Εικασία του Φιροζμπάχτ

Διάγραμμα που δείχνει τους πρώτους αριθμούς σε συνάρτηση με τις αποστάσεις μεταξύ των πρώτων αριθμών.

Στη θεωρία των αριθμών, η εικασία του Φιροζμπάχτ (ή Φιροζμπάχτ εικασία ) είναι μια εικασία σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών. Πήρε το όνομά της από τον Ιρανό μαθηματικό Φαριντέχ Φιροζμπάχτ (Farideh Firoozbakht), ο οποίος τη διατύπωσε το 1982.

Η εικασία δηλώνει ότι $p_{n}^{1/n}$ (όπου $p_{n}$ είναι ο n-th πρώτος αριθμός) είναι μια αυστηρά φθίνουσα συνάρτηση του n, δηλ,

${\sqrt[{n+1}]{p_{n+1}}}<{\sqrt[{n}]{p_{n}}}\qquad {\text{ for all }}n\geq 1.$

Αντιστοίχως:

$p_{n+1}<p_{n}^{1+{\frac {1}{n}}},$

$p_{n+1}^{n}<p_{n}^{n+1},{\text{ or }}$

$\left({\frac {p_{n+1}}{p_{n}}}\right)^{n}<p_{n}.$

Βλ.  A182134,  A246782.

Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μέγιστων αποστάσεων, ο Φαριντέχ Φιροζμπάχτ επαλήθευσε την εικασία της μέχρι 4.444 × 10¹² . Τώρα με πιο εκτεταμένους πίνακες μέγιστων αποστάσεων, η εικασία έχει επαληθευτεί για όλους τους πρώτους αριθμούς κάτω από 2⁶⁴ ≈ 1.84×10¹⁹.

Αν η εικασία ήταν αληθής, τότε η συνάρτηση απόστασης μεταξύ πρώτων αριθμών $g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$ θα ικανοποιούσε:

$g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}\qquad {\text{ for all }}n>4.$

Επιπλέον:

$g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}-1\qquad {\text{ for all }}n>9,$

βλ. επίσης  A111943. Αυτό είναι ένα από τα ισχυρότερα ανώτερα όρια που εικάζονται για τις αποστάσεις μεταξύ πρώτων αριθμών, ακόμη και κάπως ισχυρότερο από τις εικασίες των Κράμερ και Σανκς. Υπονοεί μία ισχυρή μορφή της εικασίας του Κράμερ και συνεπώς δεν είναι συνεπής με τις ευρετικές μεθόδους των Γκράνβιλ και Πιντζ και του Μάιερ που υποδηλώνουν ότι

βλ. επίσης  A111943. Αυτό είναι ένα από τα ισχυρότερα ανώτερα όρια που εικάζονται για τις αποστάσεις μεταξύ πρώτων αριθμών, ακόμη και κάπως ισχυρότερο από τις εικασίες των Κράμερ και Σανκς. Υπονοεί μια ισχυρή μορφή της εικασίας του Κράμερ και συνεπώς δεν είναι συνεπής με τις ευρετικές μεθόδους των Γκράνβιλ και Πιντζ και του Μάιερ (Maier) που υποδηλώνουν ότι

$g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}\approx 1.1229(\log p_{n})^{2},$

εμφανίζεται απείρως συχνά για κάθε $\varepsilon >0,$ όπου $\gamma$ δηλώνει τη σταθερά Όιλερ-Μαστσερόνι.

Τρεις σχετικές εικασίες ( βλ. τα σχόλια του  A182514) είναι παραλλαγές της εικασίας του Φριοζμπάχτ. Ο Φορζ σημειώνει ότι η υπόθεση του Φιροζμπάχτ μπορεί να γραφτεί ως εξής

$\left({\frac {\log p_{n+1}}{\log p_{n}}}\right)^{n}<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},$

όπου η δεξιά πλευρά είναι η γνωστή έκφραση που φτάνει τον αριθμό του Όιλερ στο όριο $n\to \infty$, υποδηλώνοντας την ελαφρώς ασθενέστερη εικασία

$\left({\frac {\log p_{n+1}}{\log p_{n}}}\right)^{n}<e.$

Οι Νίκολσον και Φαρχαντιάν δίνουν δύο ισχυρότερες εκδοχές της εικασίας του Φιροζμπάχτ, οι οποίες μπορούν να συνοψιστούν ως εξής:

$\left({\frac {p_{n+1}}{p_{n}}}\right)^{n}<{\frac {p_{n}\log n}{\log p_{n}}}<n\log n<p_{n}\qquad {\text{ for all }}n>5,$

όπου η δεξιά ανισότητα είναι του Φιροζμπάχτ, η μεσαία είναι του Νίκολσον (αφού $n\log n<p_{n}$, βλ. θεώρημα πρώτων αριθμών § Μη ασυμπτωτικά όρια για τη συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων αριθμών), και η αριστερή ανισότητα είναι του Φαρχαντιάν (αφού${\frac {p_{n}}{\log p_{n}}}<n$, βλ. συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων αριθμών § Ανισότητες).

Όλα έχουν επαληθευτεί σε 2⁶⁴.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Πρώτος αριθμός Μερσέν
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πρώτος αριθμός
• Τέρενς Τάο
• Φυσικός αριθμός
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Sabihi, Ahmad (1 Ιανουαρίου 2023). On solutions of some of unsolved problems in number theory, specifically on the distribution of primes. Infinite Study. 
• Mao, Linfan. Mathematical Combinatorics, Vol. IV, 2014: international book series. Infinite Study. ISBN 978-1-59973-321-0. 
• Kanemitsu, Shigeru· Li, Hongze (2013). Number Theory: Arithmetic in Shangri-La : Proceedings of the 6th China-Japan Seminar, Shanghai, China, 15-17 August 2011. World Scientific. ISBN 978-981-4452-45-8. 
• Smarandache, Florentin (1 Ιουνίου 2019). Nidus Idearum. Scilogs, VII: superluminal physics. Infinite Study. 
• Mao, Linfan. International Journal of Mathematical Combinatorics, Volume 4, 2014. Infinite Study. 
• Stewart, Ian (2 Οκτωβρίου 2014). Professor Stewart's Casebook of Mathematical Mysteries. Profile. ISBN 978-1-84765-432-8. 
• Fine, Benjamin· Rosenberger, Gerhard (4 Ιουνίου 2007). Number Theory: An Introduction via the Distribution of Primes. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4541-0. 
• Kraft, James· Washington, Lawrence (29 Ιανουαρίου 2018). An Introduction to Number Theory with Cryptography. CRC Press. ISBN 978-1-315-16100-6. 
• Childs, Lindsay N. (26 Νοεμβρίου 2008). A Concrete Introduction to Higher Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-74527-5. 

Παραπομπές

• Bateman, P. T.; :en: Selfridge, J. L.; :en: Wagstaff Jr., Samuel S.. «The new Mersenne conjecture». American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) (2): 125–128. doi:10.2307/2323195. . 
• Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers. Carnegie Institute of Washington. σελ. 31. OL 6616242M.  Reprinted by Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5.
• Polya, George (23 Αυγούστου 1990). Mathematics and Plausible Reasoning: Induction and analogy in mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02509-4. 

Πηγές

• Halmos, Paul R. (15 Αυγούστου 2017). Finite-Dimensional Vector Spaces: Second Edition. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-81486-5. 
• Halmos, Paul R. (12 Σεπτεμβρίου 2018). Lectures on Boolean Algebras. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-82804-6. 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0