Εικασία Σάτο-Τέιτ

Στα μαθηματικά, η εικασία Σάτο-Τέιτ είναι μια στατιστική δήλωση σχετικά με την οικογένεια ελλειπτικών καμπυλών E_p που προκύπτει από μια ελλειπτική καμπύλη E πάνω από τους ρητούς αριθμούς με αναγωγή σε όλους σχεδόν τους πρώτους αριθμούς p. Ο Μίκιο Σάτο και ο Τζον Τέιτ έθεσαν ανεξάρτητα την εικασία γύρω στο 1960.

Αν το N_p δηλώνει τον αριθμό των σημείων της ελλειπτικής καμπύλης E_p που ορίζεται πάνω στο πεπερασμένο σώμα με p στοιχεία, η εικασία δίνει μια απάντηση στην κατανομή του όρου δεύτερης τάξης για το N_p. Σύμφωνα με το θεώρημα του Χάσε για τις ελλειπτικές καμπύλες,

$N_{p}/p=1+\mathrm {O} (1/\!{\sqrt {p}})\$

ως $p\to \infty$, και το νόημα της εικασίας είναι να προβλεφθεί πώς μεταβάλλεται ο συμβολισμός big-O.

Η αρχική εικασία και η γενίκευσή της σε όλα τα εντελώς πραγματικά σώματα αποδείχθηκε από τους Λοράν Κλοζέλ, Μάικλ Χάρις, Νίκολας Σέπερντ-Μπάρον και Ρίτσαρντ Τέιλορ υπό ήπιες υποθέσεις το 2008 και ολοκληρώθηκε από τους Τόμας Μπάρνετ-Λαμπ, Ντέιβιντ Γκέραχτι, Χάρις και Τέιλορ το 2011. Αρκετές γενικεύσεις σε άλλες αλγεβρικές ποικιλίες και σώματα είναι ανοικτές.

Δήλωση

Έστω E μια ελλειπτική καμπύλη που ορίζεται πάνω στους ρητούς αριθμούς χωρίς μιγαδικό πολλαπλασιασμό. Για έναν πρώτο αριθμό p, ορίστεθ_p ως τη λύση της εξίσωσης

$p+1-N_{p}=2{\sqrt {p}}\cos \theta _{p}~~(0\leq \theta _{p}\leq \pi ).$

Τότε, για κάθε δύο πραγματικούς αριθμούς $\alpha$ and $\beta$ for which $0\leq \alpha <\beta \leq \pi ,$

$\lim _{N\to \infty }{\frac {\#\{p\leq N:\alpha \leq \theta _{p}\leq \beta \}}{\#\{p\leq N\}}}={\frac {2}{\pi }}\int _{\alpha }^{\beta }\sin ^{2}\theta \,d\theta ={\frac {1}{\pi }}\left(\beta -\alpha +\sin(\alpha )\cos(\alpha )-\sin(\beta )\cos(\beta )\right)$

Λεπτομέρειες

Σύμφωνα με το θεώρημα του Χάσε για τις ελλειπτικές καμπύλες, ο λόγος

${\frac {(p+1)-N_{p}}{2{\sqrt {p}}}}={\frac {a_{p}}{2{\sqrt {p}}}}$

είναι μεταξύ -1 και 1. Έτσι, μπορεί να εκφραστεί ως cos θ για γωνία θ. Με γεωμετρικούς όρους υπάρχουν δύο ιδιοτιμές που αντιπροσωπεύουν το υπόλοιπο και με τον παρονομαστή ως δεδομένο είναι μιγαδικές συζυγείς και έχουν απόλυτη τιμή 1. Η εικασία Σάτο-Τέιτ, όταν το E δεν έχει μιγαδικό πολλαπλασιασμό, δηλώνει ότι το μέτρο πιθανότητας του θ είναι ανάλογο προς

$\sin ^{2}\theta \,d\theta .$

Αυτό οφείλεται στους Μίκιο Σάτο και Τζον Τέιτ (ανεξάρτητα, και γύρω στο 1960, δημοσιεύτηκε κάπως αργότερα).

Απόδειξη

Το 2008, οι Κλόζελ, Χάρις, Σέπερντ-Μπάρον και Τέιλορ δημοσίευσαν μια απόδειξη της εικασίας Σάτο-Τέιτ για ελλειπτικές καμπύλες πάνω σε εντελώς πραγματικά σώματα που ικανοποιούν μια συγκεκριμένη συνθήκη: να έχουν πολλαπλασιαστική αναγωγή σε κάποιο πρώτο αριθμό, σε μια σειρά τριών κοινών εργασιών.

Περαιτέρω αποτελέσματα εξαρτώνται από βελτιωμένες μορφές του τύπου ίχνους Άρθουρ-Σέλμπεργκ. Ο Χάρις έχει μια υπό όρους απόδειξη ενός αποτελέσματος για το γινόμενο δύο ελλειπτικών καμπυλών (όχι ισογενών) που προκύπτει από έναν τέτοιο υποθετικό τύπο ίχνους. Το 2011, οι Μπαρνέτ-Λαμπ, Γκέραγκτι, Χάρις και Τέιλορ απέδειξαν μια γενικευμένη εκδοχή της εικασίας Σάτο-Τέιτ για μια αυθαίρετη μη-CM ολομορφική σπονδυλωτή μορφή βάρους μεγαλύτερου ή ίσου με δύο,βελτιώνοντας τα αποτελέσματα δυνητικής σπονδυλωτής μορφής προηγούμενων εργασιών Τα προηγούμενα ζητήματα που σχετίζονται με τον τύπο ίχνους λύθηκαν από τους Μάικλ Χάρις, και Σουγκ Γου Σιν.

Το 2015, ο Ρίτσαρντ Τέιλορ τιμήθηκε με το Βραβείο Διάνοιας στα Μαθηματικά για τα πολυάριθμα πρωτοποριακά αποτελέσματα στην εικασία Σάτο-Τέιτ.

Γενικεύσεις

Υπάρχουν γενικεύσεις, που αφορούν την κατανομή των στοιχείων Φρομπένιους στις ομάδες Γκαλουά που εμπλέκονται στις αναπαραστάσεις Γκαλουά στην εστιακή συνομολογία. Ειδικότερα, υπάρχει μια εικαστική θεωρία για καμπύλες γένους n > 1.

Σύμφωνα με το μοντέλο των τυχαίων πινάκων που αναπτύχθηκε από τους Νικ Κατζ και Πίτερ Σάρνακ, υπάρχει μια υποθετική αντιστοιχία μεταξύ των (μοναδιαίων) χαρακτηριστικών πολυωνύμων των στοιχείων Φρομπένιους και των κλάσεων συζυγίας στη συμπαγή ομάδα Λι USp2n) = Sp(n). Το μέτρο Χάαρ στην USp(2n) δίνει τότε την εικαζόμενη κατανομή και η κλασική περίπτωση είναι USp(2) = SU(2).

Προσαρμογές

Υπάρχουν επίσης πιο εκλεπτυσμένες δηλώσεις. Η εικασία Λανγκ-Τρόττερ (Lang-Trotter conjecture, 1976) των Σερζ Λανγκ και Χέιλ Τρόττερ δηλώνει τον ασυμπτωτικό αριθμό των πρώτων αριθμών p με δεδομένη τιμή του a_p, το ίχνος του Φρομπένιους που εμφανίζεται στον τύπο. Για την τυπική περίπτωση (κανένας μιγαδικός πολλαπλασιασμός, ίχνος ≠ 0) ο τύπος τους δηλώνει ότι ο αριθμός των p μέχρι το X είναι ασυμπτωτικά

$c{\sqrt {X}}/\log X\$

με μια συγκεκριμένη σταθερά c. Ο Νιλ Κόμπλιτζ (1988) παρείχε λεπτομερείς εικασίες για την περίπτωση ενός πρώτου αριθμού q σημείων στο Ep, με κίνητρο την κρυπτογραφία ελλειπτικών καμπυλών. Το 1999, οι Σαντάλ Νταβίντ και Φραντσέσκο Παπαλάρντι απέδειξαν μια μέση εκδοχή της εικασίας των Λανγκ-Τρότερ.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Συζυγής μιγαδικός αριθμός
• Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
• Ελλειπτική καμπύλη
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πυθαγόρεια τετράδα
• Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
• Τετραγωνικός αριθμός
• Κρυπτογραφία ελλειπτικών καμπυλών
• Προβλήματα του Λαντάου
• Κύβος (άλγεβρα)
• Εικασία του Γκόλντμπαχ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Υπόθεση H του Σίνζελ
• Κλάση συζυγίας
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Kohel, David· Shparlinski, Igor (26 Απριλίου 2016). Frobenius Distributions: Lang-Trotter and Sato-Tate Conjectures. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-1947-9. 
• Cogdell, James W.· Kim, Henry H. Lectures on Automorphic L-functions. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-7179-9. 
• Murty, M. Ram· Murty, V. Kumar (5 Ιανουαρίου 2012). Non-vanishing of L-Functions and Applications. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-0348-0273-4. 
• Ballet, Stéphane· Bisson, Gaetan (1 Ιουλίου 2021). Arithmetic, Geometry, Cryptography and Coding Theory. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-5426-5. 
• Müller, Werner· Shin, Sug Woo (11 Οκτωβρίου 2018). Geometric Aspects of the Trace Formula. Springer. ISBN 978-3-319-94833-1. 
• Adhikari, S. D.· Ramakrishnan, B. (15 Ιουνίου 2009). Number Theory and Applications: Proceedings of the International Conferences on Number Theory and Cryptography. Springer. ISBN 978-93-86279-46-0. 
• Murty, M. Ram· Murty, V. Kumar (5 Οκτωβρίου 2012). The Mathematical Legacy of Srinivasa Ramanujan. Springer Science & Business Media. ISBN 978-81-322-0770-2. 
• Mueller, Julia· Shahidi, Freydoon (5 Αυγούστου 2021). The Genesis of the Langlands Program. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-71094-7. 
• Heiermann, Volker· Prasad, Dipendra (1 Οκτωβρίου 2018). Relative Aspects in Representation Theory, Langlands Functoriality and Automorphic Forms: CIRM Jean-Morlet Chair, Spring 2016. Springer. ISBN 978-3-319-95231-4. 
• Bucur, Alina· Zureick-Brown, David (22 Νοεμβρίου 2019). Analytic Methods in Arithmetic Geometry. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-3784-8. 
• Alaca, Ayşe· Alaca, Şaban (28 Οκτωβρίου 2015). Advances in the Theory of Numbers: Proceedings of the Thirteenth Conference of the Canadian Number Theory Association. Springer. ISBN 978-1-4939-3201-6. 

Παραπομπές

• Report on Barry Mazur giving context Αρχειοθετήθηκε 2008-10-05 στο Wayback Machine.
• Michael Harris notes, with statement (PDF)
• La Conjecture de Sato–Tate [d'après Clozel, Harris, Shepherd-Barron, Taylor], Bourbaki seminar June 2007 by Henri Carayol (PDF)
• Video introducing Elliptic curves and its relation to Sato-Tate conjecture, Imperial College London, 2014 (Last 15 minutes)
• Danilov, L.V., "The Diophantine equation   'x³   -  y² '  ' =  k  ' and Hall's conjecture", 'Math. Notes Acad. Sci. USSR' 32(1982), 617-618.
• Gebel, J., Pethö, A., and Zimmer, H.G.: "On Mordell's equation", 'Compositio Math.' 110(1998), 335-367.
• I. Jiménez Calvo, J. Herranz and G. Sáez Moreno, "A new algorithm to search for small nonzero |'x3 - y2'| values", 'Math. Comp.' 78 (2009), pp. 2435-2444.
• S. Aanderaa, L. Kristiansen and H. K. Ruud, "Search for good examples of Hall's conjecture", 'Math. Comp.' 87 (2018), 2903-2914.

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0