Εικασία του Γκρίνμπεργκ

Η εικασία του Γκρίνμπεργκ^[1] είναι μία από τις δύο εικασίες στην αλγεβρική θεωρία αριθμών που προτάθηκαν από τον Ραλφ Γκρίνμπεργκ. Και οι δύο είναι ακόμη άλυτες.

Εικασία των αναλλοίωτων

Η πρώτη εικασία προτάθηκε το 1976 και αφορά τις αναλλοίωτες Ιβασάουα^[2]. Αυτή η εικασία σχετίζεται με την εικασία του Βαντίβερ^[3], την εικασία του Λέοπολντ^[4], την εικασία του Μπιρτς-Τέιτ^[5], οι οποίες είναι επίσης άλυτες.

Η εικασία, που αναφέρεται επίσης ως εικασία των αναλλοίωτων του Γκρίνμπεργκ, εμφανίστηκε για πρώτη φορά στη διατριβή του Γκρίνμπεργκ στο Πανεπιστήμιο Πρίνστον το 1971 και αρχικά ανέφερε ότι, υποθέτοντας ότι το $F$ είναι ένα ολικά πραγματικό σώμα αριθμών και ότι το $F_{\infty }/F$ είναι η κυκλοτομική $\mathbb {Z} _{p}$ -επέκταση, $\lambda (F_{\infty }/F)=\mu (F_{\infty }/F)=0$ , i. δηλ. η δύναμη του $p$ που διαιρεί τον αριθμό τάξης του $F_{n}$ περιορίζεται ως $n\rightarrow \infty$ . Ας σημειωθεί ότι αν ισχύει η εικασία του Λεοπόλντ για την $F$ και την $p$ , η μόνη $\mathbb {Z} _{p}$ -επέκταση της $F$ είναι η κυκλωματική (αφού είναιολικά πραγματική).

Το 1976, ο Γκρίνμπεργκ επέκτεινε την εικασία παρέχοντας περισσότερα παραδείγματα για αυτήν και την αναδιατύπωσε ελαφρώς ως εξής: δεδομένου ότι $k$ είναι μια πεπερασμένη επέκταση του $\mathbf {Q}$ και ότι $\ell$ είναι ένας σταθερός πρώτος, με την εξέταση των υποσωμάτων των κυκλωματικών επεκτάσεων του $k$ , μπορεί κανείς να ορίσει έναν πύργο αριθμητικών σωμάτων $k=k_{0}\subset k_{1}\subset k_{2}\subset \cdots \subset k_{n}\subset \cdots$ έτσι ώστε $k_{n}$ να είναι κυκλική επέκταση του $k$ βαθμού $\ell ^{n}$ . Αν το $k$ είναι ολικά πραγματικό, η δύναμη του $l$ που διαιρεί τον αριθμό τάξης του $k_{n}$ περιορίζεται ως $n\rightarrow \infty$ ; Τώρα, αν το $k$ είναι ένα αυθαίρετο αριθμητικό σώμα, τότε υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί $\lambda$ , $\mu$ και $\nu$ τέτοιοι ώστε η δύναμη του $\ell$ που διαιρεί τον αριθμό τάξης του $k_{n}$ να είναι $\ell ^{e_{n}}$ , όπου $e_{n}={\lambda }n+\mu ^{\ell _{n}}+\nu$ για όλα τα επαρκώς μεγάλα $n$ . Οι ακέραιοι $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ εξαρτώνται μόνο από τα $k$ και $\ell$ . Τότε, ρωτάμε: είναι $\lambda =\mu =0$ για $k$ ολικά πραγματικό;

Με απλά λόγια, η εικασία ρωτάει αν έχουμε $\mu _{\ell }(k)=\lambda _{\ell }(k)=0$ για οποιοδήποτε σώμα απόλυτα πραγματικών αριθμών $k$ και οποιοδήποτε πρώτο αριθμό $\ell$ , ή η εικασία μπορεί επίσης να αναδιατυπωθεί ως ερώτημα αν και οι δύο αναλλοίωτες λ και μ που συνδέονται με την κυκλωματική $Z_{p}$ -επέκταση ενός σώματος ολικά πραγματικών αριθμών εκμηδενίζεται.

Το 2001, ο Γκρίνμπεργκ γενίκευσε την εικασία (κάνοντάς την έτσι γνωστή ως ψευδο-μηδενική εικασία του Γκρίνμπεργκ ή, μερικές φορές, ως γενικευμένη εικασία του Γκρίνμπεργκ):

Υποθέτοντας ότι το $F$ είναι ένα σώμα ολικά πραγματικών αριθμών και ότι το $p$ είναι ένας πρώτος αριθμός, έστω ${\tilde {F}}$ που συμβολίζει το σύνολο όλων των $\mathbb {Z} _{p}$ -επεκτάσεων του $F$ . (Υπενθυμίζουμε ότι αν ισχύει η εικασία του Λεοπόλντ^[4] για $F$ και $p$ , τότε ${\tilde {F}}=F$ ). Έστω ${\tilde {L}}$ το σώμα κλάσης Χίλμπερτ pro- $p$ του ${\tilde {F}}$ και έστω ${\tilde {X}}=\operatorname {Gal} ({\tilde {L}}/{\tilde {F}})$ , θεωρούμενη ως ενότητα πάνω από τον δακτύλιο ${\tilde {\Lambda }}={\mathbb {Z} _{p}}[[\operatorname {Gal} ({\tilde {F}}/F)]]$ . Τότε το ${\tilde {X}}$ είναι ένα ψευδο-μηδενικό ${\tilde {\Lambda }}$ -module.

Μια πιθανή αναδιατύπωση: Έστω ${\tilde {k}}$ το σύνολο όλων των $\mathbb {Z} _{p}$ -επεκτάσεων του $k$ και έστω $\operatorname {Gal} ({\tilde {k}}/k)\simeq \mathbb {Z} _{p}^{n}$ , τότε το $Y_{\tilde {k}}$ είναι ένα ψευδο-μηδενικό $\Lambda _{n}$ -module.

Μια άλλη σχετική εικασία (επίσης άλυτη μέχρι στιγμής) υπάρχει:

Έχουμε $\mu _{\ell }(k)=0$ για κάθε αριθμητικό σώμα $k$ και κάθε πρώτο αριθμό $\ell$ .

Αυτή η σχετική εικασία δικαιολογήθηκε από τους Μπρους Φερέρο και Λάρι Γουάσινγκτον, οι οποίοι απέδειξαν (βλ.: Θεώρημα Φερέρο-Γουάσινγκτον^[6]) ότι $\mu _{\ell }(k)=0$ για οποιαδήποτε αβελιανή επέκταση $k$ του ρητού αριθμητικού σώματος $\mathbb {Q}$ και οποιοδήποτε πρώτο αριθμό $\ell$ .

Εικασία της p-ρητότητας

Μια άλλη εικασία, η οποία μπορεί να αναφέρεται ως εικασία του Γκρίνμπεργκ, προτάθηκε από τον Γκρίνμπεργκ το 2016 και είναι γνωστή ως εικασία της $p$ -ορθολογικότητας του Γκρίνμπεργκ^[7]. Δηλώνει ότι για κάθε περιττό πρώτο $p$ και για κάθε $t$ , υπάρχει ένα $p$ -ορθολογικό πεδίο $K$ τέτοιο ώστε $\operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /\mathbb {2Z} )^{t}$ . Αυτή η εικασία σχετίζεται με το Αντίστροφο πρόβλημα Γκαλουά.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Burns, David (2004). Stark's Conjectures: Recent Work and New Directions: Recent Work and New Directions : an International Conference on Stark's Conjectures and Related Topics, August 5-9, 2002, Johns Hopkins University. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3480-0.
Ono, Ken (2004). The Web of Modularity: Arithmetic of the Coefficients of Modular Forms and $q$-series: Arithmetic of the Coefficients of Modular Forms and Q-series. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3368-1.
Ono, Ken (2004). The Web of Modularity: Arithmetic of the Coefficients of Modular Forms and $q$-series: Arithmetic of the Coefficients of Modular Forms and Q-series. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3368-1.
Matthews, P. H. (30 Ιουλίου 1981). Syntax. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29709-7.
Mourtada, Hussein· Sarıoğlu, Celal Cem (7 Μαΐου 2017). Algebraic Geometry and Number Theory: Summer School, Galatasaray University, Istanbul, 2014. Birkhäuser. ISBN 978-3-319-47779-4.
Coates, J.· Taylor, Martin J. (22 Φεβρουαρίου 1991). L-Functions and Arithmetic. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38619-7.
Fried, Michael D.· Ihara, Yasutaka (2002). Arithmetic Fundamental Groups and Noncommutative Algebra: 1999 Von Neumann Conference on Arithmetic Fundamental Groups and Noncommutative Algebra, August 16-27, 1999, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, California. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-2036-0.
Adhikari, S. D.· Ramakrishnan, B. (15 Ιουνίου 2009). Number Theory and Applications: Proceedings of the International Conferences on Number Theory and Cryptography. Springer. ISBN 978-93-86279-46-0.
Kato, Kazuya· Kurokawa, Nobushige (2000). Number Theory: Iwasawa theory and modular forms. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-2095-7.
Washington, Lawrence C. (6 Δεκεμβρίου 2012). Introduction to Cyclotomic Fields. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1934-7.
<Dieulefait, Luis· Faltings, Gerd (8 Οκτωβρίου 2015). Arithmetic and Geometry. Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-38144-1.

Παραπομπές

↑ McCallum, William G. (2001). «Greenberg's Conjecture and Units in Multiple ${\Bbb Z}_{p}$-Extensions». American Journal of Mathematics 123 (5): 909–930. ISSN 0002-9327. https://www.jstor.org/stable/25099088.
↑ Hida, Haruzo (13 Ιουνίου 2013). Elliptic Curves and Arithmetic Invariants. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4614-6657-4.
↑ Greenlees, John (6 Δεκεμβρίου 2012). Axiomatic, Enriched and Motivic Homotopy Theory: Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Axiomatic, Enriched and Motivic Homotopy Theory Cambridge, United Kingdom 9–20 September 2002. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-007-0948-5.
↑ ^4,0 ^4,1 David, Sinnou (23 Δεκεμβρίου 1993). Séminaire de Théorie Des Nombres: Paris, 1991 - 92. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-3741-5.
↑ «Birch-Tate conjecture - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 25 Ιανουαρίου 2025.
↑ Lang, Serge (19 Ιουλίου 2000). Collected Papers III: 1978–1990. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-98800-9.
↑ «On p−Rationality of Number Fields and Greenberg's Generalized Conjecture» (PDF).

Bos, Henk J.M. (2001). Redefining Geometrical Exactness: Descartes' Transformation of the Early Modern Concept of Construction. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0087-8. ISBN 978-1-4612-6521-4.
Bottazzini, Umberto (1986). The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass. Springer. ISBN 9780387963020.
Howie, John M. (2001). Real Analysis. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer. doi:10.1007/978-1-4471-0341-7. ISBN 978-1-85233-314-0.
Katz, Robert (1964). Axiomatic Analysis. Heath.
Cantor, Georg (1874). «Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen». Crelle's Journal 77: 258–62.
I. Jiménez Calvo, J. Herranz and G. Sáez Moreno, "A new algorithm to search for small nonzero |'x3 - y2'| values", 'Math. Comp.' 78 (2009), pp. 2435-2444.
S. Aanderaa, L. Kristiansen and H. K. Ruud, "Search for good examples of Hall's conjecture", 'Math. Comp.' 87 (2018), 2903-2914.

Πηγές

Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0
Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9
Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7
Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0.
Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4.
Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ
Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0

[1] McCallum, William G. (2001). «Greenberg's Conjecture and Units in Multiple ${\Bbb Z}_{p}$-Extensions». American Journal of Mathematics 123 (5): 909–930. ISSN 0002-9327. https://www.jstor.org/stable/25099088.

[2] Hida, Haruzo (13 Ιουνίου 2013). Elliptic Curves and Arithmetic Invariants. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4614-6657-4.

[3] Greenlees, John (6 Δεκεμβρίου 2012). Axiomatic, Enriched and Motivic Homotopy Theory: Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Axiomatic, Enriched and Motivic Homotopy Theory Cambridge, United Kingdom 9–20 September 2002. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-007-0948-5.

[:0-4] 4,0 ^4,1 David, Sinnou (23 Δεκεμβρίου 1993). Séminaire de Théorie Des Nombres: Paris, 1991 - 92. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-3741-5.

[5] «Birch-Tate conjecture - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 25 Ιανουαρίου 2025.

[6] Lang, Serge (19 Ιουλίου 2000). Collected Papers III: 1978–1990. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-98800-9.

[7] «On p−Rationality of Number Fields and Greenberg's Generalized Conjecture» (PDF).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]