Ελικοειδές

Ένα ελικοειδές με α = 1, −1 ≤ ρ ≤ 1 και −π ≤ θ ≤ π.

Το ελικοειδές, επίσης γνωστό ως ελικοειδής επιφάνεια, είναι μια λεία επιφάνεια ενσωματωμένη στον τρισδιάστατο χώρο. Είναι η επιφάνεια που διαγράφεται από μια άπειρη γραμμή η οποία ταυτόχρονα περιστρέφεται και ανυψώνεται κατά μήκος του σταθερού άξονα περιστροφής της. Είναι η τρίτη ελάχιστη επιφάνεια που είναι γνωστή, μετά το επίπεδο και το αλυσοειδές.

Ιστορία

Περιγράφηκε από τον Όιλερ το 1774 και από τον Ζαν Μπατίστ Μενιέ το 1776. Το όνομά του προέκυψε από την ομοιότητά του με την έλικα: για κάθε σημείο του ελικοειδούς, υπάρχει μια έλικα που περιέχεται στο ελικοειδές και διέρχεται από το σημείο αυτό.

Το ελικοειδές είναι επίσης μια ευθειογενής επιφάνεια (και ένα ορθό κωνοειδές), που σημαίνει ότι είναι ένα ίχνος μιας γραμμής. Εναλλακτικά, για κάθε σημείο της επιφάνειας, υπάρχει μια ευθεία της επιφάνειας που διέρχεται από αυτό. Πράγματι, ο Καταλάν απέδειξε το 1842 ότι το ελικοειδές και το επίπεδο είναι οι μόνες ευθειογενεις ελάχιστες επιφάνειες.

Οι Μικς και Ρόζενμπεργκ απέδειξαν το 2005 (με βάση τις ανισότητες Κάλντινγκ-Μινικότσι) ότι υπάρχουν μόνο 2 τύποι απλά συνεχόμενων ελάχιστων επιφανειών στον $\mathbb {R} ^{3}$: το επίπεδο και το ελικοειδές. Ωστόσο, τη δεκαετία του 1990 ο Ντέιβιντ Άλεν Χόφμαν και οι συνεργάτες του βρήκαν άλλα παραδείγματα μη μηδενικού τοπολογικού γένους, που προέκυψαν από το ελικοειδές. Ο Χόφμαν, ο Μάικλ Βολφ και ο Ματίας Βέμπερ απέδειξαν το 2009 ότι σχηματίζουν μια πλήρη ενσωματώσιμη ελάχιστη επιφάνεια για γένος 1 (προηγουμένως αυτό είχε αποδειχθεί μόνο για γένος άπειρο, εκτός από το γένος 0).

Περιγραφή

Ορθό ελικοειδές σε κινούμενη εικόνα.

Ένα ελικοειδές είναι επίσης μια επιφάνεια μεταφοράς με την έννοια της διαφορικής γεωμετρίας.

Το ελικοειδές και το κατενοειδές αποτελούν μέρη μιας οικογένειας ελάχιστων επιφανειών ελικοειδούς-κατενοειδούς.

Το ελικοειδές έχει σχήμα όπως ο κοχλίας του Αρχιμήδη, αλλά εκτείνεται απείρως προς όλες τις κατευθύνσεις. Μπορεί να περιγραφεί από τις ακόλουθες παραμετρικές εξισώσεις σε καρτεσιανές συντεταγμένες:

Το ελικοειδές έχει σχήμα σαν τον κοχλία του Αρχιμήδη, αλλά εκτείνεται απείρως προς όλες τις κατευθύνσεις. Μπορεί να περιγραφεί από τις ακόλουθες παραμετρικές εξισώσεις σε καρτεσιανές συντεταγμένες:

$x=\rho \cos(\alpha \theta ),\$

$y=\rho \sin(\alpha \theta ),\$

$z=\theta ,\$

όπου ρ και θ κυμαίνονται από το αρνητικό άπειρο έως το θετικό άπειρο, ενώ α είναι μια σταθερά. Αν α είναι θετικό, τότε το ελικοειδές είναι δεξιόστροφο όπως φαίνεται στο σχήμα- αν είναι αρνητικό τότε αριστερόστροφο.

Κινούμενη εικόνα που δείχνει την τοπική ισομετρία ενός ελικοειδούς τμήματος και ενός κατενοειδούς τμήματος.

Το ελικοειδές έχει κύριες καμπυλότητες $\pm \alpha /(1+\alpha ^{2}\rho ^{2})\$. Το άθροισμα αυτών των μεγεθών δίνει τη [μέση καμπυλότητα (μηδέν αφού το ελικοειδές είναι ελάχιστη επιφάνεια) και το γινόμενο δίνει τη γκαουσιανή καμπυλότητα.

Το ελικοειδές είναι ομοιομορφικό με το επίπεδο $\mathbb {R} ^{2}$. Για να φανεί αυτό, αφήνουμε το α να μειώνεται συνεχώς από τη δεδομένη τιμή του μέχρι το μηδέν. Κάθε ενδιάμεση τιμή του α θα περιγράφει ένα διαφορετικό ελικοειδές, μέχρι να φτάσουμε στο α' = 0 και το ελικοειδές να γίνει ένα κατακόρυφο επίπεδο.

Εάν ένα ελικοειδές ακτίνας R περιστρέφεται κατά γωνία θ γύρω από τον άξονά του ενώ ανεβαίνει κατά ύψος h, το εμβαδόν της επιφάνειας δίνεται από τη σχέση

${\frac {\theta }{2}}\left[R{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}+c^{2}\ln \left({\frac {R+{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}}{c}}\right)\right],\ c={\frac {h}{\theta }}.$

Ελικοειδές και κατενοειδές

Το ελικοειδές και το κατενοειδές είναι τοπικά ισομετρικές επιφάνειες- βλ. μετασχηματισμό ελικοειδούς.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Ζαν-Μπατίστ Μαρί Μενιέ ντε Λα Πλας
• Τρισδιάστατος χώρος
• Κοχλίας του Αρχιμήδη
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• McMichael, J. M. (1978). Characteristics of Helicoid Anemometers. U.S. Department of Commerce, National Bureau of Standards. 
• Buckingham, Earle (1 Ιανουαρίου 1988). Analytical Mechanics of Gears. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-65712-7. 
• Huang, Chuanzhi (2 Ιανουαρίου 2020). Limit Analysis Theory of the Soil Mass and Its Application. Springer Nature. ISBN 978-981-15-1572-9. 
• Office, United States Patent (1964). Official Gazette of the United States Patent Office. U.S. Patent Office. 
• Applied Mechanics Reviews. American Society of Mechanical Engineers. 1998. 
• Litvin, Faydor L.· Fuentes, Alfonso (6 Σεπτεμβρίου 2004). Gear Geometry and Applied Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-45555-8. 
• Neville, A. C. (6 Δεκεμβρίου 2012). Biology of the Arthropod Cuticle. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-80910-1. 
• Fieldiana: Zoology. Chicago Natural History Museum. 1959. 
• Krivoshapko, S. N.· Ivanov, V. N. (25 Φεβρουαρίου 2015). Encyclopedia of Analytical Surfaces. Springer. ISBN 978-3-319-11773-7. 
• Vullo, Vincenzo (24 Ιανουαρίου 2020). Gears: Volume 1: Geometric and Kinematic Design. Springer Nature. ISBN 978-3-030-36502-8. 

Παραπομπές

• Seifert, Herbert; Threlfall, William (1980), A textbook of topology, Pure and Applied Mathematics, 89, Academic Press, ISBN 0126348502, https://archive.org/details/seifertthrelfall0000seif , English translation of 1934 classic German textbook
• Ahlfors, Lars V.; Sario, Leo (1960), Riemann surfaces, Princeton Mathematical Series, 26, Princeton University Press , Chapter I
• Maunder, C. R. F. (1996), Algebraic topology, Dover Publications, ISBN 0486691314 , Cambridge undergraduate course
• Massey, William S. (1991). A Basic Course in Algebraic Topology. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97430-X. 
• Bredon, Glen E. (1993). Topology and Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3. 
• Jost, Jürgen (2006), Compact Riemann surfaces: an introduction to contemporary mathematics (3rd έκδοση), Springer, ISBN 3540330658 , for closed oriented Riemannian manifolds
• Francis, George K.; Weeks, Jeffrey R. (May 1999), «Conway's ZIP Proof», American Mathematical Monthly 106 (5): 393, doi:10.2307/2589143, http://new.math.uiuc.edu/zipproof/zipproof.pdf ; page discussing the paper: On Conway's ZIP Proof
• Thomassen, Carsten (1992), «The Jordan-Schönflies theorem and the classification of surfaces», Amer. Math. Monthly 99 (2): 116–13, doi:10.2307/2324180 , short elementary proof using spanning graphs
• Kölbig, K. S. (1983). «On the integral exp(−μt)t^ν−1log^mt dt». Math. Comput. 41 (163): 171–182. doi:10.1090/S0025-5718-1983-0701632-1. 
• MacLeod, Allan J. (2002). «The efficient computation of some generalised exponential integrals». J. Comput. Appl. Math. 148 (2): 363–374. doi:10.1016/S0377-0427(02)00556-3. Bibcode: 2002JCoAM.148..363M. 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0