Εικασία του Χολ

Στα μαθηματικά, η εικασία του Χολ είναι ένα ανοιχτό ερώτημα σχετικά με τις διαφορές μεταξύ τέλειων τετραγώνων και τέλειων κύβων. Ισχυρίζεται ότι ένα τέλειο τετράγωνο y² και ένας τέλειος κύβος x³ που δεν είναι ίσα πρέπει να απέχουν μεταξύ τους μια σημαντική απόσταση. Το ερώτημα αυτό προέκυψε από την εξέταση της εξίσωσης Μορντέλ στη θεωρία των ακέραιων σημείων σε ελλειπτικές καμπύλες.

Η αρχική εκδοχή της εικασίας του Χολ, που διατυπώθηκε από τον Μάρσαλ Χολ Τζούνιορ το 1970, λέει ότι υπάρχει μια θετική σταθερά C τέτοια ώστε για κάθε ακέραιο x και y για τον οποίο y² ≠ x³,

$|y^{2}-x^{3}|>C{\sqrt {|x|}}.$

Ο Χολ πρότεινε ότι ίσως το C θα μπορούσε να ληφθεί ως 1/5, το οποίο ήταν σύμφωνο με όλα τα δεδομένα που ήταν γνωστά κατά τη στιγμή που προτάθηκε η εικασία. Ο Ντανίλοφ έδειξε το 1982 ότι ο εκθέτης 1/2 στη δεξιά πλευρά (δηλαδή η χρήση του |x|^1/2) δεν μπορεί να αντικατασταθεί από οποιαδήποτε μεγαλύτερη δύναμη: για κανένα δ > 0 δεν υπάρχει μια σταθερά C τέτοια ώστε |y² − x³| > C|x|^{1/2 + δ} όποτε y² ≠ x³.

Το 1965, ο Ντέιβενπορτ απέδειξε ένα ανάλογο της παραπάνω εικασίας στην περίπτωση των πολυωνύμων: αν f(t) και g(t) είναι μη μηδενικά πολυώνυμα στους μιγαδικούς αριθμούς C' έτσι ώστε g(t)³ ≠ f(t)² στο C[t], τότε

$\deg(g(t)^{2}-f(t)^{3})\geq {\frac {1}{2}}\deg f(t)+1.$

Η ασθενής μορφή της εικασίας του Χολ, που διατυπώθηκε από τους Σταρκ και Τρότερ γύρω στο 1980, αντικαθιστά την τετραγωνική ρίζα στη δεξιά πλευρά της ανισότητας με οποιονδήποτε εκθέτη μικρότερο από 1/2: για οποιοδήποτε ε > 0, υπάρχει κάποια σταθερά c(ε) που εξαρτάται από το ε, έτσι ώστε για οποιουσδήποτε ακέραιους x και y για τους οποίους y² ≠ x³,

$|y^{2}-x^{3}|>c(\varepsilon )x^{1/2-\varepsilon }.$

Η αρχική, ισχυρή, μορφή της εικασίας με εκθέτη 1/2 δεν διαψεύστηκε ποτέ, αν και δεν πιστεύεται πλέον ότι είναι αληθής και ο όρος εικασία του Χολ σημαίνει τώρα γενικά την εκδοχή με το ε. Παραδείγματος χάριν, το 1998, ο Νόαμ Έλκις βρήκε το παράδειγμα

447884928428402042307918² − 5853886516781223³ = -1641843,

για την οποία η συμβατότητα με την εικασία του Χολ θα απαιτούσε το C να είναι μικρότερο από 0,0214 ≈ 1/50, δηλαδή περίπου 10 φορές μικρότερο από την αρχική επιλογή του 1/5 που πρότεινε ο Χολ.

Η ασθενής μορφή της εικασίας του Χολ μπορεί να προκύψει από την εικασία ABC. Μια γενίκευση σε άλλες τέλειες δυνάμεις είναι η εικασία του Πιλάι, αν και είναι επίσης γνωστό ότι η εικασία του Πιλάι θα ήταν αληθής αν η εικασία του Χολ ίσχυε για οποιοδήποτε συγκεκριμένο 0 < ε < 1/2.

Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τις γνωστές περιπτώσεις με $r={\sqrt {x}}/|y^{2}-x^{3}|>1$. Ας σημειωθεί ότι το y μπορεί να υπολογιστεί ως ο πλησιέστερος ακέραιος αριθμός στο x^3/2. Αυτή η λίστα είναι γνωστό ότι περιέχει όλα τα παραδείγματα με $x\leq 10^{29}$ (οι πρώτες 44 καταχωρήσεις του πίνακα), αλλά μπορεί να είναι ελλιπής μετά από αυτό το σημείο.

#	x	r
1	2	1.41
2	5234	4.26	a
3	8158	3.76	a
4	93844	1.03	a
5	367806	2.93	a
6	421351	1.05	a
7	720114	3.77	a
8	939787	3.16	a
9	28187351	4.87	a
10	110781386	1.23	a
11	154319269	1.08	a
12	384242766	1.34	a
13	390620082	1.33	a
14	3790689201	2.20	a
15	65589428378	2.19	b
16	952764389446	1.15	b
17	12438517260105	1.27	b
18	35495694227489	1.15	b
19	53197086958290	1.66	b
20	5853886516781223	46.60	b
21	12813608766102806	1.30	b
22	23415546067124892	1.46	b
23	38115991067861271	6.50	b
24	322001299796379844	1.04	b
25	471477085999389882	1.38	b
26	810574762403977064	4.66	b
27	9870884617163518770	1.90	c
28	42532374580189966073	3.47	c
29	44648329463517920535	1.79	c
30	51698891432429706382	1.75	c
31	231411667627225650649	3.71	c
32	601724682280310364065	1.88	c
33	4996798823245299750533	2.17	c
34	5592930378182848874404	1.38	c
35	14038790674256691230847	1.27	c
36	77148032713960680268604	10.18	d
37	180179004295105849668818	5.65	d
38	372193377967238474960883	1.33	c
39	664947779818324205678136	16.53	c
40	2028871373185892500636155	1.14	d
41	10747835083471081268825856	1.35	c
42	37223900078734215181946587	1.38	c
43	69586951610485633367491417	1.22	e
44	3690445383173227306376634720	1.51	c
45	133545763574262054617147641349	1.69	e
46	162921297743817207342396140787	10.65	e
47	374192690896219210878121645171	2.97	e
48	401844774500818781164623821177	1.29	e
49	500859224588646106403669009291	1.06	e
50	1114592308630995805123571151844	1.04	f
51	39739590925054773507790363346813	3.75	e
52	862611143810724763613366116643858	1.10	e
53	1062521751024771376590062279975859	1.006	e
54	6078673043126084065007902175846955	1.03	c

Σημειώσεις του Πίνακα

• (a) GPZ.J. Gebel, A. Pethö and H.G. Zimmer.
• (b) Noam D. Elkies (συμπεριλαμβανομένης της καταχώρησης 16 που ο Έλκις βρήκε αλλά παρέλειψε από τον πίνακα που δημοσίευσε).
• (c) JHS I. Jiménez Calvo, J. Herranz and G. Sáez (με διόρθωση της σειράς των καταχωρίσεων 29 και 30)
• (d) JBJohan Bosman (με τη χρήση του λογισμικού της JHS).
• (e) AKR S. Aanderaa, L. Kristiansen and H.K. Ruud.
• (f) DL.V. Danilov. Το στοιχείο 50 ανήκει στην άπειρη ακολουθία που βρήκε ο Ντανίλοφ.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
• Ελλειπτική καμπύλη
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πυθαγόρεια τετράδα
• Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
• Τετραγωνικός αριθμός
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Προβλήματα του Λαντάου
• Κύβος (άλγεβρα)
• Εικασία του Γκόλντμπαχ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Υπόθεση H του Σίνζελ
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Bosma, Wieb (2000). Algorithmic Number Theory: 4th International Symposium, ANTS-IV Leiden, The Netherlands, July 2-7, 2000 Proceedings. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67695-9. 
• Vojta, Paul Alan (15 Νοεμβρίου 2006). Diophantine Approximations and Value Distribution Theory. Springer. ISBN 978-3-540-47452-4. 
• Schmidt, Wolfgang M. (8 Δεκεμβρίου 2006). Diophantine Approximations and Diophantine Equations. Springer. ISBN 978-3-540-47374-9. 
• Hu, Pei-Chu· Yang, Chung-Chun (10 Δεκεμβρίου 2008). Distribution Theory of Algebraic Numbers. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-020826-9. 
• Goldfeld, Dorian· Jorgenson, Jay (20 Δεκεμβρίου 2011). Number Theory, Analysis and Geometry: In Memory of Serge Lang. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4614-1259-5. 
• Bambah, R. P.· Dumir, V. C. (6 Δεκεμβρίου 2012). Number Theory. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-7023-8. 
• Cherry, William· Yang, Chung-Chun (2002). Value Distribution Theory and Complex Dynamics: Proceedings of the Special Session on Value Distribution Theory and Complex Dynamics Held at the First Joint International Meeting of the American Mathematical Society and the Hong Kong Mathematical Society : Hong Kong, December 13-16, 2000. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-2980-6. 
• Hu, Pei-Chu· Yang, Chung-Chun (6 Οκτωβρίου 2006). Value Distribution Theory Related to Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-7569-0. 
• Hu, Pei-Chu· Yang, Chung-Chun (6 Οκτωβρίου 2006). Value Distribution Theory Related to Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-7569-0. 
• Lang, Serge (1 Δεκεμβρίου 2013). Number Theory III: Diophantine Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-58227-1. 
• Standards, United States National Bureau of (1965). Journal of Research of the National Bureau of Standards: Mathematics and mathematical physics. B. The Bureau. 

Παραπομπές

• Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd έκδοση). Springer-Verlag. D9. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. 
• Hall, Jr., Marshall (1971). «The Diophantine equation x³ - y² = k». Στο: Atkin, A.O.L.· Birch, B. J., επιμ. Computers in Number Theory. σελίδες 173–198. ISBN 0-12-065750-3. Zbl 0225.10012. 
• Elkies, N.D. "Rational points near curves and small nonzero | 'x³ - y²'| via lattice reduction", http://arxiv.org/abs/math/0005139
• Danilov, L.V., "The Diophantine equation   'x³   -  y² '  ' =  k  ' and Hall's conjecture", 'Math. Notes Acad. Sci. USSR' 32(1982), 617-618.
• Gebel, J., Pethö, A., and Zimmer, H.G.: "On Mordell's equation", 'Compositio Math.' 110(1998), 335-367.
• I. Jiménez Calvo, J. Herranz and G. Sáez Moreno, "A new algorithm to search for small nonzero |'x3 - y2'| values", 'Math. Comp.' 78 (2009), pp. 2435-2444.
• S. Aanderaa, L. Kristiansen and H. K. Ruud, "Search for good examples of Hall's conjecture", 'Math. Comp.' 87 (2018), 2903-2914.

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0