Εκτίμηση (άλγεβρα)

Στην άλγεβρα (ιδίως στην αλγεβρική γεωμετρία ή στην αλγεβρική θεωρία αριθμών), η εκτίμηση^[1]^[2] είναι μια συνάρτηση σε ένα σώμα που παρέχει ένα μέτρο του μεγέθους ή της πολλαπλότητας των στοιχείων του σώματος. Γενικεύει στην αντιμεταθετική άλγεβρα την έννοια του μεγέθους που ενυπάρχει στην εξέταση του βαθμού ενός πόλου ή της πολλαπλότητας ενός μηδενός στην μιγαδική ανάλυση, του βαθμού διαιρετότητας ενός αριθμού με έναν πρώτο αριθμό στη θεωρία αριθμών και της γεωμετρικής έννοιας της επαφής μεταξύ δύο αλγεβρικών ή αναλυτικών ποικιλιών στην αλγεβρική γεωμετρία. Ένα σώμα με μια αποτίμηση σε αυτό καλείται εκτιμημένο σώμα.

Ορισμός

Ξεκινάμε με τα ακόλουθα αντικείμενα:^[3]

ένα σώμα $K$ και την πολλαπλασιαστική του ομάδα K^×^[4],
μια αβελιανή πλήρως διατεταγμένη ομάδα $(Γ, +, \geq)$ .^[5]

Η διάταξη και ο νόμος της ομάδας στο $Γ$ επεκτείνονται στο σύνολο $Γ \cup {\infty$ }^[α] με τους κανόνες

$\infty \geq α$ για όλα τα $α$ ∈ $Γ$ ,
$\infty + α = α + \infty = \infty + \infty = \infty$ για όλα τα $α$ ∈ $Γ$ .

Τότε μια εκτίμηση του $K$ είναι μια απεικόνιση

v : K \to Γ \cup {\infty}

που ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες για όλα τα a, b in K:

$v (a) = \infty$ εάν και μόνο εάν $a = 0$ ,
$v (ab) = v (a) + v (b)$ ,
$v (a + b) \geq min(v (a), v (b))$ , με ισότητα εάν v(a) ≠ v(b).

Μια εκτίμηση v είναι τετριμμένη αν v(a') = 0 για όλα τα a στο K^×, αλλιώς είναι μη τετριμμένη.

Η δεύτερη ιδιότητα ισχυρίζεται ότι κάθε εκτίμηση είναι ένας ομομορφισμός ομάδας στο K^×. Η τρίτη ιδιότητα είναι μια εκδοχή της τριγωνικής ανισότητας σε μετρικούς χώρους προσαρμοσμένη σε ένα αυθαίρετο Γ (βλέπε Πολλαπλασιαστικός συμβολισμός παρακάτω). Για εκτιμήσεις που χρησιμοποιούνται σε γεωμετρικές εφαρμογές, η πρώτη ιδιότητα συνεπάγεται ότι κάθε μη κενό σπόρο (germ (μαθηματικά)^[6] μιας αναλυτικής ποικιλίας κοντά σε ένα σημείο περιέχει το σημείο αυτό.

Η εκτίμηση μπορεί να ερμηνευτεί ως η τάξη του όρου της πρωτης τάξεως.^[β] Η τρίτη ιδιότητα αντιστοιχεί τότε στην τάξη ενός αθροίσματος που είναι η τάξη του μεγαλύτερου όρου,^[γ] εκτός αν οι δύο όροι έχουν την ίδια τάξη, οπότε μπορεί να ακυρωθούν και το άθροισμα να έχει μεγαλύτερη τάξη.

Για πολλές εφαρμογές, η $Γ$ είναι μια προσθετική υποομάδα των πραγματικών αριθμών $\mathbb {R}$ ^[δ] οπότε η ∞ μπορεί να ερμηνευθεί ως +∞ στους εκτεταμένους πραγματικούς αριθμούς, σημειώστε ότι $\min(a,+\infty )=\min(+\infty ,a)=a$ για κάθε πραγματικό αριθμό a, και επομένως το +∞ είναι η μονάδα κάτω από τη δυϊκή πράξη του ελαχίστου. Οι πραγματικοί αριθμοί (που επεκτείνονται με το +∞) με τις πράξεις του ελαχίστου και της πρόσθεσης σχηματίζουν ένα ημιδακτύλιο που ονομάζεται τροπικό ημιδακτύλιο,^[ε] και μια αποτίμηση v είναι σχεδόν ένας ομομορφισμός ημιδακτυλίου από τον K στο τροπικό ημιδακτύλιο, εκτός από το ότι η ιδιότητα του ομομορφισμού μπορεί να αποτύχει όταν δύο στοιχεία με την ίδια αποτίμηση προστίθενται μαζί.

Πολλαπλασιαστικός συμβολισμός και απόλυτες τιμές

Η έννοια αναπτύχθηκε από τον Εμίλ Αρτίν στο βιβλίο του Γεωμετρική Άλγεβρα (βιβλίο)|Geometric Algebra αναγράφοντας την ομάδα σε πολλαπλασιαστικό συμβολισμό ως $(Γ, \cdot, \geq)$ :^[7]

Αντί του ∞, προσαρτούμε ένα τυπικό σύμβολο O στο Γ, με το νόμο διάταξης και ομάδας να επεκτείνεται με τους κανόνες

$O \leq α$ for all $α$ ∈ $Γ$ ,
$O \cdot α = α \cdot O = O$ for all $α$ ∈ $Γ$ .

Τότε μια εκτίμηση του $K$ είναι οποιαδήποτε απεικόνιση

| \cdot | v : K \to Γ \cup {O}

που ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες για όλα τα a, b ∈ K:

$| a | v = O$ if and only if $a = 0$ ,
$| ab | v = | a | v \cdot | b | v$ ,
$| a+b | v \leq max(| a | v, | b | v)$ , με ισότητα εάν $| a | v \neq | b | v$ .

(Σημειώστε ότι οι κατευθύνσεις των ανισοτήτων είναι αντίστροφες από εκείνες του προσθετικού συμβολισμού).

Αν $Γ$ είναι μια υποομάδα των θετικών πραγματικών αριθμών υπό πολλαπλασιασμό, η τελευταία συνθήκη είναι η υπερμετρική ανισότητα, μια ισχυρότερη μορφή της τριγωνικής ανισότητας $| a+b | v \leq | a | v + | b | v$ , and $| \cdot | v$ είναι μια απόλυτη τιμή. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να περάσουμε στον προσθετικό συμβολισμό με ομάδα τιμών $\Gamma _{+}\subseteq (\mathbb {R} ,+)$ παίρνοντας $v + (a) = - log | a | v$ .

Κάθε εκτίμηση στο $K$ ορίζει μια αντίστοιχη γραμμική προδιάταξη: $a ≼ b \Leftrightarrow | a | v \leq | b | v$ . Αντίστροφα, δεδομένου ενός " $≼$ " που ικανοποιεί τις απαιτούμενες ιδιότητες, μπορούμε να ορίσουμε την εκτίμηση $| a | v = {b : b ≼ a \land a ≼ b$ }, με πολλαπλασιασμό και ταξινόμηση με βάση $K$ και $≼$ .

Ορολογία

Σε αυτό το άρθρο, χρησιμοποιούμε τους όρους που ορίζονται παραπάνω, με τον προσθετικό συμβολισμό. Ωστόσο, ορισμένοι συγγραφείς χρησιμοποιούν εναλλακτικούς όρους:

Η " εκτίμηση " μας (που ικανοποιεί την υπερμετρική ανισότητα) ονομάζεται " εκθετική εκτίμηση " ή " μη-αρχιμήδεια απόλυτη τιμή " ή " υπερμετρική απόλυτη τιμή ",
η "απόλυτη τιμή" μας (που ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα) ονομάζεται " εκτίμηση" ή "Αρχιμήδεια απόλυτη τιμή".

Συνδεδεμένα αντικείμενα

Υπάρχουν διάφορα αντικείμενα που ορίζονται από μια δεδομένη εκτίμηση $v : K \to Γ \cup {\infty}$ ;

η ομάδα τιμών ή ομάδα εκτίμησης $Γ v$ = v(K^×), μια υποομάδα της $Γ$ (αν και η v είναι συνήθως υποκειμενική έτσι ώστε $Γ v$ = $Γ$ );
ο δακτύλιος εκτίμησης R_v είναι το σύνολο των α ∈ $K$ με v(a) ≥ 0,
ο πρώτος ιδεώδης m_v είναι το σύνολο των α ∈ K μεv(a) > 0 (στην πραγματικότητα είναι ένα μέγιστο ιδεώδες του R_v),
το σώμα καταλοίπων k_v = R_v/m_v,
η θέση του $K$ που συνδέεται με το v, η κλάση του v σύμφωνα με την ισοδυναμία που ορίζεται παρακάτω.

Βασικές ιδιότητες

Ισοδυναμία των εκτιμήσεων

Δύο εκτιμήσεις v₁ καιv₂ of $K$ με ομάδα εκτίμησης Γ₁ και Γ₂, αντίστοιχα, λέγεται ότι είναι ισοδύναμες εάν υπάρχει ένας ισομορφισμός ομάδας που διατηρεί την τάξη $φ : Γ 1 \to Γ 2$ τέτοιος ώστε v₂(a) = φ(v₁(a)) για όλα τα a στο K^×. Αυτή είναι μια σχέση ισοδυναμίας.

Δύο αποτιμήσεις του Κ είναι ισοδύναμες αν και μόνο αν έχουν τον ίδιο δακτύλιο αποτίμησης.

Μια κλάση ισοδυναμίας των εκτιμήσεων ενός σώματος ονομάζεται τόπος'. Το θεώρημα του Οστρόφσκι δίνει μια πλήρη ταξινόμηση των τόπων του σώματος των ρητών αριθμών $\mathbb {Q$ αυτές είναι ακριβώς οι κλάσεις ισοδυναμίας των αποτιμήσεων για τις p-adic συμπληρώσεις του $\mathbb {Q} .$

Επέκταση των εκτιμήσεων

Έστω v μια εκτίμηση του $K$ και έστω L μια επέκταση σώματος του $K$ . Μια επέκταση του v (στο L) είναι μια εκτίμηση w του L τέτοια ώστε ο περιορισμός του w στο $K$ να είναι v. Το σύνολο όλων αυτών των επεκτάσεων μελετάται στη θεωρία διακλαδώσεων των εκτιμήσεων.

Έστω L/K μια πεπερασμένη επέκταση και έστω w μια επέκταση του v στο L. Ο δείκτης του Γ_v στο Γ_w, e(w/v) = [Γ_w : Γ_v], καλείται μειωμένος δείκτης διακλάδωσης του w πάνω στο v. Ικανοποιεί e(w/v) ≤ [L : K] (ο βαθμός της επέκτασης L/K). Ο σχετικός βαθμός του w πάνω στο v ορίζεται ως f(w/v) = R_w/m_w : R_v/m_v(ο βαθμός της επέκτασης των καταλοίπων σωμάτων). Είναι επίσης μικρότερος ή ίσος με τον βαθμό του L/K. Όταν το L/K είναι διαχωρίσιμο, ο δείκτης διακλάδωσης του w πάνω στο v ορίζεται ως e(w/v)pⁱ, όπου pⁱ είναι ο βαθμός αδιαχώριστου της επέκτασης R_w/m_w over R_v/m_v.

Συμπλήρωση σωμάτων με τιμές

Όταν η διατεταγμένη αβελιανή ομάδα $Γ$ είναι η προσθετική ομάδα των ακεραίων αριθμών, η σχετική αποτίμηση είναι ισοδύναμη με μια απόλυτη τιμή, και ως εκ τούτου επάγει μια μετρική στο σώμα $K$ . Αν το $K$ είναι πλήρες ως προς αυτή τη μετρική, τότε ονομάζεται σώμα με πλήρη τιμή. Αν το K δεν είναι πλήρες, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει την αποτίμηση για να κατασκευάσει την ολοκλήρωσή του, όπως στα παρακάτω παραδείγματα, και διαφορετικές αποτιμήσεις μπορούν να ορίσουν διαφορετικά πεδία ολοκλήρωσης.

Γενικά, μια εκτίμηση επάγει μια ομοιόμορφη δομή στο $K$ , και το $K$ ονομάζεται πλήρες σώμα τιμών αν είναι πλήρες ως ομοιόμορφος χώρος. Υπάρχει μια σχετική ιδιότητα γνωστή ως σφαιρική πληρότητα: είναι ισοδύναμη με την πληρότητα αν $\Gamma =\mathbb {Z} ,$ αλλά ισχυρότερη γενικά.

Παραδείγματα

p-adic εκτίμηση

Το πιο βασικό παράδειγμα είναι η $p$ -adic εκτίμηση ν_p aπου σχετίζεται με έναν πρώτο ακέραιο αριθμό p, στους ρητούς αριθμούς $K=\mathbb {Q} ,$ με δακτύλιο εκτίμησης $R=\mathbb {Z} _{(p)},$ όπου $\mathbb {Z} _{(p)}$ είναι ο εντοπισμός του $\mathbb {Z}$ στο πρωταρχικό ιδεώδες $(p)$ . Η ομάδα αποτίμησης είναι οι προσθετικοί ακέραιοι $\Gamma =\mathbb {Z} .$ Για έναν ακέραιο $a\in R=\mathbb {Z} ,$ η αποτίμηση ν_p(a) m μετρά τη διαιρετότητα του a με δυνάμεις του p:

\nu _{p}(a)=\max\{e\in \mathbb {Z} \mid p^{e}{\text{ divides }}a\};

και για ένα κλάσμα, ν_p(a/b) = ν_p(a) − ν_p(b).

Γράφοντας αυτό πολλαπλασιαστικά προκύπτει το $p$ -adic η απόλυτη τιμή, η οποία συμβατικά έχει ως βάση $1/p=p^{-1}$ , έτσι $|a|_{p}:=p^{-\nu _{p}(a)}$ .

Η ολοκλήρωση του $\mathbb {Q}$ ως προς ν_p είναι το σώμα $\mathbb {Q} _{p}$ των p-adic αριθμών.

Τάξη φυγής

Έστω K = F(x), οι ρητές συναρτήσεις στην αφινική ευθεία X = F¹, και παίρνουμε ένα σημείο a ∈ X. Για ένα πολυώνυμο $f(x)=a_{k}(x{-}a)^{k}+a_{k+1}(x{-}a)^{k+1}+\cdots +a_{n}(x{-}a)^{n}$ με $a_{k}\neq 0$ , ορίζουμε v_a(f) = k, την τάξη φυγής στο x = a; και v_a(f /g) = v_a(f) − v_a(g). Τότε ο δακτύλιος εκτίμησης R αποτελείται από ρητές συναρτήσεις χωρίς πόλο στο x = a, και η ολοκλήρωση είναι ο τυπικός δακτύλιος σειράς Λοράν F((x−a)). Αυτό μπορεί να γενικευτεί στο σώμα των σειρών Πουιζέ K{{t}} (κλασματικές δυνάμεις), το σώμα Λεβί-Κιβίτα (η συμπλήρωσή του Κωσύ) και το σώμα των σειρών Χαν, με την αποτίμηση σε όλες τις περιπτώσεις να επιστρέφει τον μικρότερο εκθέτη του t που εμφανίζεται στη σειρά.

$π$ -adic εκτίμηση

Γενικεύοντας τα προηγούμενα παραδείγματα, έστω $R$ ένα κύριο ιδεώδες πεδίο, $K$ το σώμα κλασμάτων του και $π$ ένα μη αναγώγιμο στοιχείο του $R$ .Αφού κάθε κύριο ιδεώδες πεδίο είναι ένα μοναδικό πεδίο παραγοντοποίησης, κάθε μη μηδενικό στοιχείο α του $R$ μπορεί να γραφεί (ουσιαστικά) μοναδικά ως

a=\pi ^{e_{a}}p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{n}^{e_{n}}

όπου τα e είναι μη αρνητικοί ακέραιοι και τα p_i είναι μη αναγώγιμα στοιχεία του $R$ που δεν είναι προσεταιριστικοί του $π$ . Ειδικότερα, ο ακέραιος e_a καθορίζεται μόνο από το a.

Η π-adic εκτίμηση του K δίνεται τότε από τη σχέση

$v_{\pi }(0)=\infty$
$v_{\pi }(a/b)=e_{a}-e_{b},{\text{ for }}a,b\in R,a,b\neq 0.$

Εάν π' είναι ένα άλλο μη αναγώγιμο στοιχείο του $R$ τέτοιο ώστε (π') = (π) (δηλαδή, παράγουν το ίδιο ιδανικό στο R), τότε η π-adic αποτίμηση και η π'-adic αποτίμηση είναι ίσες. Έτσι, η π-adic αποτίμηση μπορεί να ονομαστεί P-adic εκτίμηση, όπου P = (π).

P-adic εκτίμηση σε έναν χώρο Ντέντεκιντ

Το προηγούμενο παράδειγμα μπορεί να γενικευτεί σε τομείς Ντέντεκιντ. Έστω $R$ μια περιοχή Ντέντεκιντ $K$ το σώμα κλασμάτων της και έστω P ένα μη μηδενικό πρώτο ιδεώδες του $R$ . Τότε, ο εντοπισμός του $R$ στο P, που συμβολίζεται R_P είναι μια περιοχή κύριων ιδεωδών της οποίας το σώμα κλασμάτων είναι το $K$ . Η κατασκευή της προηγούμενης ενότητας εφαρμοσμένη στο πρώτο ιδεώδες PR_P του R_P δίνει την $P$ -adic εκτίμηση του $K$ .

Διανυσματικοί χώροι πάνω από σώματα αποτίμησης

Ας υποθέσουμε ότι $Γ$ ∪ {0} είναι το σύνολο των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών υπό πολλαπλασιασμό. Τότε λέμε ότι η αποτίμηση είναι μη διακριτή αν το εύρος της (η ομάδα αποτίμησης) είναι άπειρο (και άρα έχει σημείο συσσώρευσης στο 0).

Ας υποθέσουμε ότι το X είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το K και ότι τα A και B είναι υποσύνολα του X. Τότε λέμε ότι Α απορροφά το Β'' αν υπάρχει ένα α ∈ Κ τέτοιο ώστε λ ∈ Κ και |λ| ≥ |α| συνεπάγεται ότι Β ⊆ λ Α. Το Α ονομάζεται ακτινωτό ή απορροφητικό αν το Α απορροφά κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του Χ. Τα ακτινικά υποσύνολα του X είναι αναλλοίωτα υπό πεπερασμένη τομή. Επίσης, το A ονομάζεται κυκλικό αν λ στο K και |λ| ≥ |α| συνεπάγεται λ A ⊆ A. Το σύνολο των κυκλωμένων υποσυνόλων του Λ είναι αναλλοίωτο κάτω από αυθαίρετες τομές. Το κυκλικό περίβλημα του Α είναι η τομή όλων των κυκλικών υποσυνόλων του Χ που περιέχουν το Α.

Έστω ότι X και Y είναι διανυσματικοί χώροι πάνω από ένα μη διακριτό σώμα αποτίμησης K, έστω A ⊆ X, B ⊆ Y, και έστω f : X → Y είναι μια γραμμική απεικόνιση. Αν το B είναι κυκλικό ή ακτινωτό τότε το ίδιο ισχύει και για το $f^{-1}(B)$ . Αν το A είναι κυκλικό τότε και το f(A) αλλά αν το A είναι ακτινωτό τότε το f(A) θα είναι ακτινωτό υπό την πρόσθετη συνθήκη ότι το f είναι επιρριπτικό.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές^{[νεκρός σύνδεσμος]}
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών Αρχειοθετήθηκε 2025-06-01 στο Wayback Machine.
Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
Wolfram Mathematica Online Integrator
A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Kuhlmann, Franz-Viktor· Kuhlmann, Salma. Valuation Theory and Its Applications. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-8590-1.
Pouly, Marc· Kohlas, Juerg (10 Ιανουαρίου 2012). Generic Inference: A Unifying Theory for Automated Reasoning. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-01086-0.
Fiadeiro, José Luiz· Țuțu, Ionuț (25 Ιουνίου 2019). Recent Trends in Algebraic Development Techniques: 24th IFIP WG 1.3 International Workshop, WADT 2018, Egham, UK, July 2–5, 2018, Revised Selected Papers. Springer. ISBN 978-3-030-23220-7.
Mallick, Mahendra· Krishnamurthy, Vikram (5 Νοεμβρίου 2012). Integrated Tracking, Classification, and Sensor Management: Theory and Applications. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-45056-7.
Sommaruga, Giovanni (7 Απριλίου 2009). Formal Theories of Information: From Shannon to Semantic Information Theory and General Concepts of Information. Springer. ISBN 978-3-642-00659-3.
Crapo, H.· Senato, D. (6 Δεκεμβρίου 2012). Algebraic Combinatorics and Computer Science: A Tribute to Gian-Carlo Rota. Springer Science & Business Media. ISBN 978-88-470-2107-5.
Gelbukh, Alexander· Morales, Àngel Fernando Kuri (24 Οκτωβρίου 2007). MICAI 2007: Advances in Artificial Intelligence: 6th Mexican International Conference on Artificial Intelligence, Aguascalientes, Mexico, November 4-10, 2007, Proceedings. Springer. ISBN 978-3-540-76631-5.
Li, Yongming (2012). Quantitative Logic and Soft Computing: Proceedings of the Ql & Sc 2012, Xi'an, China, 12-15 May 2012. World Scientific. ISBN 978-981-4401-53-1.
Gabbay, Dov M.· Smets, Philippe (17 Απριλίου 2013). Handbook of Defeasible Reasoning and Uncertainty Management Systems: Algorithms for Uncertainty and Defeasible Reasoning. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-017-1737-3.
MKP (28 Ιουνίου 2014). Uncertainty in Artificial Intelligence: Proceedings of the Tenth Conference on Uncertainty in Artificial Intelligence, University of Washington, Seattle, July 29-31, 1994. Elsevier. ISBN 978-1-4832-9860-3.

Παραπομπές

↑ «Valuation - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 23 Μαΐου 2025.
↑ Weisstein, Eric W. «Valuation». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 23 Μαΐου 2025.
↑ «Valued Algebra - an overview | ScienceDirect Topics». www.sciencedirect.com. Ανακτήθηκε στις 23 Μαΐου 2025.
↑ Weisstein, Eric W. «Multiplicative Group». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 23 Μαΐου 2025.
↑ Levi, F. W. (1942-10-01). «Ordered groups» (στα αγγλικά). Proceedings of the Indian Academy of Sciences - Section A 16 (4): 256. doi:10.1007/BF03174799. ISSN 0370-0089. https://link.springer.com/article/10.1007/BF03174799.
↑ «Germ - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 23 Μαΐου 2025.
↑ Emil Artin Geometric Algebra, pages 47 to 49, via Internet Archive

↑ The symbol ∞ denotes an element not in $Γ$ , with no other meaning. Its properties are simply defined by the given axioms.
↑ With the min convention here, the valuation is rather interpreted as the negative of the order of the leading order term, but with the max convention it can be interpreted as the order.
↑ Again, swapped since using minimum convention.
↑ Every Archimedean group is isomorphic to a subgroup of the real numbers under addition, but non-Archimedean ordered groups exist, such as the additive group of a non-Archimedean ordered field.
↑ In the tropical semiring, minimum and addition of real numbers are considered tropical addition and tropical multiplication; these are the semiring operations.

Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,
Zbl 1103.12002
Jacobson, Nathan (1989), «Valuations: paragraph 6 of chapter 9», Basic algebra II (2nd έκδοση), New York: W. H. Freeman and Company, ISBN 0-7167-1933-9,
Zbl 0694.16001
. A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors.
Chapter VI of Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1976), Commutative algebra, Volume II, Graduate Texts in Mathematics, 29, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90171-8,
Zbl 0322.13001
Schaefer, Helmut H.· Wolff, M.P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 3. New York: Springer-Verlag. σελίδες 10–11. ISBN 9780387987262.

Cohen, Henri (1993), A Course in Computational Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 138, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-55640-4
Cohn, Harvey (1954), «The density of abelian cubic fields», Proceedings of the American Mathematical Society 5 (3): 476–477, doi:10.2307/2031963
Davenport, Harold; Heilbronn, Hans (1971), «On the density of discriminants of cubic fields. II», Proceedings of the Royal Society A 322 (1551): 405–420, doi:10.1098/rspa.1971.0075
Hasse, Helmut (1930), «Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischer Grundlage», Mathematische Zeitschrift 31 (1): 565–582, doi:10.1007/BF01246435
Roberts, David P. (2001), «Density of cubic field discriminants», Mathematics of Computation 70 (236): 1699–1705, doi:10.1090/s0025-5718-00-01291-6
Taniguchi, Takashi; Thorne, Frank (2013), «Secondary terms in counting functions for cubic fields», Duke Mathematical Journal 162 (13): 2451–2508, doi:10.1215/00127094-2371752

Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (Second έκδοση), Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-37889-1, ISBN 978-3-540-37888-4,
Zbl 1136.11001
Rubin, Karl (1991), «The 'main conjectures' of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields», Inventiones Mathematicae 103 (1): 25–68, doi:10.1007/BF01239508, ISSN 0020-9910,
Zbl 0737.11030
Skinner, Chris; Urban, Éric (2010), The Iwasawa main conjectures for GL₂, σελ. 219, http://www.math.columbia.edu/%7Eurban/eurp/MC.pdf
Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to cyclotomic fields, Graduate Texts in Mathematics, 83 (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4, https://books.google.com/books?isbn=0-387-94762-0
Wiles, Andrew (1990), «The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields», Annals of Mathematics 131 (3): 493–540, doi:10.2307/1971468,
Zbl 0719.11071
Rotman, Joseph (1998). Galois Theory. Universitext (Second έκδοση). Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7. MR 1645586.
Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 53. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5. MR 1405612.
van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Moderne Algebra (στα German). Berlin: Springer. CS1 maint: Μη αναγνωρίσιμη γλώσσα (link) . English translation (of 2nd revised edition): Modern algebra. New York: Frederick Ungar. 1949. (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)
Pop, Florian (2001). «(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic» (PDF).

Πηγές

Martin, George E. (1998). Geometric Constructions. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98276-0. Zbl 0890.51015.
Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,
Zbl 1103.12002
Elman, Richard; Lam, T. Y. (1972), «Quadratic forms over formally real fields and pythagorean fields», American Journal of Mathematics 94 (4): 1155–1194, doi:10.2307/2373568, ISSN 0002-9327
Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,
Zbl 1206.51015
Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho
Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
Zbl 0516.12001
, https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt
Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

[1] «Valuation - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 23 Μαΐου 2025.

[2] Weisstein, Eric W. «Valuation». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 23 Μαΐου 2025.

[3] «Valued Algebra - an overview | ScienceDirect Topics». www.sciencedirect.com. Ανακτήθηκε στις 23 Μαΐου 2025.

[4] Weisstein, Eric W. «Multiplicative Group». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 23 Μαΐου 2025.

[5] Levi, F. W. (1942-10-01). «Ordered groups» (στα αγγλικά). Proceedings of the Indian Academy of Sciences - Section A 16 (4): 256. doi:10.1007/BF03174799. ISSN 0370-0089. https://link.springer.com/article/10.1007/BF03174799.

[7] «Germ - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 23 Μαΐου 2025.

[12] Emil Artin Geometric Algebra, pages 47 to 49, via Internet Archive

[6] The symbol ∞ denotes an element not in $Γ$ , with no other meaning. Its properties are simply defined by the given axioms.

[8] With the min convention here, the valuation is rather interpreted as the negative of the order of the leading order term, but with the max convention it can be interpreted as the order.

[9] Again, swapped since using minimum convention.

[10] Every Archimedean group is isomorphic to a subgroup of the real numbers under addition, but non-Archimedean ordered groups exist, such as the additive group of a non-Archimedean ordered field.

[11] In the tropical semiring, minimum and addition of real numbers are considered tropical addition and tropical multiplication; these are the semiring operations.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[α]

[6]

[β]

[γ]

[δ]

[ε]

[7]