Εικασία του Πόλια

Αθροιστική συνάρτηση Λιούβιλ L(n) μέχρι n = 107. Η (διαψευσμένη) εικασία δηλώνει ότι η συνάρτηση αυτή είναι πάντα αρνητική. Οι εύκολα ορατές ταλαντώσεις οφείλονται στο πρώτο μη τετριμμένο μηδέν της συνάρτησης Ζήτα του Ρίμαν Κοντινό πλάνο της αθροιστικής συνάρτησης Λιούβιλ L(n) στην περιοχή όπου η εικασία Πόλια δεν ευσταθεί. Λογαριθμική γραφική παράσταση του αρνητικού της αθροιστικής συνάρτησης Λιούβιλ L(n) έως και n = 2 × 109. Η πράσινη ακίδα δείχνει την ίδια τη συνάρτηση (όχι την αρνητική της) στη στενή περιοχή όπου η εικασία αποτυγχάνει- η μπλε καμπύλη δείχνει την ταλαντευόμενη συνεισφορά του πρώτου μηδενικού Ρίμαν.

Στη θεωρία των αριθμών, η εικασία του Πόλια δήλωνε ότι οι «περισσότεροι» (δηλαδή το 50% ή περισσότερο) των φυσικών αριθμών που είναι μικρότεροι από οποιονδήποτε δεδομένο αριθμό έχουν περιττό αριθμό πρώτων παραγόντων. Η εικασία διατυπώθηκε από τον Ούγγρο μαθηματικό Τζορτζ Πόλια το 1919 και αποδείχθηκε ψευδής το 1958 από τον Κ. Μπράιαν Χάσελγκροουβ. Αν και οι μαθηματικοί συνήθως αναφέρονται σε αυτή τη δήλωση ως εικασία του Πόλια, ο Πόλια ποτέ δεν υπέθεσε ότι η δήλωση ήταν αληθής- μάλλον, έδειξε ότι η ορθότητα της δήλωσης θα συνεπαγόταν την υπόθεση Ρίμαν. Για το λόγο αυτό, ονομάζεται ακριβέστερα «το πρόβλημα του Πόλια».

Το μέγεθος του μικρότερου αντιπαραδείγματος χρησιμοποιείται συχνά για να καταδείξει το γεγονός ότι μια εικασία μπορεί να είναι αληθής για πολλές περιπτώσεις και παρόλα αυτά να μην ισχύει γενικά, παρέχοντας μια εικόνα του ισχυρού νόμου των μικρών αριθμών.

Δήλωση

Η εικασία του Πόλια δηλώνει ότι για κάθε n' > 1, αν οι φυσικοί αριθμοί μικρότεροι ή ίσοι του n (εξαιρουμένου του 0) χωριστούν σε εκείνους με περιττό αριθμό πρώτων παραγόντων και σε εκείνους με άρτιο αριθμό πρώτων παραγόντων, τότε το πρώτο σύνολο έχει τουλάχιστον τόσα μέλη όσα και το δεύτερο σύνολο. Οι επαναλαμβανόμενοι πρώτοι παράγοντες μετριούνται επανειλημμένα- Παραδείγματος χάριν, λέμε ότι το 18 = 2 × 3 × 3 έχει περιττό αριθμό πρώτων παραγόντων, ενώ το 60 = 2 × 2  × 3 × 5 έχει άρτιο αριθμό πρώτων παραγόντων.

Εξ ίσου, μπορεί να διατυπωθεί με όρους της αθροιστικής συνάρτησης Λιούβιλ, με την εικασία να είναι

$L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leq 0$

για όλα τα n > 1. Εδώ, λ(k) = (-1)^Ω(k) είναι θετικό αν ο αριθμός των πρώτων παραγόντων του ακέραιου k είναι άρτιος, και είναι αρνητικό αν είναι περιττός. Η συνάρτηση big Omega (Ω) καταμετρά το συνολικό αριθμό των πρώτων παραγόντων ενός ακέραιου αριθμού.

Διάψευση

Η εικασία Πόλια διαψεύστηκε από τον Κ. Μπράιαν Χάσελγκροουβ το 1958. Απέδειξε ότι η εικασία έχει ένα αντιπαράδειγμα, το οποίο εκτίμησε ότι είναι περίπου 1.845 × 10³⁶¹.

Ένα (πολύ μικρότερο) ρητό αντιπαράδειγμα, με n = 906.180.359 δόθηκε από τον Ρ. Σέρμαν Λέμαν το 1960, το μικρότερο αντιπαράδειγμα είναι n = 906.150.257, και ανακαλύφθηκε από τον Μινόρου Τανάκα το 1980.

Η εικασία δεν ισχύει για τις περισσότερες τιμές του n στην περιοχή 906.150.257 ≤ n ≤ 906.488.079. Στην περιοχή αυτή, η αθροιστική συνάρτηση Λιούβιλ φτάνει στη μέγιστη τιμή 829 σε n = 906,316,571.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Πρώτος αριθμός Μερσέν
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πρώτος αριθμός
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Φυσικός αριθμός
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Αριθμητική πρόοδος
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Kechris, A.· Makarov, N. (24 Σεπτεμβρίου 2021). Nine Mathematical Challenges: An Elucidation. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-5490-6. 
• Varga, Richard S. (1 Ιανουαρίου 1990). Scientific Computation on Mathematical Problems and Conjectures. SIAM. ISBN 978-0-89871-257-5. 
• Alexanderson, Gerald L. (27 Απριλίου 2000). The Random Walks of George Polya. Cambridge University Press. ISBN 978-0-88385-528-7. 
• Levitin, Michael· Mangoubi, Dan (30 Νοεμβρίου 2023). Topics in Spectral Geometry. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-7525-3. 
• Kenney, Margaret J.· Bezuszka, Stanley J. (18 Ιουνίου 2015). Number Treasury 3: Investigations, Facts And Conjectures About More Than 100 Number Families (3rd Edition). World Scientific. ISBN 978-981-4603-71-3. 
• Alvino, Angelo· Fabes, Eugene (26 Αυγούστου 1994). Partial Differential Equations of Elliptic Type. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46048-4. 
• Simon, Barry (8 Νοεμβρίου 2010). Szegő's Theorem and Its Descendants: Spectral Theory for L2 Perturbations of Orthogonal Polynomials. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3705-2. 
• Broughan, Kevin (2 Νοεμβρίου 2017). Equivalents of the Riemann Hypothesis: Volume 1, Arithmetic Equivalents. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-19541-6. 
• Stein, Sherman K. (2 Μαΐου 2008). Strength in Numbers: Discovering the Joy and Power of Mathematics in Everyday Life. Turner Publishing Company. ISBN 978-0-470-34884-0. 

Παραπομπές

• Gu, Chaohao· Hu, Hesheng (4 Φεβρουαρίου 1993). Differential Geometry - Proceedings Of The Symposium In Honor Of Prof Su Buchin On His 90th Birthday. World Scientific. ISBN 978-981-4554-40-4. 
• Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers. Carnegie Institute of Washington. σελ. 31. OL 6616242M.  Reprinted by Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5.
• Polya, George (23 Αυγούστου 1990). Mathematics and Plausible Reasoning: Induction and analogy in mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02509-4. 
• Begehr, Heinrich G. W.· Gilbert, R. P. (31 Δεκεμβρίου 2000). Proceedings of the Second ISAAC Congress: Volume 1: This project has been executed with Grant No. 11–56 from the Commemorative Association for the Japan World Exposition (1970). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-7923-6597-6. 

Πηγές

• Halmos, Paul R. (15 Αυγούστου 2017). Finite-Dimensional Vector Spaces: Second Edition. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-81486-5. 
• Halmos, Paul R. (12 Σεπτεμβρίου 2018). Lectures on Boolean Algebras. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-82804-6. 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0