Εικοστό δεύτερο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το εικοστό δεύτερο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι η προτελευταία καταχώρηση στον περίφημο κατάλογο των 23 προβλημάτων Χίλμπερτ που συνέταξε το 1900 ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ. Περιλαμβάνει την ομογενοποίηση των αναλυτικών σχέσεων μέσω αυτόμορφων συναρτήσεων. Ήταν ένα από τα πιο διάσημα μαθηματικά προβλήματα της εποχής και αποτέλεσε αντικείμενο πολλών ερευνών στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα και στις αρχές του 20ού αιώνα.

Δήλωση του προβλήματος

Το πλήρες κείμενο της αρχικής δήλωσης του προβλήματος έχει ως εξής:

-Όπως απέδειξε πρώτος ο Πουανκαρέ, είναι πάντα δυνατό να αναχθεί οποιαδήποτε αλγεβρική σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών σε ομοιόμορφη με τη χρήση αυτομορφικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Δηλαδή, αν δοθεί οποιαδήποτε αλγεβρική εξίσωση σε δύο μεταβλητές, μπορούν πάντα να βρεθούν για τις μεταβλητές αυτές δύο τέτοιες αυτομορφικές συναρτήσεις μίας μεταβλητής που η αντικατάστασή τους καθιστά τη δεδομένη αλγεβρική εξίσωση ταυτότητα. Η γενίκευση αυτού του θεμελιώδους θεωρήματος σε οποιεσδήποτε αναλυτικές μη αλγεβρικές σχέσεις μεταξύ δύο μεταβλητών επιχειρήθηκε επίσης με επιτυχία από τον Πουανκαρέ, αν και με έναν τρόπο εντελώς διαφορετικό από αυτόν που τον βοήθησε στο ειδικό πρόβλημα που αναφέρθηκε αρχικά. Από την απόδειξη του Πουανκαρέ για τη δυνατότητα αναγωγής σε ομοιομορφία μιας αυθαίρετης αναλυτικής σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών, ωστόσο, δεν γίνεται φανερό αν οι συναρτήσεις επίλυσης μπορούν να προσδιοριστούν ώστε να πληρούν ορισμένες πρόσθετες συνθήκες. Δηλαδή, δεν αποδεικνύεται αν οι δύο μονότιμες συναρτήσεις της μίας νέας μεταβλητής μπορούν να επιλεγούν έτσι ώστε, ενώ η μεταβλητή αυτή διασχίζει την κανονική περιοχή των συναρτήσεων αυτών, να προσεγγίζεται και να αναπαρίσταται το σύνολο όλων των κανονικών σημείων του συγκεκριμένου αναλυτικού σώματος. Αντίθετα, από τις έρευνες του Πουανκαρέ φαίνεται ότι εκτός από τα σημεία διακλάδωσης υπάρχουν και ορισμένα άλλα, γενικά άπειρα άλλα διακριτά έκτακτα σημεία του αναλυτικού σώματος, τα οποία μπορούν να προσεγγιστούν μόνο αν η νέα μεταβλητή πλησιάσει ορισμένα οριακά σημεία των συναρτήσεων. Λόγω της θεμελιώδους σημασίας της διατύπωσης του ερωτήματος από τον Πουανκαρέ, μου φαίνεται ότι η διευκρίνιση και η επίλυση αυτής της δυσκολίας είναι εξαιρετικά επιθυμητή.

Σε συνδυασμό με το πρόβλημα αυτό προκύπτει το πρόβλημα της αναγωγής σε ομοιομορφία μιας αλγεβρικής ή οποιασδήποτε άλλης αναλυτικής σχέσης μεταξύ τριών ή περισσότερων σύνθετων μεταβλητών - ένα πρόβλημα που είναι γνωστό ότι είναι επιλύσιμο σε πολλές συγκεκριμένες περιπτώσεις. Προς την κατεύθυνση της επίλυσής του οι πρόσφατες έρευνες του Πικάρ για τις αλγεβρικές συναρτήσεις δύο μεταβλητών πρέπει να θεωρηθούν ευπρόσδεκτες και σημαντικές προκαταρκτικές μελέτες.

Μερική επίλυση

Βλ.. Θεώρημα ομογενοποίησης

Ο Κοέμπε (Koebe) απέδειξε το γενικό θεώρημα ομογενοποίησης ότι αν μια επιφάνεια Ρίμαν είναι ομοιομορφική με ένα ανοικτό υποσύνολο της μιγαδικής σφαίρας (ή ισοδύναμα αν κάθε καμπύλη Τζόρνταν τη διαχωρίζει), τότε είναι συμμορφικά ισοδύναμη με ένα ανοικτό υποσύνολο της μιγαδικής σφαίρας.

Τρέχουσα κατάσταση

Αυτό το πρόβλημα είναι επί του παρόντος ανοιχτό. Κάποια πρόοδος έχει σημειωθεί από τους Γκρίφιθ και Μπερς.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Proof of Dehn's Theorem at Everything2
• Weisstein, Eric W., "Dehn Invariant" από το MathWorld.
• Dehn Invariant at Everything2
• Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

Δείτε επίσης

• Μερική διαφορική εξίσωση
• Ακέραιος αριθμός
• Θεωρία αριθμών
• Δυναμικός προγραμματισμός
• Σώμα Αριθμών
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μερική διαφορική εξίσωση
• Δωδέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος
• Μοδιακή αριθμητική
• Καρλ Φρίντριχ Γκάους

Βιβλιογραφία

• Danilov, V. I.· Shokurov, V. V. (1 Δεκεμβρίου 2013). Algebraic Geometry I: Algebraic Curves, Algebraic Manifolds and Schemes. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-57878-6. 
• Yandell, Ben (12 Δεκεμβρίου 2001). The Honors Class: Hilbert's Problems and Their Solvers. CRC Press. ISBN 978-1-4398-6422-7. 
• Hazewinkel, Michiel (6 Δεκεμβρίου 2012). Encyclopaedia of Mathematics: Supplement Volume II. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-015-1279-4. 
• Struik, Dirk J. (28 Ιουνίου 2012). A Concise History of Mathematics: Fourth Revised Edition. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13888-6. 
• Tobies, Renate (23 Ιουνίου 2021). Felix Klein: Visions for Mathematics, Applications, and Education. Springer Nature. ISBN 978-3-030-75785-4. 
• Berto, Francesco (13 Σεπτεμβρίου 2011). There's Something About Gödel: The Complete Guide to the Incompleteness Theorem. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-4443-5761-5. 
• Danilov, V. I.· Shokurov, V. V. (17 Μαρτίου 1998). Algebraic Geometry I: Algebraic Curves, Algebraic Manifolds and Schemes. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-63705-9. 
• Freitag, Eberhard (10 Ιουνίου 2011). Complex Analysis 2: Riemann Surfaces, Several Complex Variables, Abelian Functions, Higher Modular Functions. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-20554-5. 
• Bezrukavnikov, Roman· Braverman, Alexander (15 Δεκεμβρίου 2017). Geometry of Moduli Spaces and Representation Theory. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-3574-5. 
• Duplantier, Bertrand· Rivasseau, Vincent (14 Νοεμβρίου 2014). Henri Poincaré, 1912–2012: Poincaré Seminar 2012. Springer. ISBN 978-3-0348-0834-7. 

Παραπομπές

• Shreeram Shankar Abhyankar, "Hilbert's Thirteenth Problem", Algèbre non commutative, groupes quantiques et invariants (Reims, 1995), 1–11, Sémin. Congr., 2, Soc. Math. France, Paris, 1997.
• Edwards, Steve (2003), Heesch's Tiling, http://www.spsu.edu/math/tiling/17.html 
• Tate, John (1976). «Problem 9: The general reciprocity law». Στο: Felix E. Browder, επιμ. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. XXVIII.2. American Mathematical Society. σελίδες 311–322. ISBN 0-8218-1428-1. 
• Milnor, J. (1976), «Hilbert's problem 18», στο: Browder, Felix E., επιμ., Mathematical developments arising from Hilbert problems, Proceedings of symposia in pure mathematics, 28, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1428-1 

Πηγές

• Schwarz, H. A. (1870), «Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren», Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich 15: 272–286, https://www.biodiversitylibrary.org/item/34472#page/280/mode/1up .
• Klein, Felix (1883), «Neue Beiträge zur Riemann'schen Functionentheorie», Mathematische Annalen 21 (2): 141–218, doi:10.1007/BF01442920, ISSN 0025-5831, https://zenodo.org/record/2161412 
• Koebe, P. (1907a), «Über die Uniformisierung reeller analytischer Kurven», Göttinger Nachrichten: 177–190, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00250118X 
• Rowe, David E. (9 Ιανουαρίου 2021). Emmy Noether – Mathematician Extraordinaire. Springer Nature. ISBN 978-3-030-63810-8. 
• Reid, Constance (5 Ιουνίου 2013). Courant. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-21626-3. 
• Menzler-Trott, Eckart (7 Μαρτίου 2013). Gentzens Problem: Mathematische Logik im nationalsozialistischen Deutschland. Springer-Verlag. ISBN 978-3-0348-8325-2.