Εκθετικό ολοκλήρωμα

Γραφική παράσταση του εκθετικού ολοκληρώματος E n(z) με n=2 στο μιγαδικό επίπεδο από-2-2i έως 2+2i με χρώματα που δημιουργήθηκαν με τη συνάρτηση ComplexPlot3D του Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Στα μαθηματικά, το εκθετικό ολοκλήρωμα Ei είναι μια ειδική συνάρτηση στο μιγαδικό επίπεδο.

Ορίζεται ως ένα συγκεκριμένο ορισμένο ολοκλήρωμα του λόγου μεταξύ μιας εκθετικής συνάρτησης και του ορίσματός της.

Ορισμός

Για πραγματικές μη μηδενικές τιμές του x, το εκθετικό ολοκλήρωμα Ei(x) ορίζεται ως εξής

$\operatorname {Ei} (x)=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,dt=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,dt.$

Ο αλγόριθμος Ρις δείχνει ότι η Ei δεν είναι στοιχειώδης συνάρτηση. Ο παραπάνω ορισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί για θετικές τιμές του x, αλλά το ολοκλήρωμα πρέπει να γίνει κατανοητό ως προς την κύρια τιμή Κωσύ λόγω της ιδιομορφίας του ολοκληρώματος στο μηδέν.

Για μιγαδικές τιμές του ορίσματος, ο καθορισμός γίνεται ασαφής λόγω των σημείων διακλάδωσης στο 0 και $\infty$. Αντί του Ei, χρησιμοποιείται ο ακόλουθος συμβολισμός,

$E_{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,dt,\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi$

Διάγραμμα του εκθετικού ολοκληρώματος Ei(z) στο μιγαδικό επίπεδο από -2-2i έως 2+2i με χρώματα που δημιουργήθηκε με το Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Για θετικές τιμές του x, έχουμε $-E_{1}(x)=\operatorname {Ei} (-x)$.

Γενικά, η αποκοπή του κλάδου γίνεται στον αρνητικό πραγματικό άξονα και το E₁ μπορεί να οριστεί με αναλυτική συνέχεια σε άλλο σημείο του μιγαδικού επιπέδου.

Για θετικές τιμές του πραγματικού μέρους του $z$, αυτό μπορεί να γραφεί

$E_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt=\int _{0}^{1}{\frac {e^{-z/u}}{u}}\,du,\qquad \Re (z)\geq 0.$

Η συμπεριφορά του E₁ κοντά στην αποκοπή της διακλάδωσης μπορεί να φανεί από την ακόλουθη σχέση:

$\lim _{\delta \to 0+}E_{1}(-x\pm i\delta )=-\operatorname {Ei} (x)\mp i\pi ,\qquad x>0.$

Ιδιότητες

Διάφορες ιδιότητες του εκθετικού ολοκληρώματος που ακολουθεί, σε ορισμένες περιπτώσεις, επιτρέπουν να αποφύγουμε τη ρητή αξιολόγησή του μέσω του παραπάνω ορισμού.

Συγκλίνουσα σειρά

Γραφική παράσταση της συνάρτησης $E_{1}$ (πάνω) και της συνάρτησης $\operatorname {Ei}$ (κάτω).

Για πραγματικά ή μιγαδικά ορίσματα εκτός του αρνητικού πραγματικού άξονα, το $E_{1}(z)$ μπορεί να εκφραστεί ως εξής

$E_{1}(z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\;k!}}\qquad (\left|\operatorname {Arg} (z)\right|<\pi )$

όπου $\gamma$ είναι η σταθερά Όιλερ-Μαστσερόνι. Το άθροισμα συγκλίνει για όλα τα μιγαδικά $z$, και παίρνουμε τη συνήθη τιμή του μιγαδικού λογαρίθμου που έχει μια αποκοπή κλάδου κατά μήκος του αρνητικού πραγματικού άξονα.

Αυτός ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του $E_{1}(x)$ με πράξεις κινητής υποδιαστολής για πραγματικό $x$ μεταξύ 0 και 2,5. Για $x>2,5$, το αποτέλεσμα είναι ανακριβές λόγω ακύρωσης.

Μια σειρά με ταχύτερη σύγκλιση βρέθηκε από τον Ραμανουτζάν:

${\rm {Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\exp {(x/2)}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}$

Ασυμπτωτικές (αποκλίνουσες) σειρές

Σχετικό σφάλμα της ασυμπτωτικής προσέγγισης για διαφορετικό αριθμό $~N~$ όρων στο αποκομμένο άθροισμα

Δυστυχώς, η σύγκλιση της παραπάνω σειράς είναι αργή για ορίσματα μεγαλύτερου συντελεστή. Επί παραδείγματι, απαιτούνται περισσότεροι από 40 όροι για να πάρουμε μια σωστή απάντηση με τρία σημαντικά ψηφία για το $E_{1}(10)$. Ωστόσο, για θετικές τιμές του x, υπάρχει μια προσέγγιση αποκλίνουσας σειράς που μπορεί να ληφθεί με ολοκλήρωση $xe^{x}E_{1}(x)$ κατά μέρη:

$E_{1}(x)={\frac {\exp(-x)}{x}}\left(\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-x)^{n}}}+O(N!x^{-N})\right)$

Το σχετικό σφάλμα της παραπάνω προσέγγισης απεικονίζεται στο σχήμα στα δεξιά για διάφορες τιμές του $N$, του αριθμού των όρων στο αποκομμένο άθροισμα ($N=1$ με κόκκινο χρώμα, $N=5$ με ροζ χρώμα).

Ασυμπτωτική πέραν όλων των τάξεων

Χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση κατά μέρη, μπορούμε να λάβουμε έναν ρητό τύπο a

$\operatorname {Ei} (z)={\frac {e^{z}}{z}}\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{z^{k}}}+e_{n}(z)\right),\quad e_{n}(z)\equiv (n+1)!\ ze^{-z}\int _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t^{n+2}}}\,dt$ Για οποιοδήποτε σταθερό $z$,

η απόλυτη τιμή του όρου σφάλματος $|e_{n}(z)|$ μειώνεται και στη συνέχεια αυξάνεται. Το ελάχιστο εμφανίζεται στο $n\sim |z|$,σε αυτό το σημείο

$\vert e_{n}(z)\vert \leq {\sqrt {\frac {2\pi }{\vert z\vert }}}e^{-\vert z\vert }$. Αυτό το όριο λέγεται ότι είναι «ασυμπτωτικό πέραν όλων των τάξεων».

Εκθετική και λογαριθμική συμπεριφορά: παρένθεση

Παρένθεση της $E_{1}$ με στοιχειώδεις συναρτήσεις

Από τις δύο σειρές που προτάθηκαν στις προηγούμενες υποενότητες, προκύπτει ότι η $E_{1}$ συμπεριφέρεται σαν αρνητικός εκθετικός για μεγάλες τιμές του ορίσματος και σαν λογάριθμος για μικρές τιμές. Για θετικές πραγματικές τιμές του ορίσματος, η $E_{1}$ μπορεί να τεθεί σε παρένθεση με στοιχειώδεις συναρτήσεις ως εξής:

${\frac {1}{2}}e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\qquad x>0$

Η αριστερή πλευρά αυτής της ανισότητας παρουσιάζεται στο γράφημα στα αριστερά με μπλε χρώμα- το κεντρικό τμήμα $E_{1}(x)$ παρουσιάζεται με μαύρο χρώμα και η δεξιά πλευρά παρουσιάζεται με κόκκινο χρώμα.

Ορισμός από τον Έιν

Τόσο η $\operatorname {Ei}$ όσο και η $E_{1}$ μπορούν να γραφούν πιο απλά χρησιμοποιώντας την ακέραια συνάρτηση $\operatorname {Ein}$ defined as

$\operatorname {Ein} (z)=\int _{0}^{z}(1-e^{-t}){\frac {dt}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}$

(να σημειωθεί ότι πρόκειται απλώς για την εναλλασσόμενη σειρά στον παραπάνω ορισμό του $E_{1}$). Τότε έχουμε

$E_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z)\qquad \left|\operatorname {Arg} (z)\right|<\pi$

$\operatorname {Ei} (x)\,=\,\gamma +\ln {x}-\operatorname {Ein} (-x)\qquad x\neq 0$

Η συνάρτηση $\operatorname {Ein}$ σχετίζεται με την εκθετική συνάρτηση παραγωγής των αρμονικών αριθμών:

$\operatorname {Ein} (z)=e^{-z}\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}$

Σχέση με άλλες συναρτήσεις

Εξίσωση του Κούμερ

$z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0$

επιλύεται συνήθως με τις συγκλίνουσες υπεργεωμετρικές συναρτήσεις $M(a,b,z)$ και $U(a,b,z).$ Αλλά όταν $a=0$ και $b=1,$ δηλαδή,

$z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(1-z){\frac {dw}{dz}}=0$

έχουμε

$M(0,1,z)=U(0,1,z)=1$

για όλα τα z. Μια δεύτερη λύση δίνεται τότε από την E₁(−z). Πράγματι,

$E_{1}(-z)=-\gamma -i\pi +{\frac {\partial [U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a}},\qquad 0<{\rm {Arg}}(z)<2\pi$

με την παράγωγο να εκτιμάται στο $a=0.$ Μια άλλη σύνδεση με τις συρροές των υπεργεωμετρικών συναρτήσεων είναι ότι η E₁ είναι εκθετική επί τη συνάρτηση U(1,1,z):

$E_{1}(z)=e^{-z}U(1,1,z)$

Το εκθετικό ολοκλήρωμα συνδέεται στενά με τη λογαριθμική ολοκληρωτική συνάρτηση li(x) με τον τύπο

$\operatorname {li} (e^{x})=\operatorname {Ei} (x)$

για μη μηδενικές πραγματικές τιμές του $x$.

Γενίκευση

Το εκθετικό ολοκλήρωμα μπορεί επίσης να γενικευτεί ως εξής

$E_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,dt,$

η οποία μπορεί να γραφεί ως ειδική περίπτωση της ανώτερης ατελούς συνάρτησης γάμμα:

$E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).$

Η γενικευμένη μορφή ονομάζεται μερικές φορές συνάρτηση Μίσρα $\varphi _{m}(x)$, που ορίζεται ως

$\varphi _{m}(x)=E_{-m}(x).$

Πολλές ιδιότητες αυτής της γενικευμένης μορφής μπορούν να βρεθούν στη Ψηφιακή Βιβλιοθήκη Μαθηματικών Συναρτήσεων NIST

Συμπεριλαμβάνοντας έναν λογάριθμο ορίζεται η γενικευμένη ολοκληρο-εκθετική συνάρτηση

$E_{s}^{j}(z)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{1}^{\infty }\left(\log t\right)^{j}{\frac {e^{-zt}}{t^{s}}}\,dt.$

Παράγωγα

Οι παράγωγοι των γενικευμένων συναρτήσεων $E_{n}$ μπορούν να υπολογιστούν μέσω του τύπου

$E_{n}'(z)=-E_{n-1}(z)\qquad (n=1,2,3,\ldots )$

Ας σημειωθεί ότι η συνάρτηση $E_{0}$ είναι εύκολο να εκτιμηθεί (καθιστώντας αυτή την αναδρομή χρήσιμη), αφού είναι απλώς $e^{-z}/z$.

Εκθετικό ολοκλήρωμα φανταστικού επιχειρήματος

$E_{1}(ix)$ κατά $x$- πραγματικό μέρος μαύρο, φανταστικό μέρος κόκκινο.

Αν το $z$ είναι φανταστικό, έχει μη αρνητικό πραγματικό μέρος, οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο

$E_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt$

για να προκύψει μια σχέση με τα τριγωνομετρικά ολοκληρώματα

$\operatorname {Si}$ and $\operatorname {Ci}$:

$E_{1}(ix)=i\left[-{\tfrac {1}{2}}\pi +\operatorname {Si} (x)\right]-\operatorname {Ci} (x)\qquad (x>0)$

Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του $\mathrm {E} _{1}(ix)$ απεικονίζονται στο σχήμα στα δεξιά με μαύρες και κόκκινες καμπύλες.

Προσεγγίσεις

Υπήρξαν πολλές προσεγγίσεις για την εκθετική ολοκληρωτική συνάρτηση. Σε αυτές περιλαμβάνονται οι εξής: 1:

• Η προσέγγιση των Σουάμι και Οχίγια. $E_{1}(x)=\left(A^{-7.7}+B\right)^{-0.13},$

όπου

${\begin{aligned}A&=\ln \left[\left({\frac {0.56146}{x}}+0.65\right)(1+x)\right]\\B&=x^{4}e^{7.7x}(2+x)^{3.7}\end{aligned}}$

• Η προσέγγιση Άλεν και Χέιστινγκς

$E_{1}(x)={\begin{cases}-\ln x+{\textbf {a}}^{T}{\textbf {x}}_{5},&x\leq 1\\{\frac {e^{-x}}{x}}{\frac {{\textbf {b}}^{T}{\textbf {x}}_{3}}{{\textbf {c}}^{T}{\textbf {x}}_{3}}},&x\geq 1\end{cases}}$

όπου

${\begin{aligned}{\textbf {a}}&\triangleq [-0.57722,0.99999,-0.24991,0.05519,-0.00976,0.00108]^{T}\\{\textbf {b}}&\triangleq [0.26777,8.63476,18.05902,8.57333]^{T}\\{\textbf {c}}&\triangleq [3.95850,21.09965,25.63296,9.57332]^{T}\\{\textbf {x}}_{k}&\triangleq [x^{0},x^{1},\dots ,x^{k}]^{T}\end{aligned}}$

• Η συνεχής επέκταση του κλάσματος

$E_{1}(x)={\cfrac {e^{-x}}{x+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{x+{\cfrac {3}{\ddots }}}}}}}}}}}}.$

• Η προσέγγιση του Μπάρι και λοιποί

$E_{1}(x)={\frac {e^{-x}}{G+(1-G)e^{-{\frac {x}{1-G}}}}}\ln \left[1+{\frac {G}{x}}-{\frac {1-G}{(h+bx)^{2}}}\right],$

όπου

${\begin{aligned}h&={\frac {1}{1+x{\sqrt {x}}}}+{\frac {h_{\infty }q}{1+q}}\\q&={\frac {20}{47}}x^{\sqrt {\frac {31}{26}}}\\h_{\infty }&={\frac {(1-G)(G^{2}-6G+12)}{3G(2-G)^{2}b}}\\b&={\sqrt {\frac {2(1-G)}{G(2-G)}}}\\G&=e^{-\gamma }\end{aligned}}$

με $\gamma$ τη σταθερά Όιλερ-Μαστσερόνι.

Αντίστροφη συνάρτηση του εκθετικού ολοκληρώματος

Η αντίστροφη συνάρτηση του εκθετικού ολοκληρώματος μπορεί να εκφραστεί σε μορφή δυναμοσειράς:

$\forall |x|<{\frac {\mu }{\ln(\mu )}},\quad \mathrm {Ei} ^{-1}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}{\frac {P_{n}(\ln(\mu ))}{\mu ^{n}}}$

όπου $\mu$ είναι η σταθερά Ραμανουτζάν-Σόλντνερ και $(P_{n})$ είναι πολυωνυμική ακολουθία που ορίζεται από την ακόλουθη σχέση αναδρομής:

$P_{0}(x)=x,\ P_{n+1}(x)=x(P_{n}'(x)-nP_{n}(x)).$

Για $n>0$, $\deg P_{n}=n$ και έχουμε τον εξής τύπο :

$P_{n}(x)=\left.\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)^{n-1}\left({\frac {te^{x}}{\mathrm {Ei} (t+x)-\mathrm {Ei} (x)}}\right)^{n}\right|_{t=0}.$

Εφαρμογές

• Χρονοεξαρτώμενη μεταφορά θερμότητας
• Ροή εδαφικών υδάτων χωρίς ισορροπία στη λύση Θέις (γνωστή ως συνάρτηση πηγής)
• Μεταφορά ακτινοβολίας σε αστρικές και πλανητικές ατμόσφαιρες
• Εξίσωση ακτινικής διαχυτότητας για ροή σε μεταβατική ή ασταθή κατάσταση με πηγές και καταβόθρες γραμμής
• Λύσεις της εξίσωσης μεταφοράς νετρονίων σε απλουστευμένες μονοδιάστατες γεωμετρίες
• Λύσεις της μη γραμμικής διαφορικής εξίσωσης Τραχένκο-Ζακόνε για την τεντωμένη εκθετική συνάρτηση στη χαλάρωση των άμορφων στερεών και τη υαλώδη μετάβαση.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Πολυώνυμο
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Vaughn, Michael T. (18 Ιουνίου 2007). Introduction to Mathematical Physics. John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-40627-2. 
• Abramowitz, Milton· Stegun, Irene A. (1 Ιανουαρίου 1965). Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-61272-0. 
• Lebedev, N. N. (30 Απριλίου 2012). Special Functions & Their Applications. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13989-0. 
• Siegel, Robert (7 Δεκεμβρίου 2001). Thermal Radiation Heat Transfer, Fourth Edition. CRC Press. ISBN 978-1-56032-839-1. 
• Graf, Urs (12 Μαρτίου 2010). Introduction to Hyperfunctions and Their Integral Transforms: An Applied and Computational Approach. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-0346-0407-9. 
• Mainardi, Francesco (2010). Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. World Scientific. ISBN 978-1-84816-330-0. 
• Barrett, Terence William· Grimes, Dale M. (16 Νοεμβρίου 1995). Advanced Electromagnetism: Foundations: Theory And Applications. World Scientific. ISBN 978-981-4501-08-8. 
• Temme, Nico M. (31 Οκτωβρίου 2014). Asymptotic Methods For Integrals. World Scientific. ISBN 978-981-4612-17-3. 
• Weisstein, Eric W. (12 Δεκεμβρίου 2002). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3522-3. 
• Press, William H.· Teukolsky, Saul A. (2007). Numerical Recipes with Source Code CD-ROM 3rd Edition: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88407-5. 

Παραπομπές

• Abramowitz, Milton· Irene Stegun (1964). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Abramowitz and Stegun. New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. , Chapter 5.
• Bender, Carl M.· Steven A. Orszag (1978). Advanced mathematical methods for scientists and engineers. McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-004452-4. 
• Bleistein, Norman· Richard A. Handelsman (1986). Asymptotic Expansions of Integrals. Dover. ISBN 978-0-486-65082-1. 
• Andrews, George E.; Berndt, Bruce C. (2013), Ramanujan's lost notebook. Part IV, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-4614-4080-2 
• Busbridge, Ida W. (1950). «On the integro-exponential function and the evaluation of some integrals involving it». Quart. J. Math. (Oxford) 1 (1): 176–184. doi:10.1093/qmath/1.1.176. Bibcode: 1950QJMat...1..176B. 
• Stankiewicz, A. (1968). «Tables of the integro-exponential functions». Acta Astronomica 18: 289. Bibcode: 1968AcA....18..289S. 
• Sharma, R. R.; Zohuri, Bahman (1977). «A general method for an accurate evaluation of exponential integrals E₁(x), x>0». J. Comput. Phys. 25 (2): 199–204. doi:10.1016/0021-9991(77)90022-5. Bibcode: 1977JCoPh..25..199S. 
• Kölbig, K. S. (1983). «On the integral exp(−μt)t^ν−1log^mt dt». Math. Comput. 41 (163): 171–182. doi:10.1090/S0025-5718-1983-0701632-1. 
• Milgram, M. S. (1985). «The generalized integro-exponential function». Mathematics of Computation 44 (170): 443–458. doi:10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4. . 
• Misra, Rama Dhar; Born, M. (1940). «On the Stability of Crystal Lattices. II». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 36 (2): 173. doi:10.1017/S030500410001714X. Bibcode: 1940PCPS...36..173M. 
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1988). «On the evaluation of generalized exponential integrals E_ν(x)». J. Comput. Phys. 78 (2): 278–287. doi:10.1016/0021-9991(88)90050-2. Bibcode: 1988JCoPh..78..278C. 
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1990). «Recent results for generalized exponential integrals». Computer Math. Applic. 19 (5): 21–29. doi:10.1016/0898-1221(90)90098-5. https://www.openaccessrepository.it/record/135675. 
• MacLeod, Allan J. (2002). «The efficient computation of some generalised exponential integrals». J. Comput. Appl. Math. 148 (2): 363–374. doi:10.1016/S0377-0427(02)00556-3. Bibcode: 2002JCoAM.148..363M. 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0