Εικασία του Όιλερ

Στη θεωρία των αριθμών, η εικασία του Όιλερ είναι μια διαψευσμένη εικασία που σχετίζεται με το τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Προτάθηκε από τον Λέοναρντ Όιλερ το 1769. Δηλώνει ότι για όλους τους ακέραιους αριθμούς n και k μεγαλύτερους από 1, αν το άθροισμα n πολλών δυνάμεων k-th θετικών ακεραίων αριθμών είναι η ίδια μια k-th δύναμη, τότε ο n είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον k:

$a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\dots +a_{n}^{k}=b^{k}\implies n\geq k$

Η εικασία αποτελεί μια προσπάθεια γενίκευσης του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά, το οποίο είναι η ειδική περίπτωση n' = 2: αν $a_{1}^{k}+a_{2}^{k}=b^{k},$ τότε 2 ≥ k.

Αν και η εικασία ισχύει για την περίπτωση k = 3 (η οποία προκύπτει από το τελευταίο θεώρημα του Φερμά για τις τρίτες δυνάμεις), διαψεύστηκε για k = 4 και k = 5. Είναι άγνωστο αν η εικασία αποτυγχάνει ή αν ισχύει για οποιαδήποτε τιμή k ≥ 6.

Ιστορικό

Ο Όιλερ γνώριζε την ισότητα 59⁴ + 158⁴ = 133⁴ + 134⁴ που περιλαμβάνει αθροίσματα τεσσάρων τετάρτων δυνάμεων- αυτό, ωστόσο, δεν αποτελεί αντιπαράδειγμα επειδή κανένας όρος δεν απομονώνεται στη μία πλευρά της εξίσωσης. Παρέσχε επίσης μια πλήρη λύση στο πρόβλημα των τεσσάρων κύβων, όπως στον αριθμό του Πλάτωνα 3³ + 4³ + 5³ = 6³ ή στον αριθμό του ταξί 1729. Η γενική λύση της εξίσωσης $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=x_{3}^{3}+x_{4}^{3}$ is

${\begin{aligned}x_{1}&=\lambda (1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2}))\\[2pt]x_{2}&=\lambda ((a+3b)(a^{2}+3b^{2})-1)\\[2pt]x_{3}&=\lambda ((a+3b)-(a^{2}+3b^{2})^{2})\\[2pt]x_{4}&=\lambda ((a^{2}+3b^{2})^{2}-(a-3b))\end{aligned}}$

όπου a, b και ${\lambda }$ είναι οποιοιδήποτε ρητοί αριθμοί.

Αντιπαραδείγματα

Η εικασία του Όιλερ διαψεύστηκε από τους Λέον Τζ. Λάντερ (Leon J. Lander) και Τόμας Ρ. Πάρκιν (Thomas R. Parkin) το 1966 όταν, μέσω μιας άμεσης αναζήτησης σε υπολογιστή σε ένα CDC 6600, βρήκαν ένα αντιπαράδειγμα για k = 5. Αυτό δημοσιεύτηκε σε μια εργασία που περιλάμβανε μόλις δύο προτάσεις. Είναι γνωστά συνολικά τρία βασικά αντιπαραδείγματα (δηλαδή στα οποία τα αθροίσματα δεν έχουν όλα κοινό παράγοντα) αντιπαραδείγματα:

${\begin{aligned}144^{5}&=27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}\\14132^{5}&=(-220)^{5}+5027^{5}+6237^{5}+14068^{5}\\85359^{5}&=55^{5}+3183^{5}+28969^{5}+85282^{5}\end{aligned}}$

(Λάντερ & Πάρκιν, 1966)-( Σέρ & Σέιντλ, 1996)-( Φράι, 2004).

Το 1988, ο Νόαμ Έλκις δημοσίευσε μια μέθοδο για την κατασκευή μιας άπειρης ακολουθίας αντιπαραδειγμάτων για την k = 4 Το μικρότερο αντιπαράδειγμά του ήταν

$20615673^{4}=2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}.$

Μια ειδική περίπτωση των λύσεων του Έλκις μπορεί να αναχθεί στην ταυτότητα $(85v^{2}+484v-313)^{4}+(68v^{2}-586v+10)^{4}+(2u)^{4}=(357v^{2}-204v+363)^{4},$ where $u^{2}=22030+28849v-56158v^{2}+36941v^{3}-31790v^{4}.$

Πρόκειται για μια ελλειπτική καμπύλη με ένα ρητό σημείο στο v₁ = −31/467. Από αυτό το αρχικό ρητό σημείο, μπορεί κανείς να υπολογίσει μια άπειρη συλλογή άλλων. Αντικαθιστώντας το v₁ στην ταυτότητα και αφαιρώντας τους κοινούς παράγοντες προκύπτει το αριθμητικό παράδειγμα που αναφέρθηκε παραπάνω.

Το 1988, ο Ρότζερ Φράι βρήκε το μικρότερο δυνατό αντιπαράδειγμα

$95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}$

για k = 4 με άμεση αναζήτηση σε υπολογιστή χρησιμοποιώντας τεχνικές που πρότεινε ο Έλκις. Αυτή η λύση είναι η μόνη με τιμές των μεταβλητών κάτω από 1.000.000.

Γενικεύσεις

Μια ερμηνεία του αριθμού του Πλάτωνα, 3³ + 4³ + 5³ = 6³

Το 1967, οι Λ. Τζ. Λάντερ, Τ. Ρ. Πάρκιν και Τζον Σέλφριτζ υπέθεσαν ότι ότι εάν

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}$,

όπου a_i ≠ b_j είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί για όλα τα 1 ≤ i ≤ n και 1 ≤ j ≤ m, τότε m + n ≥ k. Στην ειδική περίπτωση m = 1, η εικασία δηλώνει ότι αν

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}$

(υπό τις συνθήκες που δόθηκαν παραπάνω) τότε n' ≥ k - 1.

Η ειδική περίπτωση μπορεί να περιγραφεί ως το πρόβλημα της κατανομής μιας τέλειας δύναμης σε λίγες ομοειδείς δυνάμεις. Για

k = 4, 5, 7, 8 και n = k ή k − 1 υπάρχουν πολλές γνωστές λύσεις. Μερικές από αυτές παρατίθενται παρακάτω.

Δείτε  A347773 για περισσότερα δεδομένα

k = 3

3³ + 4³ + 5³ = 6³ (Αριθμός του Πλάτωνος 216)

Αυτή είναι η περίπτωση a = 1, b = 0 του τύπου του Σρινιβάσα Ραμανουτζάν

$(3a^{2}+5ab-5b^{2})^{3}+(4a^{2}-4ab+6b^{2})^{3}+(5a^{2}-5ab-3b^{2})^{3}=(6a^{2}-4ab+4b^{2})^{3}$

Ένας κύβος ως άθροισμα τριών κύβων μπορεί επίσης να παραμετροποιηθεί με έναν από τους δύο τρόπους:

${\begin{aligned}a^{3}(a^{3}+b^{3})^{3}&=b^{3}(a^{3}+b^{3})^{3}+a^{3}(a^{3}-2b^{3})^{3}+b^{3}(2a^{3}-b^{3})^{3}\\[6pt]a^{3}(a^{3}+2b^{3})^{3}&=a^{3}(a^{3}-b^{3})^{3}+b^{3}(a^{3}-b^{3})^{3}+b^{3}(2a^{3}+b^{3})^{3}\end{aligned}}$

Ο αριθμός 2 100 000³ μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τριών κύβων με εννέα διαφορετικούς τρόπους.

k = 4

${\begin{aligned}422481^{4}&=95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}\\[4pt]353^{4}&=30^{4}+120^{4}+272^{4}+315^{4}\end{aligned}}$

(Ρ. Φράι, 1988); (Ρ. Νόρι, Σμαλεστ, 1911).

k = 5

${\begin{aligned}144^{5}&=27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}\\[2pt]72^{5}&=19^{5}+43^{5}+46^{5}+47^{5}+67^{5}\\[2pt]94^{5}&=21^{5}+23^{5}+37^{5}+79^{5}+84^{5}\\[2pt]107^{5}&=7^{5}+43^{5}+57^{5}+80^{5}+100^{5}\end{aligned}}$

((Λάντερ & Πάρκιν, 1966)- (Λάντερ, Πάρκιν, Σέλφριτζ, μικρότερο, 1967)- (Λάντερ, Πάρκιν, Σέλφριτζ, δεύτερο μικρότερο, 1967)-[8] (Σάστρι, 1934, τρίτο μικρότερο).

k = 6

Είναι γνωστό από το 2002 ότι δεν υπάρχουν λύσεις για k = 6 των οποίων ο τελικός όρος είναι ≤ 730000.

k = 7

$568^{7}=127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}$

(M. Ντόντριλ, 1999).

k = 8

$1409^{8}=90^{8}+223^{8}+478^{8}+524^{8}+748^{8}+1088^{8}+1190^{8}+1324^{8}$

(Σ. Τσέις, 2000).

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πυθαγόρεια τετράδα
• Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Προβλήματα του Λαντάου
• Αριθμοί των Ταξί
• Εικασία του Γκόλντμπαχ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Υπόθεση H του Σίνζελ
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Roberts, Charles (24 Ιουνίου 2009). Introduction to Mathematical Proofs: A Transition. CRC Press. ISBN 978-1-4200-6956-3. 
• Weisstein, Eric W. (12 Δεκεμβρίου 2002). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3522-3. 
• Knopp, Marvin I. (14 Νοεμβρίου 2006). Analytic Number Theory: Proceedings of a Conference Held at Temple University, Philadelphia, May 12-15, 1980. Springer. ISBN 978-3-540-38953-8. 
• Randic, Milan· Novic, Marjana (21 Απριλίου 2016). Solved and Unsolved Problems of Structural Chemistry. CRC Press. ISBN 978-1-4987-1152-4. 
• Mureşan, Marian (21 Φεβρουαρίου 2017). Introduction to Mathematica® with Applications. Springer. ISBN 978-3-319-52003-2. 
• Cai, Tianxin (21 Ιουλίου 2021). A Modern Introduction To Classical Number Theory. World Scientific. ISBN 978-981-12-1831-6. 
• Volkov, Alexei· Freiman, Viktor (11 Ιανουαρίου 2019). Computations and Computing Devices in Mathematics Education Before the Advent of Electronic Calculators. Springer. ISBN 978-3-319-73396-8. 
• Gray, Jeremy (7 Αυγούστου 2018). A History of Abstract Algebra: From Algebraic Equations to Modern Algebra. Springer. ISBN 978-3-319-94773-0. 
• Gardner, Martin (6 Οκτωβρίου 2020). Wheels, Life and Other Mathematical Amusements. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-6362-5. 
• Sedgewick, Robert· Wayne, Kevin (4 Απριλίου 2017). Introduction to Programming in Java: An Interdisciplinary Approach. Addison-Wesley Professional. ISBN 978-0-13-451160-3. 
• Sedgewick, Robert· Wayne, Kevin (27 Μαΐου 2015). Introduction to Programming in Python: An Interdisciplinary Approach. Addison-Wesley Professional. ISBN 978-0-13-407652-2. 

Παραπομπές

• Tito Piezas III, A Collection of Algebraic Identities Αρχειοθετήθηκε 2011-10-01 στο Wayback Machine.
• Jaroslaw Wroblewski, Equal Sums of Like Powers
• Ed Pegg Jr., Math Games, Power Sums
• James Waldby, A Table of Fifth Powers equal to a Fifth Power (2009)
• R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert, All solutions of the Diophantine equation a⁶ + b⁶ = c⁶ + d⁶ + e⁶ + f⁶ + g⁶ for a,b,c,d,e,f,g < 250000 found with a distributed Boinc project
• EulerNet: Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers
• Weisstein, Eric W., "Euler's Sum of Powers Conjecture" από το MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Euler Quartic Conjecture" από το MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Diophantine Equation--4th Powers" από το MathWorld.
• Euler's Conjecture at library.thinkquest.org
• A simple explanation of Euler's Conjecture at Maths Is Good For You!
• Pollack, Paul (2008). «An explicit approach to hypothesis H for polynomials over a finite field». Στο: De Koninck, Jean-Marie· Granville, Andrew· Luca, Florian, επιμ. Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006. CRM Proceedings and Lecture Notes. 46. Providence, RI: American Mathematical Society. σελίδες 259–273. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1187.11046. 

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0