Εικασία του Πολινιάκ

Στη θεωρία των αριθμών, η εικασία του Πολινιάκ διατυπώθηκε από τον Aλφόνς ντε Πολινιάκ το 1849 και έχει ως εξής:

Για κάθε θετικός Άρτιος αριθμός n, υπάρχουν άπειρα κενά πρώτων αριθμών μεγέθους n. Με άλλα λόγια, υπάρχουν άπειρες πολλές περιπτώσεις όπου δύο διαδοχικοί πρώτοι αριθμοί έχουν διαφορά n.

Αν και η εικασία δεν έχει ακόμη αποδειχθεί ή διαψευστεί για οποιαδήποτε δεδομένη τιμή του n, ο Γιτάνγκ Ζανγκ έκανε μια σημαντική ανακάλυψη το 2013 αποδεικνύοντας ότι υπάρχουν άπειρες πολλές διαφορές μεγέθους n για μια τιμή του n < 70.000.000. Λίγο αργότερα την ίδια χρονιά, ο Τζέιμς Μέιναρντ ανακοίνωσε μια σχετική ανακάλυψη αποδεικνύοντας ότι υπάρχουν άπειρα πολλά κενά μεγέθους 600 ή λιγότερο . Από τις 14 Απριλίου 2014, ένα χρόνο μετά την ανακοίνωση του Ζανγκ, σύμφωνα με το wiki του έργου Polymath, το n έχει μειωθεί σε 246. Επιπλέον, υποθέτοντας την εικασία Έλιοτ-Χάλμπερσταμ και τη γενικευμένη μορφή της, το wiki του έργου Polymath αναφέρει ότι το n έχει μειωθεί σε 12 και 6, αντίστοιχα.

Για n = 2, αυτή είναι η εικασία των δίδυμων πρώτων. Για n = 4, δηλώνει ότι υπάρχουν απείρως πολλοί πρώτοι αριθμοι Κουσίν (p, p + 4). Για n = 6, σημειώνει ότι υπάρχουν απείρως πολλοί σέξι πρώτοι (p, p + 6) χωρίς να υπάρχουν πρώτοι μεταξύ p και p + 6.

Υποθετική πυκνότητα

Έστω $\pi _{n}(x)$ για άρτιο n ο αριθμός των πρώτων κενών μεγέθους n κάτω από το x.

Η πρώτη εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ λέει ότι η ασυμπτωτική πυκνότητα είναι της μορφής

$\pi _{n}(x)\sim 2C_{n}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{n}\int _{2}^{x}{dt \over (\ln t)^{2}}$

όπου C_n είναι μια συνάρτηση του n, και $\sim$ σημαίνει ότι το πηλίκο δύο εκφράσεων τείνει στο 1 καθώς το x πλησιάζει στο άπειρο.

C₂ είναι η δίδυμη πρώτη σταθερά

$C_{2}=\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}\approx 0.660161815846869573927812110014\dots$

όπου το γινόμενο εκτείνεται σε όλους τους πρώτους αριθμούς p ≥ 3.

Το C_n είναι το C₂ πολλαπλασιασμένο με έναν αριθμό που εξαρτάται από τους περιττούς πρώτους παράγοντες q of n:

$C_{n}=C_{2}\prod _{q|n}{\frac {q-1}{q-2}}.$

Παραδείγματος χάριν, C4 = C2 και C6 = 2C2. Οι δίδυμοι πρώτοι έχουν την ίδια εικαζόμενη πυκνότητα με τους πρώτους Κουσίν και τη μισή πυκνότητα των σέξι πρώτων.

Ας σημειωθεί ότι κάθε περιττός πρώτος παράγοντας q του n αυξάνει την εικαζόμενη πυκνότητα σε σύγκριση με τους δίδυμους πρώτους κατά έναν παράγοντα ${\tfrac {q-1}{q-2}}$. Ακολουθεί ένα ευρετικό επιχείρημα. Βασίζεται σε ορισμένες αναπόδεικτες υποθέσεις, οπότε το συμπέρασμα παραμένει εικασία. Η πιθανότητα ένας τυχαίος περιττός πρώτος q να διαιρεί είτε το a είτε το a + 2 σε ένα τυχαίο «δυνητικό» δίδυμο ζεύγος πρώτων αριθμών είναι ${\tfrac {2}{q}}$, αφού το q διαιρεί έναν από τους q αριθμούς από το a έως το a + q − 1. Τώρα ας υποθέσουμε ότι το q διαιρεί το n και ας θεωρήσουμε ένα δυνητικό πρώτο ζεύγος (a, a + n). Το q διαιρεί το a + n αν και μόνο αν το q διαιρεί το a, και η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι ${\tfrac {1}{q}}$. Η πιθανότητα το (a, a + n) να είναι απαλλαγμένο από τον παράγοντα q, διαιρούμενη με την πιθανότητα το (a, a + 2) να είναι απαλλαγμένο από τον q, γίνεται τότε ${\tfrac {q-1}{q}}$ διαιρούμενη με ${\tfrac {q-2}{q}}$. Αυτό ισούται με${\tfrac {q-1}{q-2}}$ το οποίο μεταφέρεται στην εικαζόμενη πυκνότητα των πρώτων. Στην περίπτωση του n = 6, το επιχείρημα απλοποιείται ως εξής: Αν το a είναι ένας τυχαίος αριθμός, τότε το 3 έχει πιθανότητα 2/3 να διαιρέσει το a ή το a + 2 αλλά μόνο πιθανότητα 1/3 να διαιρέσει το a και το a + 6, οπότε το τελευταίο ζεύγος εικάζεται διπλάσια πιθανότητα να είναι και τα δύο πρώτοι.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Πρώτος αριθμός Μερσέν
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πρώτος αριθμός
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Φυσικός αριθμός
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Αριθμητική πρόοδος
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Coman, Marius (15 Φεβρουαρίου 2015). TWO HUNDRED AND THIRTEEN CONJECTURES ON PRIMES: COLLECTED PAPERS. Infinite Study. ISBN 978-1-59973-326-5. 
• Drăgoi, Andrei-Lucian. The “Vertical” Generalization of the Binary Goldbach’s Conjecture as Applied on “Iterative” Primes with (Recursive) Prime Indexes (i-primeths). Infinite Study. 
• Elwes, Dr Richard· Elwes, Richard (6 Ιουλίου 2017). Maths 1001: Absolutely Everything That Matters in Mathematics. Quercus. ISBN 978-1-78648-695-0. 
• Ribenboim, Paulo (6 Δεκεμβρίου 2012). The Book of Prime Number Records. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4684-9938-4. 
• Posamentier, Alfred S.· Krulik, Stephen (28 Απριλίου 2016). Effective Techniques to Motivate Mathematics Instruction. Routledge. ISBN 978-1-317-24827-9. 
• Koukoulopoulos, Dimitris (28 Ιουλίου 2020). The Distribution of Prime Numbers. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-6285-7. 
• Krajewski, Stanisław· Krajewski, Stephen (2007). Topics in Logic, Philosophy and Foundations of Mathematics, and Computer Science: In Recognition of Professor Andrzej Grzegorczyk. IOS Press. ISBN 978-1-58603-814-4. 
• Cipra, Barry. What's Happening in the Mathematical Sciences. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-8596-3. 
• Mukherjee, Neel (22 Μαΐου 2014). The Lives of Others. Random House. ISBN 978-1-4481-9218-2. 
• Deza, Michel Marie· Deza, Elena (8 Οκτωβρίου 2014). Encyclopedia of Distances. Springer. ISBN 978-3-662-44342-2. 

Παραπομπές

• Berndt, Bruce (31 Ιουλίου 2024). Number Theory for the Millennium II. CRC Press. ISBN 978-0-429-61140-7. 
• Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers. Carnegie Institute of Washington. σελ. 31. OL 6616242M.  Reprinted by Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5.
• Posamentier, Alfred S. (1 Ιουλίου 2022). The Secret Lives of Numbers: Numerals and Their Peculiarities in Mathematics and Beyond. Rowman & Littlefield. ISBN 978-1-63388-761-9. 
• Lovász, László· Ruzsa, Imre (24 Ιανουαρίου 2014). Erdös Centennial. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-39286-3. 

Πηγές

• Alphonse de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premiers. Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849)
• Weisstein, Eric W., "de Polignac's Conjecture" από το MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "k-Tuple Conjecture" από το MathWorld.
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0