυτό του. Ένας ενδομορφισμός που είναι επίσης ισομορφισμός είναι αυτομορφισμός. Επί παραδείγματι, ένας ενδομορφισμός ενός διανυσματικού χώρου $V$ είναι μια γραμμική απεικόνιση $f : V \to V$ , και ένας ενδομορφισμός μιας ομάδας $G$ είναι ένας ομομορφισμός ομάδας $f : G \to G$ . Σε γενικές γραμμές, μπορούμε να μιλάμε για ενδομορφισμούς σε οποιαδήποτε κατηγορία. Στην κατηγορία των συνόλων, οι ενδομορφισμοί είναι συναρτήσεις από ένα σύνολο S προς τον εαυτό του.

Σε οποιαδήποτε κατηγορία, η σύνθεση δύο οποιωνδήποτε ενδομορφισμών της $X$ είναι και πάλι ένας ενδομορφισμός της $X$ . Προκύπτει ότι το σύνολο όλων των ενδομορφισμών του $X$ σχηματίζει ένα μονοειδές, το πλήρες μονοειδές μετασχηματισμού, και συμβολίζεται $End(X)$ (ή $End C (X)$ για να τονιστεί η κατηγορία $C$ ).

Αυτομορφισμοί

Ένας αντιστρέψιμος ενδομορφισμός του $X$ ονομάζεται αυτομορφισμός^[3]^[4]. Το σύνολο όλων των αυτομορφισμών είναι ένα υποσύνολο του $End(X)$ με δομή ομάδας, που ονομάζεται ομάδα αυτομορφισμών του $X$ και συμβολίζεται $Aut(X)$ . Στο ακόλουθο διάγραμμα, τα βέλη υποδηλώνουν την συνεπαγωγή:

Αυτομορφισμός	⇒	Ισομορφισμός
⇓		⇓
Ενδομορφισμός	⇒	Ομομορφισμός

Δακτύλιοι ενδομορφισμού

Κάθε δύο ενδομορφισμοί μιας αβελιανής ομάδας, $A$ , μπορούν να προστεθούν σύμφωνα με τον κανόνα $(f + g)(a) = f (a) + g (a)$ . Με αυτή την πρόσθεση και με τον πολλαπλασιασμό που ορίζεται ως σύνθεση συναρτήσεων, οι ενδομορφισμοί μιας αβελιανής ομάδας σχηματίζουν έναν δακτύλιο (δακτύλιος ενδομορφισμών)^[5]^[6]. Επί παραδείγματι, το σύνολο των ενδομορφισμών της $\mathbb {Z} ^{n}$ είναι ο δακτύλιος όλων των $n \times n$ πινάκων με ακέραιες καταχωρήσεις. Οι ενδομορφισμοί ενός διανυσματικού χώρου ή ενός module σχηματίζουν επίσης ένα δακτύλιο, όπως και οι ενδομορφισμοί οποιουδήποτε αντικειμένου σε μια προ-προσθετική κατηγορία. Οι ενδοµορφισµοί µιας µη αβελιανής οµάδας^[7] δηµιουργούν µια αλγεβρική δοµή γνωστή ως σχεδόν δακτύλιος. Κάθε δακτύλιος με έναν τέτοιο δακτύλιο είναι ο δακτύλιος ενδομορφισμών του κανονικού του module, και έτσι είναι ένας υποδακτύλιος ενός δακτυλίου ενδομορφισμών μιας αβελιανής ομάδας,^[8] Ωστόσο, υπάρχουν δακτύλιοι που δεν είναι δακτύλιος ενδομορφισμού οποιασδήποτε αβελιανής ομάδας.

Θεωρία του τελεστή

Σε οποιαδήποτε συγκεκριμένη κατηγορία, ειδικά για διανυσματικούς χώρους, οι ενδομορφισμοί είναι απεικονίσεις από ένα σύνολο στον εαυτό του, και μπορούν να ερμηνευθούν ως μοναδιαίοι τελεστές σε αυτό το σύνολο, που δρουν στα στοιχεία, και επιτρέποντας τον ορισμό της έννοιας των τροχιών των στοιχείων, κ.λπ.^[9]

Ανάλογα με την πρόσθετη δομή που ορίζεται για την εκάστοτε κατηγορία (τοπολογία, μετρική, ...), οι τελεστές αυτοί μπορούν να έχουν ιδιότητες όπως η συνέχεια, η οριοθέτηση, κ.ο.κ. Περισσότερες λεπτομέρειες υπάρχουν στο άρθρο σχετικά με τη θεωρία τελεστών^[10]^[11].

Ενδοσυναρτήσεις

Μια ενδοσυνάρτηση^[12] είναι μια συνάρτηση της οποίας η περιοχή είναι ίση με τη συν-περιοχή της. Μια ομομορφική ενδοσυνάρτηση είναι ένας ενδομορφισμός.

Έστω $S$ ένα αυθαίρετο σύνολο. Μεταξύ των τελικών ενδοσυναρτήσεων στο $S$ βρίσκουμε μεταθέσεις του $S$ και σταθερές συναρτήσεις που συσχετίζουν με κάθε $x$ στο $S$ το ίδιο στοιχείο $c$ στο $S$ . Κάθε μεταβολή του $S$ έχει πεδίο τιμών ίσο με το πεδίο του και είναι αμφιρριπτική και αντιστρέψιμη. Εάν η $S$ έχει περισσότερα από ένα στοιχεία, η σταθερή συνάρτηση στην $S$ έχει μια εικόνα που είναι ένα κατάλληλο υποσύνολο του πεδίου τιμών του, και επομένως δεν είναι αμφιρριπτική (και ως εκ τούτου δεν είναι αντιστρέψιμη). Η συνάρτηση που συνδέει με κάθε φυσικό αριθμό $n$ το δάπεδο του $n /2$ έχει εικόνα ίση με το πεδίο τιμών της και δεν είναι αντιστρέψιμη.

Οι πεπερασμένες ενδοσυναρτήσεις είναι ισοδύναμες με "κατευθυνόμενα ψευδοδάση"^[13]. Σε σύνολα μεγέθους $n$ υπάρχουν $n n$ ενδοσυναρτήσεις στο σύνολο.

Ιδιαίτερα παραδείγματα αμφιρριπτικές^[14] ενδοσυναρτήσεις είναι οι ενελίξεις, δηλαδή οι συναρτήσεις που συμπίπτουν με τις αντίστροφες τους.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
Wolfram Mathematica Online Integrator
A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Krylov, P. A.· Mikhalev, Alexander V. (29 Ιουνίου 2013). Endomorphism Rings of Abelian Groups. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-017-0345-1.
Tuganbaev, Askar (4 Ιουνίου 2019). Arithmetical Rings and Endomorphisms. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-065982-5.
Bezuglyi, Sergey· Jorgensen, Palle E. T. (21 Ιουνίου 2018). Transfer Operators, Endomorphisms, and Measurable Partitions. Springer. ISBN 978-3-319-92417-5.
Birkenhake, Christina· Lange, Herbert (22 Απριλίου 2004). Complex Abelian Varieties. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-20488-6.
Salzmann, H. (23 Αυγούστου 2007). The Classical Fields: Structural Features of the Real and Rational Numbers. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86516-6.
Matveev, Sergeĭ Vladimirovich (2006). Lectures on Algebraic Topology. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-023-4.
Golan, Jonathan S. (5 Απριλίου 2007). The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-5495-2.
Krylov, Piotr A.· Tuganbaev, Askar A. (2008). Modules Over Discrete Valuation Domains. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-020053-9.
Goodearl, K. R.· Warfield, Robert B. (12 Ιουλίου 2004). An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54537-2.
Abramov, L. M. (31 Δεκεμβρίου 1964). Fifteen Papers on Topology and Logic. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-9619-8.

Παραπομπές

↑ «Endomorphism - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 13 Ιουλίου 2025.
↑ Weisstein, Eric W. «Endomorphism». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 14 Ιουλίου 2025.
↑ Weisstein, Eric W. «Automorphism». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 14 Ιουλίου 2025.
↑ «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ΕΚΠΑ | Θεωρία Galois | Ενότητα 3: Αυτομορφισμοί σωμάτων, η αντιστοιχία Galois, επιλυσιμότητα εξισώσεων με ριζικά». opencourses.uoa.gr. Ανακτήθηκε στις 14 Ιουλίου 2025.
↑ Ware, R.; Zelmanowitz, J. (1970). «Simple Endomorphism Rings». The American Mathematical Monthly 77 (9): 987–989. doi:10.2307/2318119. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2318119.
↑ «ring of endomorphisms». planetmath.org. Ανακτήθηκε στις 14 Ιουλίου 2025.
↑ «Orders of non abelian simple groups». www.madore.org. Ανακτήθηκε στις 14 Ιουλίου 2025.
↑ Jacobson (2009), p. 162, Theorem 3.2.
↑ Yoshino, Takashi (5 Δεκεμβρίου 1993). Introduction to Operator Theory. CRC Press. ISBN 978-0-582-23743-8.
↑ «Θεωρία Τελεστών - Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών» (PDF).
↑ Conway, John B. (2000). A Course in Operator Theory. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-2065-0.
↑ «endofunction in nLab». ncatlab.org. Ανακτήθηκε στις 14 Ιουλίου 2025.
↑ Weisstein, Eric W. «Pseudoforest». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 14 Ιουλίου 2025.
↑ Services, ProZ com Translation. «surjective - injective - bijective (function) > επιρριπτική - ερριπτική - αμφιρριπτική (συνάρτηση) - English to Greek translation on #KudoZ Term Help Network». www.proz.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 14 Ιουλίου 2025.

Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (2nd έκδοση), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 .
Hungerford, Thomas (1974), Algebra (1st έκδοση), Springer-Verlag, ISBN 9780387905181 .
Artin, Michael (2011), Algebra (2nd έκδοση), Prentice Hall, ISBN 9780132413770 .
Dummit, David S.· Foote, Richard M. (2004). Abstract algebra (3rd έκδοση). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.
Gallian, Joseph A. (2013). Contemporary abstract algebra (8th έκδοση). Boston, MA: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 978-1-133-59970-8. OCLC 807255720.
Kurzweil, Hans· Stellmacher, Bernd (1998). Theorie der endlichen Gruppen. Springer-Lehrbuch. doi:10.1007/978-3-642-58816-7. ISBN 978-3-540-60331-3.
Ash, Robert B. (2002). Abstract Algebra: The Basic Graduate Year (στα Αγγλικά). Department of Mathematics University of Illinois. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 27 Σεπτεμβρίου 2021. Ανακτήθηκε στις 14 Ιουλίου 2025.
Jacobson, Nathan (8 Ιουνίου 2012). Basic Algebra II: Second Edition. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13521-2.
Kantor, I.L.; Solodovnikov, A.S. (1989), «Normed algebras with an identity. Hurwitz's theorem.», Hypercomplex numbers. An elementary introduction to algebras (2nd έκδοση), Springer-Verlag, σελ. 121, ISBN 978-0-387-96980-0,
Zbl 0669.17001
, https://archive.org/details/hypercomplexnumb0000kant/page/121
Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
Zbl 0516.12001
, https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt
Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. en:Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023.
Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf.
Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8.
Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001.
Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11.
Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947

Πηγές

Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0.
Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0.
Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,
Zbl 1103.12002
DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7.
Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,
Zbl 1206.51015
Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho
Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
Zbl 0516.12001
, https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt
Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

[1] «Endomorphism - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 13 Ιουλίου 2025.

[2] Weisstein, Eric W. «Endomorphism». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 14 Ιουλίου 2025.

[3] Weisstein, Eric W. «Automorphism». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 14 Ιουλίου 2025.

[4] «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ΕΚΠΑ | Θεωρία Galois | Ενότητα 3: Αυτομορφισμοί σωμάτων, η αντιστοιχία Galois, επιλυσιμότητα εξισώσεων με ριζικά». opencourses.uoa.gr. Ανακτήθηκε στις 14 Ιουλίου 2025.

[5] Ware, R.; Zelmanowitz, J. (1970). «Simple Endomorphism Rings». The American Mathematical Monthly 77 (9): 987–989. doi:10.2307/2318119. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2318119.

[6] «ring of endomorphisms». planetmath.org. Ανακτήθηκε στις 14 Ιουλίου 2025.

[7] «Orders of non abelian simple groups». www.madore.org. Ανακτήθηκε στις 14 Ιουλίου 2025.

[8] Jacobson (2009), p. 162, Theorem 3.2.

[9] Yoshino, Takashi (5 Δεκεμβρίου 1993). Introduction to Operator Theory. CRC Press. ISBN 978-0-582-23743-8.

[10] «Θεωρία Τελεστών - Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών» (PDF).

[11] Conway, John B. (2000). A Course in Operator Theory. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-2065-0.

[12] «endofunction in nLab». ncatlab.org. Ανακτήθηκε στις 14 Ιουλίου 2025.

[13] Weisstein, Eric W. «Pseudoforest». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 14 Ιουλίου 2025.

[14] Services, ProZ com Translation. «surjective - injective - bijective (function) > επιρριπτική - ερριπτική - αμφιρριπτική (συνάρτηση) - English to Greek translation on #KudoZ Term Help Network». www.proz.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 14 Ιουλίου 2025.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]