Εικασία του Όπερμαν

Άλυτο πρόβλημα στα μαθηματικά:

Κάθε ζεύγος ενός τετραγωνικού αριθμού και
ενός προμήκου αριθμού^[1] (και
οι δύο μεγαλύτεροι από το ένα) χωρίζεται
από τουλάχιστον έναν πρώτο αριθμό.

Στα μαθηματικά, η εικασία Όπερμαν^[2] είναι ένα άλυτο πρόβλημα σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών^[3]. Σχετίζεται στενά με τις εικασίες των Λεζάντρ, Αντρίκα και Μπροκάρντ, αλλά είναι ισχυρότερη από αυτές. Πήρε το όνομά της από τον Δανό μαθηματικό Λούντβιγκ Όπερμαν^[4], ο οποίος την ανακοίνωσε σε μια αδημοσίευτη διάλεξη τον Μάρτιο του 1877. ^[5].

Δήλωση

Η εικασία δηλώνει ότι, για κάθε ακέραιο x > 1, υπάρχει τουλάχιστον ένας πρώτος αριθμός μεταξύ

x(x − 1) και x²,

και τουλάχιστον ένας άλλος πρώτος μεταξύ

x² και x(x + 1).

Μπορεί επίσης να διατυπωθεί ισοδύναμα ως η δήλωση ότι η συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων υλών πρέπει να λαμβάνει άνισες τιμές στα τελικά σημεία κάθε περιοχής.^[6] Δηλαδή:

π

(x² − x) <

π

(x²) <

π

(x² + x) για x > 1

με $π$ (x)είναι ο αριθμός των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι ή ίσοι με x. Τα τελικά σημεία αυτών των δύο περιοχών είναι ένα τετράγωνο μεταξύ δύο προμήκων αριθμών^[1], με κάθε έναν από τους προμήκους αριθμούς^[1] να είναι διπλάσιος ενός τριγωνικού αριθμού ζεύγους. Το άθροισμα του ζεύγους τριγωνικών αριθμών είναι το τετράγωνο.

Συνέπειες

Αν η εικασία είναι αληθής, τότε το μέγεθος του κενού θα είναι της τάξης των

g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.\,

Αυτό σημαίνει επίσης ότι θα υπάρχουν τουλάχιστον δύο πρώτοι μεταξύ x² and (x + 1)² (ένας στην περιοχή από x² έως x(x + 1) και ο δεύτερος στην περιοχή από x(x + 1) έως (x + 1)²), ενισχύοντας την εικασία του Λεζάντρ ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας πρώτος στην περιοχή αυτή. Επειδή υπάρχει τουλάχιστον ένας μη πρώτος αριθμός μεταξύ δύο οποιωνδήποτε περιττών πρώτων αριθμών, αυτό θα συνεπαγόταν επίσης την εικασία του Μπροκάρντ ότι υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερις πρώτοι αριθμοί μεταξύ των τετραγώνων διαδοχικών περιττών πρώτων αριθμών.^[3] Επιπλέον, θα συνεπαγόταν ότι τα μεγαλύτερα δυνατά κενά μεταξύ δύο διαδοχικών πρώτων αριθμών θα μπορούσαν να είναι το πολύ ανάλογα με το διπλάσιο της τετραγωνικής ρίζας των αριθμών, όπως αναφέρει η εικασία του Αντρίκα.

Η εικασία συνεπάγεται επίσης ότι τουλάχιστον ένας πρώτος αριθμός μπορεί να βρεθεί σε κάθε τέταρτο της σπείρας του Ούλαμ.

Κατάσταση

Ακόμη και για μικρές τιμές του x, ο αριθμός των πρώτων αριθμών στις περιοχές που δίνει η εικασία είναι πολύ μεγαλύτερος από 1, γεγονός που παρέχει ισχυρή απόδειξη ότι η εικασία είναι αληθής. Ωστόσο, η εικασία του Όπερμαν δεν έχει αποδειχθεί το 2018 .^[3]

Παρά ταύτα οι μαθηματικοί συνεχίζουν να διερευνούν και να ελέγχουν αυτή την εικασία χρησιμοποιώντας αριθμητικούς υπολογισμούς και νέες θεωρητικές τεχνικές. Αν και έχουν συγκεντρωθεί αδιάσειστα στοιχεία που βασίζονται σε υπολογισμούς και παρατηρήσεις, μια επίσημη απόδειξη παραμένει προς το παρόν άπιαστη.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Sabihi, Ahmad (1 Ιανουαρίου 2023). On solutions of some of unsolved problems in number theory, specifically on the distribution of primes. Infinite Study.
Dickson, Leonard Eugene (17 Οκτωβρίου 2013). History of the Theory of Numbers: Diophantine Analysis. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15460-2.
Butler, Charles (1814). Easy Introduction to Mathematics. Barlett & Newman.
Stewart, Ian (2 Οκτωβρίου 2014). Professor Stewart's Casebook of Mathematical Mysteries. Profile. ISBN 978-1-84765-432-8.
Deza, Elena (6 Αυγούστου 2021). Mersenne Numbers And Fermat Numbers. World Scientific. ISBN 978-981-12-3033-2.
Cleveland, Tristin (11 Απριλίου 2018). Number Theory. Scientific e-Resources. ISBN 978-1-83947-326-5.
Mao, Linfan. Mathematical Combinatorics, Vol. IV, 2014: international book series. Infinite Study. ISBN 978-1-59973-321-0.
Penella, Robert J. (22 Δεκεμβρίου 2023). The Private Orations of Themistius. University of California Press. ISBN 978-0-520-92270-9.
Rabinowitz, Stanley (1992). Index to Mathematical Problems, 1980-1984. MathPro Press. ISBN 978-0-9626401-1-7.
Ribenboim, Paulo (27 Οκτωβρίου 2016). Prime Numbers, Friends Who Give Problems: A Trialogue With Papa Paulo. World Scientific. ISBN 978-981-4725-83-5.
Ribenboim, Paulo (8 Ιανουαρίου 2004). The Little Book of Bigger Primes. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-20169-6.

Παραπομπές

1 2 3 «English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο - Volume 2 - oblong number, προμήκης αριθμός».
↑ «The Oppermann's conjecture...» (PDF).
1 2 3 David Wells, Prime Numbers : The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, 2011, 288 p. (ISBN 978-1-118-04571-8), p. 164.
↑ Gram, J. P. (1883). «LUDVIG HENRIK FERDINAND OPPERMANN. Født den 7. September 1817, død den 17. August 1883». Tidsskrift for mathematik 1: 137–192. ISSN 0909-2528. https://www.jstor.org/stable/24539577.
↑ Oppermann, L. (1882), "Om vor Kundskab om Primtallenes Mængde mellem givne Grændser", Oversigt over Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger og Dets Medlemmers Arbejder: 169–179
↑ Ribenboim, Paulo (2004), The Little Book of Bigger Primes, Springer, σελ. 183, ISBN 9780387201696, https://books.google.com/books?id=pBJDA89eOGQC&pg=PA1 .

Conjectures about prime numbers.
Borwein, D.· Borwein, J. M. (1996). Conjectura de Agoh–Giuga.
«Is Oppermann's still a conjecture?». Mathematics Stack Exchange (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 6 Ιανουαρίου 2025.
«A Note on Oppermann's Conjecture - ResearchGate».
<Cleveland, Tristin (11 Απριλίου 2018). Number Theory. Scientific e-Resources. ISBN 978-1-83947-326-5.
Sorini, Laerte (2001). "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga". Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo (in Italian). 68. ISSN 1720-9668.

Πηγές

Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0
Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9
Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7
Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0.
Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4.
Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ
Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0

[:0-1] 1 2 3 «English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο - Volume 2 - oblong number, προμήκης αριθμός».

[2] «The Oppermann's conjecture...» (PDF).

[:1-3] 1 2 3 David Wells, Prime Numbers : The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, 2011, 288 p. (ISBN 978-1-118-04571-8), p. 164.

[4] Gram, J. P. (1883). «LUDVIG HENRIK FERDINAND OPPERMANN. Født den 7. September 1817, død den 17. August 1883». Tidsskrift for mathematik 1: 137–192. ISSN 0909-2528. https://www.jstor.org/stable/24539577.

[5] Oppermann, L. (1882), "Om vor Kundskab om Primtallenes Mængde mellem givne Grændser", Oversigt over Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger og Dets Medlemmers Arbejder: 169–179

[6] Ribenboim, Paulo (2004), The Little Book of Bigger Primes, Springer, σελ. 183, ISBN 9780387201696, https://books.google.com/books?id=pBJDA89eOGQC&pg=PA1 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]